План 8

Конспект урока: Решение рациональных уравнений при помощи замены неизвестного

Необходимое оборудование: доска, компьютер, проектор, раздаточные материалы

Цель урока: закрепить умения решать уравнения способом замены неизвестного.

Этапы урока

1.     Оргмомент – 5 минут

2.     Решение биквадратных уравнений – 7 минут

3.     Презентация замены неизвестного при решении уравнений – 8 минут

4.     Физкультминутка – 2 минуты

5.     Работа в группах – 20 минут

6.     Подведение итогов – 3 минуты

Ход урока:

1.Организационный момент

2. Устная работа

А) Что называется уравнением?

В) Что такое корень уравнения?

С) Что значит решить уравнение?

Д) Виды уравнений( квадратные , биквадратные, распадающиеся, уравнение одна часть которого алгебраическая дробь, другая –нуль, рациональные уравнения)

- Как решить линейное уравнение? (Все слагаемые с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).

- Как решить квадратное уравнение? (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)

2) Если надо решить биквадратное уравнение ах⁴ + bx² + c=0, то вводим новую неизвестную, например, y=x², получаем квадратное уравнение: ay² + by + c=0. Решив это уравнение, найдем корни y₁ и y₂. Чтобы найти корни исходного уравнения, т.е. x₁ и x₂, надо решить два уравнения 1) x² = y₁ и 2) x² = y₂.

3. Обьяснение новой темы

Пример 1. Решим уравнение

(x² + x – 1) (2x² +2x + 3) – 7(1 – x – x²) = 110 (1)

Раскрытие скобок приведет к уравнению четвертой степени, упростить решение помогает замена неизвестного.

Введем новое неизвестное t = x² + x – 1, тогда 2x² +2x + 3 = 2 (x² + x – 1) +5,
1 – x – x² = - ( x² + x – 1) = -t. Поэтому уравнение (1) перепишется в виде:

t(2t + 5) + 7t = 110 или 2t² + 12t – 110 = 0

Это уравнение имеет два корня t₁ = 5, t₂ = - 11

Поэтому корнями уравнения (1) являются корни двух уравнений:

1) x² + x – 1 = 5 и 2) x² + x – 1 = - 11

Решив каждое из уравнений 1) и 2), найдем все корни уравнения (1): x₁ = -3, x₂ = 2.

Ответ. -3; 2.

Пример 2. Решим уравнение

(x + 3) (x – 5) (x + 2) (x – 4) = 60 (2) [2, 18]

Раскрытие скобок приведет к уравнению четвертой степени, упростить решение помогает замена неизвестного. Но сначала в левой части уравнения умножим первый множитель на второй и третий на четвертый, потому что суммы свободных членов этих многочленов в каждой паре одинаковы: 3 + (- 5) = 2 + (-4), получим равносильное уравнение

(x² - 2x – 15) (x² - 2x – 8) = 60.

Введем новое неизвестное t = x² - 2x – 15, тогда x² - 2x - 8 =t + 7, поэтому уравнение перепишется в виде

t (t + 7) = 60 или t² + 7t – 60 = 0

Это уравнение имеет два корня t₁ = 5, t₂ = - 12

Поэтому корнями уравнения (2) являются корни двух уравнений:

1) x² - 2x – 15 = 5 и 2) x² - 2x – 15 = - 12

Решив каждое из уравнений 1) и 2), найдем все корни уравнения (2): x₁ = 1 - , x₂ = 1 + ,  x₃ = - 1,  x₄ = 3.

Ответ. x₁ =1 - , x₂ = 1 + ,  x₃ = - 1,  x₄ = 3.

А теперь перейдем к решению более сложных задач .Двое работают у доски, остальные в группах по четыре человека.

Задания для работающих у доски:

1 задание. Решите уравнение x⁵ – 9x³ + 20x = 0. Указание: вынесите x за скобки.

2 задание. Решите уравнение (x² – 5x) (x² – 5x + 10) + 24 = 0. Указание: введите новое неизвестное x² – 5x =t.

4. Закрепление нового материала

Задания для работы в группах:

1 задание. Решите уравнение (x – 2)² (x² – 4x + 3) = 12. Указание: выражение в первых скобках возведите в квадрат.

2 задание. Решите уравнение (x² – 7x + 13)² – (x – 3) (x – 4) = 1. Указание: перемножьте выражения в скобках (x – 3) (x – 4).

 Итак, сегодня на уроке мы с вами решали уравнения, используя метод замены неизвестного. Учебно-методическая газета “Математика” выходит под девизом: “Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием”, а вот для меня большая радость, если все, чему вы научились на уроках, можете использовать на экзаменах.

5.Домашнее задание

№339. № 340

7. Подведение итога урока