Определение производной

.

приращение аргумента:

Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке М
пройдя путь от начала движения ОМ = s{t). Дадим аргументу t
приращение ∆t и рассмотрим момент времени t+∆t Координата
материальной точки стала другой, тело в этот момент будет
находиться в точке P : OP=s(t+∆t) Значит, за ∆t секунд тело переместилось из точки М в точку Р, т.е. прошло путь МР. Имеем:
MP=OP-OM=s(t+∆t)-s(t)=∆sПолученную разность мы назвали в § 26 приращением функции
Путь ∆s тело прошло за ∆t секунд.
Нетрудно найти среднюю скорость движения тела за промежуток времени [t;t+∆t] : 
=

А что такое скорость v (t) в момент времени t (ее называют иногда
мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость движения
за промежуток времени [t;t+∆t] при условии , что ∆t выбирается все меньше и
меньше; точнее: иными словами, при условии, что ∆t→0.Это значит , что

Подводя итог решению задачи 1, получаем:

Задача 2

Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ?

Фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t). Пусть h – небольшой промежуток времени, прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t).
Если промежуток времени h очень мал, то приближённо
s(t+h)-s(t)≈v(t)∙h, или , причём

последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h. Значит величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел, к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h.
Сказанное записывают в виде

Прямая, проходящая через точку М0 (х0; f(х0)), с отрезком которой почти сливается график функции f(х),называют касательной к графику в точке х0 

Задача: Определить положение касательной (tgφ)

Секущая, поворачиваясь вокруг точки М0,
приближается к положению касательной

x

y

Обозначим через q = q(t) количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время t.
Пусть Δt – некоторый промежуток времени, Δq = q(t+Δt) – q(t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + Δt. Тогда отношение называют средней силой тока.
Мгновенной силой тока в момент времени t называется предел отношения приращения количества электричества Δq ко времени Δt, при условии, что Δt→0.

Различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.:
Присвоить ей новый термин.
Ввести для неё обозначение.
Исследовать свойства новой модели.
Определить возможности применения нового понятия - производная

Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени [t0;t1] (масса соли, растворившейся в воде изменяется по закону х = f(t)) определяется по формуле .

Скорость растворения в данный момент времени

Определение производной

Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее:
а) мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от пути по времени;
б) угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (x0; f(x)) есть производная функции f(x) в точке х = х0;
в) мгновенная сила тока I(t) в момент t есть производная от количества электричества q(t) по времени;
Г) скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества у(t), участвующего в реакции, по времени t.

Определение производной.

Отношение приращения функции к приращению аргумента называется
разностным отношением

Производной функции f в точке х0 называется число к которому стремиться разностное отношение: при ∆х 0.

Задача. Найти производную функции f(x)=x2, используя определение.
Решение. 1) f(x0)=x02 - значение функции в фиксированной точке.
f(x0+∆x)=(x0+∆x)2-значение функции в произвольной точке.
2) Найдём приращение функции:
∆f=f(x0+∆x)-f(x0)=(x0+∆x)2-x02 =x02+2x0∆x+∆x2-x02=2x0∆x+∆x2.
3)Найдем разностное отношение:
4)При ∆x 0 2х0+∆х 2х0, значит (х02)'=2х0.
5)Для любого х: (х2)'=2х.

Аппарат производной можно использовать при решении геометрических задач, задач из естественных и гуманитарных наук, экономических задач оптимизационного характера.
И, конечно, не обойтись без производной при исследовании функции и построении графиков, решении уравнений и неравенств

Основные формулы

Средняя скорость
=
Мгновенная скорость
или
Скорость изменения функции

Значение производной в точке

=