Первообразная 11 класс

Краткий справочный материал Тема «Первообразная функции и ее свойства». Примеры решений задач Решите самостоятельно нахождению Определение Функция F(x) называется первообразной дл я функции f(x) на данном промежутке, если для любого x из данного промежутка F′ (x)=f(x). Операция нахождения первообразной функции называется интегрированием. Интегрирование – математическое действие, обратное дифференцированию, то есть производной. Интегрирование позволяет по производной функции найти саму функцию. Эта операция неоднозначна – для данной интегрируемой функции f(x) существует бесконечно много первообразных, но каждые две из них отличаются на константу. Основное свойство первообразных Если F(x) – первообразная функции f(x), то и функция F(x)+C, произвольная постоянная, также является первообразной функции f(x) (т.е. все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x)+C). Таблица первообразных где C – Пример 1. Доказать, что функция  для    Решение: чтобы это подтвердить, возьмем производную  – первообразная  Пример 2.Найдите первообразную функции  .     Решение:        Представим функцию   в  . Первообразная данной функции  виде  будет    Найти первообразную   Пример 3.       Решение:         Первообразная данной функции будет  F(x)=­3ctgx­7cox­2sinx+C. Пример 4.Для функции f(x) = 4 – х 2 найти первообразную,  график которой проходит через точку (­3; 10). Решение:  1)Найдем все первообразные функции    f(x):  2) Найдем число С , такое, чтобы график  функции  Подставим х = – 3, y = 10 , получим:  проходил через точку (­3; 10).  Правила нахождения первообразных. Правило 1 Если F есть первообразная для f, a G —  первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g. Правило 2 Если F есть первообразная для f, a k —  постоянная, то функция kF — первообразная для kf. Правило 3 Если F (х) есть первообразная для f (x), a k и  Ответ: Следовательно,  . Задание № 1 Докажите, что  функция  первообразной для  функции  если  ,     является  Задание № 2 Найдите первообразную для  функции: а)   . . б)  Задание № 3 а) Для функции  найдите ту первообразную,  график которой проходит  через точку  б) Для функции  найдите ту первообразную,  график которой проходит  через точку  . . b — постоянные, причем k≠0, то  первообразная для f (kx+b).  есть