Олимпиадные задачи на вычисление

Задачи на вычисление

Текстовые задачи на вычисление

Выражение «прокрустово ложе» давно стало крылатым и означает жёсткое уравнивание, ради которого жертвуют чем-то сущест­венным. Несмотря на негативный смысл этого фразеологизма, идея уравнивать различающиеся объекты находит применение в математических задачах. Но не бойтесь: никому ничего отрубать мы не будем — просто воспользуемся сходным принципом.

Итак, в первом кружке занимается на два человека больше, чем во втором. Давайте уравняем количество кружковцев. Нет-нет, никакого самоуправства по отношению к двум первоклассникам мы не допустим! Предположим, что они просто пропускают занятие по уважительной причине.


Тогда в первых двух кружках детей будет поровну, при этом общее их количество уменьшится на два и составит 63. В третий кружок ходит на три человека меньше, чем во второй (напомним, количество учащихся во втором кружке мы не меняли). Уравниваем: допустим, что в третий кружок записались ещё три человека. Тогда во всех трёх кружках учеников станет поровну, а их общее количество будет равно 66. Стало быть, в каждом кружке занимается по 22 человека!

Осталось получить окончательный ответ. Второй кружок мы не трогали, так что в нём и исходно было 22 человека.


В первом до выравнивания было на два ученика больше, то есть там занимались 24 первоклассника. Наконец, в третий мы добавили трёх человек, а значит, на самом деле кружок посещали 19 третьеклассников. Победа!

Сразу оговоримся: предполагается, что все ручки стоят одинаково, все карандаши — тоже. Эту задачу,
конечно, можно решить, введя две переменные. Но зачем стрелять из пушки по воробьям, когда есть
короткое и элегантное решение? Допустим, в одной
кучке лежат пять ручек и карандаш, в другой —
два карандаша и ручка. Уберём из них общее: один
карандаш и одну ручку. Оставшиеся наборы
канцтоваров будут стоить по-прежнему одинаково, не
так ли? При этом в первой кучке останется четыре ручки,
а во второй — один карандаш (да-да, так себе «кучка» из
одного предмета… Впрочем, про парадокс кучи и
нечёткую логику мы ещё поговорим в одном из
будущих номеров). Значит, карандаш стоит в
четыре раза больше, чем ручка.

Что помогло решить задачу? Умение отрезать лишнее, оставив объекты равными. Эта же идея, навеянная деяниями Прокруста, применима и в чуть более сложных ситуациях.

Попробуем опять-таки не думать про уравнения, а поищем общее у указанных способов.
Понятно, что в первом случае есть четыре части ленты, опоясывающие коробку по бокам (короткие), четыре — сверху и снизу (длинные), а также бантик. Во втором случае есть две короткие части ленты (по одной слева и справа), шесть длинных и такой же бантик. При этом второй способ «длиннее» первого на 22 см. И если мы уберём общее, разница останется такой же. 
Что же общего у этих способов? Две короткие части, четыре длинные и бантик. Убрав их, получаем, что оставшиеся в первом случае две короткие части ленты короче двух длинных (во втором случае) на 22 см. А значит, короткая часть меньше длинной на 11 см. Осталось вспомнить, что короткая часть составляет половину длинной, то есть короче её на свою же длину.
Таким образом, длина короткой части — 11 см, а длинной — 22 см. Окончательные размеры коробки: 11 х 22 х 22.