Олимпиада по математике для обучающихся первого курса колледжа

Организатором олимпиады по математике является методист  ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА  Масанина Татьяна Николаевна Цели и задачи олимпиады  Развитие познавательных интересов  учащихся к предмету «Математика».   Формирование у учащихся здорового духа конкуренции, способных к индивидуальному соревнованию, умение находить оптимальные и верные решения в сложных условиях  поставленных задач.   Активизация творческой деятельности преподавателей.  Порядок организации олимпиады    Проведение первого тура олимпиады возлагается на преподавателей математики. Основными задачами оргкомитета являются:   непосредственное руководство подготовкой и проведением олимпиады;   обеспечение всем необходимым для проведения олимпиады (аудиторные помещения, аппаратно­программные средства, канцелярские и расходные материалы и пр.);   анализ и обобщение итогов олимпиады, подготовка необходимых отчетных  материалов для  предоставления администрации.  разрабатывает тексты заданий для участников олимпиады;  определяет критерии оценки олимпиадных работ;  проверяет и оценивает работы участников олимпиады;  знакомит участников олимпиады с результатами проверки работ и рассматривает  апелляции;  проводит анализ выполненных заданий с участниками олимпиады.  внесение  предложения по совершенствованию организационно­методического  обеспечения олимпиады.        Порядок проведения олимпиады    Олимпиада проводится по общеобразовательным программам среднего (полного) общего  образования в два этапа: Первый этап: 22 октября по 30 ноября 2015 г. по установленному графику. Второй этап: 13.11. 2015 г. в 14.00, каб. 33,34. Порядок участия в олимпиаде    В олимпиаде принимают участие учащиеся первого курса всех направлений,  занявшие 1 и  2 места в олимпиаде внутри группы. Порядок определения победителей олимпиады    Победителями олимпиады считаются участники, занявшие 1­е, 2­е или 3­е место.  Численность победителей и призеров олимпиады определяется оргкомитет олимпиады.  Критерии оценивания  Максимальное количество баллов – 40. Первое место присуждается учащимся, набравшим максимальное количество баллов, но не меньше 28, второе место количество баллов от 27­24, третье место – количество баллов 23­ 20. Олимпиада по математике 2015­2016 уч. год 1. (3 балла). Найдите значение дроби:    5x−4 2x+7y    ,   если: 25x2−40x+16 4x2+28xy+49y2=1 2. ( 4 балла). Постройте график функции:   Постройте график функции:   3                        y=x2+5x−6 x−1  . 3. (5 балла). Решить систему уравнений:  {(3x+y)2+2(x−y)2=96 3x+y=2(x−y) 4. (6 баллов). На улице, встав в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой  в  розовом платье и Валей. Платье какого цвета носит каждая девочка?  (2 балла). Найдите все корни уравнения:  |х−2014|=2015  . 1. 2. (3 балла). Восстановите пример:   АВС∙СВА=692443 . 3. (3 балла).  В забеге участвовал 41 спортсмен. Число спортсменов,  прибежавших раньше Васи, в 4 раза меньше числа тех, кто прибежал  позже него. Какое место занял Вася?  4.  (3 балла). К числу 2014 слева и справа припишите по одной цифре так, чтобы получилось шестизначное число, делящееся на 45. Найдите все  такие шестизначные числа. Объясните, как вы получили ответ. 5. (5 баллов). Найдите значения a и b, при которых равенство 5x+31 (x−2)(x+2)    = a x−5 + b x+2      выполняется при всех допустимых  значениях переменной x.   6. (6  баллов). При каких значениях a квадратные трехчлены   x2+ax+1иx2+x+a    имеют общий корень?  Решение  ( 5x−4 2x+7y)2 = 1 3   ⇒5x−4 2x+7y=√ 1 3   . 1. 2. Постройте график функции:   y=x2+5x−6 x−1    Решение. .   1 )х)(х(y 6  х  1  ; у =  х + 6;     ОДЗ: х 1 3. Решить систему уравнений:  {(3x+y)2+2(x−y)2=96 Введём обозначения:  a=3x+y,b=x−y 3x+y=2(x−y) {a2+b2=96 a=2b   ⟹{(2b)2+2b2=96 a=2b    ⟹4b2+2b2=96⟹6b2=96 b=4,b=−4 a=8,a=−8 ⟹x=3,y=−1. x−y=4 {3x+y=8 {3x+y=−8 x−y=−4 ⟹x=−3,y=1. Ответ:   (3;−1),(−3;1) . 4. На улице, встав в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в  зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей.  Девочка в белом платье стоит между девочкой  в  розовом платье и Валей. Платье какого  цвета носит каждая девочка? Решение Составим таблицу.      Зеленое  платье Голубое  платье Белое    платье Розовое  платье Аня Валя ­ ­     ­ + ­ ­ Галя Надя + ­ ­ ­ ­ ­ ­          Ответ:  Галя в зеленом платье, Валя в голубом, Аня в белом, Надя в розовом. 5. Решить уравнение:    |х−2014|=2015 . Решение:  х−2014=2015⇒х=4029. −(х−2014)=2015⇒х=−1 . Ответ:1и4029. 6. Восстановите пример:   АВС∙СВА=692443 . Решение.  739∙937=692443 . (3 балла) В забеге участвовал 41 спортсмен. Число спортсменов, прибежавших раньше  Васи, в 4 раза меньше числа тех, кто прибежал позже него. Какое место занял Вася?  7. Решение    .  Пусть впереди Васи было х спортсменов, тогда позади него 4х спортсменов. Не считая  Васи было 40 человек. 5х=40, а х= 8. Впереди Васи было 8 спортсменов. Значит Вася занял  9 место. 8. К числу 2009 слева и справа припишите по одной цифре так, чтобы получилось   .   шестизначное число, делящееся на 45. Найдите все такие шестизначные числа. Объясните,  как вы получили ответ. Решение   Так как число делится на 5, то его последняя цифра равна 0 или 5. Так как число делится  на 9, то его сумма цифр делится на 9.  Ответ: 720090 и 220095. 9. Найдите значения a и b, при которых равенство   5x+31 (x−2)(x+2) x−5 + b = a x+2 выполняется при всех допустимых значениях переменной x.   Решение. Приведем в правой части равенства дроби к общему знаменателю и учитывая. Так как  знаменатели у дробей в левой и правой частях равны, получим:  5x+31=ax+2a+bx−5x 5x+31=(a+b)x+(2a−5b) { a+b=5 2a−5b=31 ⟹a=8,b=−3. Ответ: при   a=8,b=−3 . 10. При каких значениях a квадратные трехчлены   x2+ax+1иx2+x+a     имеют общий корень?  Решение. Пусть  x1   – общий корень данных трехчленов, тогда 2+ax1+1=0иx1 x1 2+x1+a=0 ,   т.е. 2+x1+a⟹ax1+1=x1+a⟹(a−1)(x1−1)=0 2+ax1+1=x1 x1 Тогда или  a=1илиx1=1. Если  a=1 ,  то трехчлены оба имеют вид  x2+x+1 и не имеют действительных  корней. Если  x1=1 ,  то12+a∙1+1=0   и   12+1+a=0 .   В обоих случаях  a=−2. Ответ:  a=−2 .