Открытый урок на тему «Решение тригонометрических уравнений» с презентацией

Тригонометрия

2 x  2 cos x ctg  sin    3 sin cos 1 arcsin 2  x  n Ф.И. 1  1 2 y=sinx – нечетная функция 3 4 5 решение 6 arctg2 имеет смысл 7 arcсos(­a)= ­ arccosa  ctg 8 1 9 cos  tg  *  3 В или Н cos  0 x уравнения 1 2

Решите кроссворд • По горизонтали 4. Отношение косинуса к синусу 7. Как называется график функции y=cosx • По вертикали 1. Единица измерения углов  2. Как называется график функции y=sinx  3. Какая из тригонометрических функций четная  5. Раздел математики, изучающий тригонометрические функции  6. Отношение синуса к косинусу  8. Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций

Основные формулы для решения простейших тригонометрических уравнений • sin х = a , |а|< 1, • х= (-1)n arcsin a+2πn, n € Z. • Частные случаи: sin х = 1 • х = π/2+2πn, n € Z • sin х = -1 • х = -π/2+2πn, n € Z • sin х = 0 • х = πn, n € Z

Основные формулы для решения простейших тригонометрических уравнений • cos х = a , |а|< 1, • х= ± arccos a +2πn, n € Z. • Частные случаи: cos х = 1 • х = 2πn, n € Z • cos х = -1 • х = π+2πn, n € Z • cos х = 0 • х = π/2+πn, n € Z

Основные формулы для решения простейших тригонометрических уравнений • tg х = a , • х= arctg a+πn, n € Z. • Частные случаи: tg х = 1 • х = π/4+πn, n € Z • tg х = -1 • х = -π/4+πn, n € Z • tg х = 0 • х = πn, n € Z

Основные формулы для решения простейших тригонометрических уравнений • ctg х = a , • х= arcctg a+πn, n € Z. • Частные случаи: ctg х = 1 • х = π/4+πn, n € Z • ctg х = -1 • х = 3π/4+πn, n € Z • ctg х = 0 • х = π/2+ πn, n € Z

cos (4x – 2) = ½ ссos²xos²x ­ 2cos x = 0 cos²x ­ sin²x cos²x sin²x  = 1 (tgx­ √3)(2sin x/2 + 1) = 0 3sin²x sin²x– 5sin x – 2 = 0 3sin²x+sinx cos x=2cos²x 3sin²x+sinx cos x=2cos²x 3sin3sin44x=2x=2 сосоx=x=1/1/22 сосоx=x=1/1/22 tgx=tgx=3/3/22 2sin x – 3cos x = 0

Решение однородных тригонометрических уравнений

• Уравнения вида aasinx+sinx+bbcosx=0 cosx=0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени • Уравнения вида Определение sinxcosx+cccoscos22x=0x=0 называют aasinsin22x+x+bbsinxcosx+ однородным тригонометрическим уравнением второй степени

sinx+bbcosx=0,  cosx=0,  cosx, получим:      Итак, дано уравнение aasinx+ где aa≠≠0, b0, b≠≠00. . Разделив обе части  Разделив обе части  где  уравнения почленно на cosx уравнения почленно на         aasinx/cosx + bcosx/cosx = 0/cosx                                                          aatgx+tgx+bb=0=0        В итоге приходим к простейшему                тригонометрическому уравнению:                           tgx= ­ При делении уравнения a sin x + b cos x = 0, где  a  ≠ 0, b≠  0 на cos x ≠ 0 корни этого уравнения  tgx= ­bb//aa не теряются.

Уравнение вида  aasinsinmmx+x+bbcoscosmmx=0  x=0 тоже называют  однородным тригонометрическим  уравнением первой степени. Для их  решения обе части уравнения делят  почленно на cosmxx..

Примеры • №1. Решить уравнение 2sinx-3cosx=0 Решение. Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим 2tgx-3=0 tgx=3/2 x=arctg3/2 + πn, n € Z Ответ: x=arctg3/2 + πn, n € Z

• №2. Решить уравнение sin2x+cos2x=0 Решение. Разделив обе части уравнения почленно на cos2x, получим tg2x+1=0, tg2x=-1 2x=-π/4+ πn, n € Z x=- π/8+ πn/2, n € Z Ответ: x=- π/8+ πn/2, n € Z

Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое  уравнение второй степени asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0.     Если коэффициент а отличен от нуля, то есть в  уравнение содержится член sin2x с каким­то  коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая, как и  выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих  нас значениях переменной  cosx не обращается в нуль, а  потому можно обе части уравнения разделить почленно на  cos2x. asin2x/cos2x+bsinxcosx/cos2x+ccos2x/cos2x=0/cos2x   atg2x+btgx+c=0      Это квадратное уравнение относительно новой  переменной z=tgx.

Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении  asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 коэффициент а=0, то есть отсутствует  член asin2x. Тогда уравнение принимает вид bsinxcosx+ccos2x=0. Это  уравнение можно решить методом разложения на множители: cosx(bsinx+ccosx)=0 cosx=0   или   bsinx+ccosx=0 Получились два уравнения, которые мы умеем решать. Аналогично обстоит дело и в случае, когда c=0, то есть когда  однородное уравнение принимает вид asin2x+bsinxcosx=0 (здесь  можно вынести за скобки sinx). Фактически мы выработали алгоритм решения  однородных тригонометрических уравнений второй  степени.

a sin x + b cos x = 0, где a  ≠ 0, b≠  0. При делении уравнения a sin x + b cos x = 0, где a  ≠ 0, b≠  0  на cos x ≠ 0 корни этого уравнения не теряются. аsin²x sin²x++ bsinx cosx + ccos²x если в этом уравнении есть одночлен аsin²x на cos²x равняться 0). cos²x ≠ 0 (так как sinх и cosх одновременно не могут  cos²x= 0 где  а ≠ 0, b ≠ 0, с  ≠0. sin²x, то делим уравнение  cos²x = 0 , где b ≠ 0, с  ≠0. b sin x cos x + c cos²x (т.е. в уравнении нет одночлена a sin²x путем разложения на множители.  sin²x), то уравнение решается

Примеры • №1. Решить уравнение sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0. Решение. sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0 \ ÷ cos2x tg2x-3tgx+2=0 Введем новую переменную z=tgx z2-3z+2=0 z1=1, z2=2 tgx=1 tgx=2 x= π/4+ πn, n € Z x=arctg2 + πn, n € Z

• №2. Решить уравнение √3sinxcosx+cos2x=0. Решение. cosx(√3sinx+cosx)=0 cosx=0 или √3sinx+cosx=0 \ ÷ cosx≠0 x= π/2+ πn, n € Z √3tgx+1=0 tgx=-1/ √3 x=arctg(-1/ √3) + πn, n € Z x=- π/6+ πn, n € Z

• №3. Решить уравнение 6sin2x+5cosx-2=0. Решение. Заменяя sin2x на 1- cos2x получаем: 6(1- cos2x) +5cosx-2=0 откуда -6 cos2x +5cosx+4=0 заменяем cosx=y, получаем квадратное уравнение 6y2-5y-4=0 cosx= 4/3 не имеет решений, cosx= -1/2 Zkk     ,23/2 x 

83 №164-169 83 №164-169 Открываем учебники на стр. Открываем учебники на стр. 1 подгруппа: под буквой а) 1 подгруппа: под буквой а) 2 подгруппа: под буквой б) 2 подгруппа: под буквой б) 3 подгруппа: под буквой в) 3 подгруппа: под буквой в) 4 подгруппа: под буквой г) 4 подгруппа: под буквой г)

Определите вид уравнения и укажите способ его  решения:                          а) sin x = 2 cos x;                          б)  sin x + cos x = 0;                          в) 4 cos 3x + 5 sin 3x = 0;                          г) 1 +7 cos²x + 3 sin²x = 0; cos²x + 3 sin²x = 0;                          дд))  sin 3x – cos 3x = 0; sin 3x – cos 3x = 0;                                                    ее))  sin x cos x + cos²x                           sin x cos x + cos²x = 0

Продолжи предложение Сегодня я узнал….. Сегодня я узнал….. Было трудно….. Было трудно….. Я научился…………… Я научился…………… Меня Меня заинтересовало…………. заинтересовало…………. Мне захотелось……… Мне захотелось……… Меня удивило………………… Меня удивило………………… Теперь я могу…………. Теперь я могу………….

Домашнее задание: № 172(а, в) Перепишите уравнения в тетрадь

а о з к ! а п С б о и р с у