Олимпиадная работа по математике (8 класс)

Олимпиадная работа по математике (школьный этап Всероссийской олимпиады школьников) 8 класс Авторы: С. А. Гостева, Н. Б. Ошутинская, учителя математики МКОУ ООШ п. Пудожгорский 1. Найдите произведение 99 множителей: (100 – 12) ∙ (100 – 22) ∙ ... ∙ (100 – 992). (5 б.) 2. Известно, что x + y = a, xy = b. Вычислить x4 + y4. (6 б.) 3. Первый фонтан наполняет бассейн за 2 ч 30 мин, второй – за 3 ч 45 мин. За какое время наполнят бассейн два фонтана? (6 б.) 4. Биссектрисы углов A и D прямоугольника ABCD делят сторону BC на три равные части точками M и N. Сторона AB равна 4. Найдите периметр прямоугольника. (6 б.) 5. Построить график функции  y 2  x 4 . (6 б.) 6.   В   классе   30   учеников.   Все   ученики   посещают   хотя   бы   один   кружок.   15   учеников посещают литературный кружок, 11 – биологический; из них 4 ученика участвуют в работе обоих кружков. 5 учащихся занимаются в литературном и математическом кружках, а 3 – в биологическом и в математическом кружках. Только 1 ученик посещает все три кружка. Остальные   учащиеся   занимаются   только   в   математическом   кружке.   Сколько   всего учащихся занимаются в математическом кружке? (7 б.) Ответы и решения к заданиям 1. Ответ: 0. Решение. Среди множителей присутствует множитель 100 – 102 = 0. Следовательно, и все  произведение будет равно 0. 2. Ответ: a4 – 4a2b + 2b2. Решение.  2  x y 2  2  y  2 xy 2  a b 2 . x  4 4 2 x y   3. Ответ: за 1,5 часа. 22 y x  2 2 yx 2  ( a 2  2 )2 b  2 2 b  a 4 4 2 ba  2 2 b . Решение. Первый фонтан заполняет за час  2 5  бассейна, второй –  4 15  бассейна.  Следовательно, вместе за час они заполнят  2 3  бассейна. А последнюю треть еще за  полчаса. Следовательно, 2 фонтана наполнят бассейн за 1,5 часа. 4. Решение. Возможны два случая: 1) AM и DN не пересекаются. AB = BM = NC = CD = 4, тогда BC = 4 ∙ 3 = 12. PABCD = 2 ∙ (12 + 4) = 32 B M N A C D 2) AM и DN пересекаются. AB = BM = NC = CD = 4, тогда BC = 2 ∙ 3 = 6. PABCD = 2 ∙ (6 + 4) = 20. B N M A 5.  C D 6. Ответ: 15 учащихся. Решение. Изобразим решение с помощью кругов Эйлера. 8 + 4 + 2 + 1 = 15 (уч.) Возможнее такой вариант решения: 11 – (4 + 3 – 1) = 5 человек – только в биологическом кружке 15 – (4 + 5 – 1) = 7 человек – только в литературном кружке 30 – (7 + 5 + 5 + 4 + 3 – 1 – 1) = 8 человек – только в математическом кружке 8 + 5 + 3 – 1 = 15 учащихся занимаются в математическом кружке.