ПАМЯТКА «Формулы сокращенного умножения»(7класс, алгебра)

«Формулы сокращенного умножения» 1) Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение  первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. (a+b)2 = a2+2ab+b2 a) (x + 2y)2 = x2 + 2 ∙x∙2y + (2y)2 = x2 + 4xy + 4y2 б) (2k + 3n)2 = (2k)2 + 2∙2k∙3n + (3n)2 = 4k2 + 12kn + 9n2 в) 1122 = (100 + 12)2 = 1002 + 2 ∙ 100 ∙ 12 + 122 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544 Предостережение! (a + b)2 не равно a2 + b2  2) Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное  произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. (a­b)2 = a2­2ab+b2 Запомни! (a ­ b)2 = (b ­ a)2 а) (2a – c)2 = (2a)2­2∙2a∙c + c2 = 4a2 – 4ac + c2 б) (3a – 5b)2 = (3a)2­2∙3a∙5b + (5b)2 = 9a2 – 30ab + 25b2 3) Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их  сумму. a3­b3 = (a­b)(a2+ab+b2) а) 64с3 – 8 = (4с)3 – 23 = (4с – 2)((4с)2 + 4с∙2 + 22) = (4с – 2)(16с2 + 8с + 4) б) (3a – 5b)(9a2 + 15ab + 25b2) = (3a)3 – (5b)3 = 27a3 – 125b3   Предписание для разложения на множители : a2–b2 = (a–b)(a+b) a) 9x2 – 16y2 = (3x)2 – (4y)2 = (3x – 4y)(3x + 4y) б) (6k – 5n)( 6k + 5n) = (6k)2 – (5n)2 = 36k2 – 25n2 в) 152 ­ 22 = (15 ­ 2)(15 + 2) = 13 x 17 = 221 4). Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение  квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на  квадрат второго плюс куб второго выражения. (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 a)  (m + 2n)3 = m3 + 3∙m2∙2n + 3∙m∙(2n)2 + (2n)3 = m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 б)  (3x + 2y)3 = (3x)3 + 3∙(3x)2∙2y + 3∙3x∙(2y)2 + (2y)3 = 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3 Предостережение!  (a + b)3 не равно a3 + b3 5)  Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное  произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого  выражения на квадрат второго минус куб второго выражения. (a­b)3 = a3­3a2b+3ab2­b3 а) (2x – y)3 = (2x)3­3∙(2x)2∙y + 3∙2x∙y2 – y3 = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 б) (x – 3n)3 = x3­3∙x2∙3n + 3∙x∙(3n)2 – (3n)3 = x3 – 9x2n + 27xn2 – 27n3 6) Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный  квадрат их разности. a3+b3 = (a+b)(a2–ab+b2) a) 125 + 8x3 = 53 + (2x)3 = (5 + 2x)(52 — 5∙2x + (2x)2) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x2) б) (1 + 3m)(1 – 3m + 9m2) = 13 + (3m)3 = 1 + 27m3 7) Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на  неполный квадрат их суммы. ­1)ВЫНЕСТИ  ЗА СКОБКИ ОБЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ(числовой множитель – общий  делитель, степень с наименьшим показателем), 2)применить формулы сокращенного умножения, 3) применить способ группировки «Формулы сокращенного умножения» 1) Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение  первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. (a+b)2 = a2+2ab+b2 a) (x + 2y)2 = x2 + 2 ∙x∙2y + (2y)2 = x2 + 4xy + 4y2 б) (2k + 3n)2 = (2k)2 + 2∙2k∙3n + (3n)2 = 4k2 + 12kn + 9n2 в) 1122 = (100 + 12)2 = 1002 + 2 ∙ 100 ∙ 12 + 122 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544 Предостережение! (a + b)2 не равно a2 + b2  2) Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное  произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. (a­b)2 = a2­2ab+b2 Запомни! (a ­ b)2 = (b ­ a)2 а) (2a – c)2 = (2a)2­2∙2a∙c + c2 = 4a2 – 4ac + c2 б) (3a – 5b)2 = (3a)2­2∙3a∙5b + (5b)2 = 9a2 – 30ab + 25b2 3) Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их  сумму. a2–b2 = (a–b)(a+b) a) 9x2 – 16y2 = (3x)2 – (4y)2 = (3x – 4y)(3x + 4y) б) (6k – 5n)( 6k + 5n) = (6k)2 – (5n)2 = 36k2 – 25n2 в) 152 ­ 22 = (15 ­ 2)(15 + 2) = 13 x 17 = 221 4). Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение  квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на  квадрат второго плюс куб второго выражения. (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 a)  (m + 2n)3 = m3 + 3∙m2∙2n + 3∙m∙(2n)2 + (2n)3 = m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 б)  (3x + 2y)3 = (3x)3 + 3∙(3x)2∙2y + 3∙3x∙(2y)2 + (2y)3 = 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3 Предостережение!  (a + b)3 не равно a3 + b3 5)  Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное  произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого  выражения на квадрат второго минус куб второго выражения. (a­b)3 = a3­3a2b+3ab2­b3 а) (2x – y)3 = (2x)3­3∙(2x)2∙y + 3∙2x∙y2 – y3 = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 б) (x – 3n)3 = x3­3∙x2∙3n + 3∙x∙(3n)2 – (3n)3 = x3 – 9x2n + 27xn2 – 27n3 6) Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный  квадрат их разности. a3+b3 = (a+b)(a2–ab+b2) a) 125 + 8x3 = 53 + (2x)3 = (5 + 2x)(52 — 5∙2x + (2x)2) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x2) б) (1 + 3m)(1 – 3m + 9m2) = 13 + (3m)3 = 1 + 27m3 7) Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на  неполный квадрат их суммы. а) 64с3 – 8 = (4с)3 – 23 = (4с – 2)((4с)2 + 4с∙2 + 22) = (4с – 2)(16с2 + 8с + 4) б) (3a – 5b)(9a2 + 15ab + 25b2) = (3a)3 – (5b)3 = 27a3 – 125b3 a3­b3 = (a­b)(a2+ab+b2) Предписание для разложения на множители : ­1)ВЫНЕСТИ  ЗА СКОБКИ ОБЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ(числовой множитель – общий делитель,  степень с наименьшим показателем), 2)применить формулы сокращенного умножения, 3) применить способ группировки