Перпендикулярные прямые в пространстве

Перпендикулярные  прямые в пространстве

Модель куба. 1.Как называются прямые АВ и ВС? 2.Найдите угол между прямыми АА1 и DC; ВВ1 и АD. В пространстве С1 В1 перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут скрещиваться. С В D1 D А1 А

Рассмотрим прямые АА1, СС1 и DC. АА1 / / СС1 ; DC СС1  D1 С1 В1 АА1 DC  Если одна из параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая D прямая перпендикулярна С к этой прямой. В А1 А

Найдите угол между прямой АА1 и прямыми плоскости (АВС): АВ, АD, АС, ВD, МN. D1 А1 С1 Прямая называется 900 перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к 900 любой прямой, лежащей В1 в этой плоскости. 900 D М С 900 А N В 900

Перпендикулярные прямые в  пространстве Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90о с а α c  b b а  b

a b A α M c C Если одна из двух  Дано:  а || b,  a  c параллельных  прямых  этой прямой Доказательство: Доказать:    b  c  перпендикулярна  третьей прямой, то и  другая прямая  перпендикулярна к  2. По условию а || b, а по построению а || МА, потому b  1. Через произвольную точку М пространства, не  лежащую на данных прямых, проведём прямые МА и  || МА. МС, параллельные соответственно прямым а  и  с. Так  Итак, прямые а и с параллельны соответственно  как a  c, то угол АМС – прямой. прямым МА и МС, угол между которыми прямой. Это  означает, что угол между прямыми  b и с также  прямой.

Прямая  называется  перпендикулярной  к  плоскости,  если  она  перпендикулярна  к  любой прямой, лежащей в этой плоскости а α а  α

Теорема 1 Если  одна  из  двух  параллельных  прямых  перпендикулярна  к  плоскости,  то  и  другая  прямая перпендикулярна к этой плоскости. a а1 х α Дано:  а || а1; a     αДоказать:   а1      α Доказательство:

Если  две  прямые  перпендикулярны  к  плоскости,  то  они  параллельны. Теорема 2  β M с α a b b1 ; b α Дано:   а     α Доказать:   а || b  Доказательство:

В А С D Дано: АВ   АС,  АВ    АС, АС    AD AB = 3см , BC = 7см,  AD = 1,5см  Τ  Найти: CD Τ  Τ  Решение: Прямые АВ, АС и AD  попарно перпендикулярны.  Найдите отрезок СD, если  AB = 3см , BC = 7см,   AD = 1,5см

В А С D Дано: АВ   АС,  АВ    АС, АС    AD A D = 3см , BC = 16см,  ВD = 9см  Τ  Найти: CD Τ  Τ  Решение: Прямые АВ, АС и AD  попарно перпендикулярны.  Найдите отрезок СD, если  A D = 3см , BC = 16см,   ВD = 9см

Признак перпендикулярности прямой  и плоскости Если прямая перпендикулярна к двум  пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то  она перпендикулярна к этой     плоскости a m q O p α Дано:  а  p; a   q ; q α  α            p   ∩              p   q = O  α Доказать:   а   Доказательство:

Доказательство: а) общий случай a1 a m α q O p