Олимпиада по математике
Школьный тур
8 класс
- Решите
уравнение x - 6 = |x - 3|/(x - 3).
- Верно
ли равенство 3100 + 7100 = 8100? Ответ
обоснуйте.
- Дворники
получают грабли и метлы. Если каждый возьмет одну метлу или одни грабли,
то останется 14 метел. А чтобы дать каждому дворнику и одну метлу, и одни
грабли, не хватает 10 грабель. Сколько было дворников, сколько метел и
сколько грабель?
- На
острове живут два племени: аборигены и пришельцы. Аборигены всегда говорят
правду, а пришельцы всегда лгут. Путешественник, приехавший на остров,
нанял островитянина в проводники. Они пошли и увидели другого
островитянина. Путешественник послал туземца узнать, к какому племени
принадлежит этот туземец. Проводник вернулся и сказал: «Туземец говорит,
что он абориген». Кем был проводник: пришельцем или аборигеном? Ответ
обоснуйте.

- В
окружности с центром в точке О проведены радиусы ОВ и ОА так, что
ﮮАОВ=60°, ОВ = DС. Найдите величину ﮮАDО.
11 класс
- Решите
уравнение
.
- Функция
y = f(x) определена на множестве всех действительных чисел и является
периодической с периодом 5. Найдите значение выражения
f(-6) + f(19) – f(-13), если f(-1) = -2 и f(2) = 3,5.
- Какую
наибольшую длину может иметь ребро правильного тетраэдра, который помещается
в коробку, имеющую форму куба со стороной 1 см? Ответ обоснуйте.
- Докажите,
что x4 + y4 + z2 + 1 >= 2x (xy2
– x + z + 1).
- Сторона
основания правильной треугольной пирамиды равняется а, а боковое
ребро равняется b. Плоскость, параллельная боковому ребру и
проходящая через скрещивающуюся с ним сторону основания, пересекает
пирамиду по квадрату. Вычислите сторону квадрата.
6 класс
- Если
Коля купит 11 тетрадей, то у него останется 7 рублей, а на покупку 15
тетрадей ему не хватит 5 рублей. Сколько денег у Николая? Ответ обоснуйте.
- Какова
последняя цифра ответа 2003 · 2005 · 2007 – 2000 · 2008? Ответ обоснуйте.
- Как
разложить семь алмазов в четыре одинаковые шкатулки, чтобы вес всех
шкатулок получился одинаковым, если вес алмазов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. граммов.
Ответ обоснуйте.
- На
одной чаше весов лежит кусок мыла, на другой 2/3 такого же
куска и еще 2/3 кг. Сколько весит весь кусок мыла? Ответ обоснуйте.
- Четыре
ученика – Витя, Петя, Юра и Сергей – заняли на математической
Олимпиаде четыре первых места. На вопрос, какие места они заняли,
были даны ответы:
а)
Петя – второе, Витя – третье;
б)
Сергей – второе, Петя – первое;
в)
Юра – второе, Витя – четвертое.
Укажите,
кто какое место занял, если в каждом ответе правильна лишь одна часть. Ответ
обоснуйте.
5 класс
1. Вычеркните в числе
4000538 пять цифр так, чтобы оставшееся число стало наибольшим.
2. Для того чтобы
разрезать металлическую балку на две части, нужно уплатить за работу 5 рублей.
Сколько будет стоить работа, если балку нужно разрезать на 10 частей?
3.
Парусник
отправляется в плавание в понедельник в полдень. Плавание будет продолжаться
100 часов. Назовите день и час его возвращения в порт.
4. Разбейте циферблат
часов (см. рис. 1) с помощью отрезков на три части таким образом, чтобы сумма
чисел в каждой из этих частей была одной и той же.
5.
На улице, став в
кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя, Надя. Девочка в зеленом
платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей.
Девочка в белом платье слоит между девочкой в розовом платье и Валей. Какое
платье носит каждая из девочек?
6. Соедините точки А
и В (см. рис. 2) линией длиной 19 см так, чтобы она прошла через все точки,
изображенные на рисунке (расстояние между двумя соседними точками,
расположенными горизонтально или вертикально, равно 1 см).
7 класс
- Не выполняя деления, выясните,
делится ли значение выражения 37 · 124 + 21 · 124 + 58 · 554 на 678. Ответ
обоснуйте.
- Средний возраст 11 игроков футбольной
команды 22 года. Когда одного игрока удалили с поля, средний возраст
оставшихся игроков составил 21 год. Сколько лет удаленному игроку? Ответ
обоснуйте.
- Какова сумма всех цифр, используемых
для записи всех натуральных чисел от 1 до 1 000 000? Ответ
обоснуйте.
- 2% натурального числа А
больше, чем 3% натурального числа В. Верно ли, что 5%
числа А больше, чем 7% числа В?
Ответ обоснуйте.
- Ваня, Петя, Саша и Коля носят
фамилии, начинающиеся на буквы В, П, С и К. Известно, что
a.Ваня и С. –
отличники;
b.Петя и В. –
троечники;
c.В. ростом выше П.;
d.Коля ростом ниже
П.;
e.Саша и Петя имеют
одинаковый рост.
На
какую букву начинается фамилия каждого мальчика? Ответ обоснуйте.
9
класс
1. На доске написаны
восемь простых чисел, каждое из которых больше двух. Может ли их сумма
равняться 59?
2. Для каких
значений а разность корней уравнения х2+ах+10=0 равна
3?
3.
В треугольнике АВС медиана
ВМ в два раза меньше стороны АВ и образует с ней угол 40o
. Найдите угол АВС .
4.
Освободитесь от иррациональности в
знаменателе дроби:
.
5. У
подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого
7 ног, всегда лгут, а у кого 6 или 8 ног, всегда говорят правду. Встретились
четыре осьминога. Синий сказал: "Вместе у нас 28 ног", зеленый:
"Вместе у нас 27 ног", желтый: "Вместе у нас 26 ног",
красный: "Вместе у нас 25 ног". У кого сколько ног?