План 8

 «Квадратные уравнения»

Урок – лекция реализует технологию укрупнения дидактических единиц.

Цели: достижение целостности математических знаний как главное условие развития и саморазвития интеллекта учащихся. Обучение на определенном уровне трудностей, высокий темп обучения, а не топтания на месте, непрерывное повторение, ведущая роль теоретических знаний, воспитание познавательного интереса.

Этапы урока

1.     Организационный момент. Объявление темы урока, плана, целей и задач, раздача индивидуальных конспектов. (5 мин.)

2.     Вступление. Из истории решения квадратных уравнений. (8 мин.)

3.     Новый материал. Закрепление нового материала.  (45 мин.)

4.     Закрепление теории – решение кроссворда (7 мин.)

5.     Дидактическая игра (10 мин)

6.     Подведение итогов, домашнее задание (5 мин.)

Ход урока

1.           Вступление (из истории уравнений).

Необходимость решать уравнения 2 степени возникла еще в глубокой древности  при нахождении площадей земельных участков, в связи с земляными  работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне.  В клинописях встречаются такие квадратные уравнения:

 х² + х =,   х² – х = 14 .

А в древней  Индии были распространены публичные соревнования по решению трудных задач.  Вот одна из таких задач индийского математика 12 века Бхаскары:

«Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась

А 12 по лианам…

Стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне в этой стае?»

Решение  Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратного уравнения, т.к. решает он так:

() ²  +  12 =  Х ,

Х² – 64Х = – 768,  затем  дополняет левую часть до полного квадрата, прибавляя к обеим частям  32², получает:

Х² –64Х + 32² = –768 + 1024,

(Х–32)² = 256,

Х – 32 = ± 16,

Х₁=16,  Х₂= 48.

ЛЕКЦИЯ

Перед объяснением  нового материала учащимся раздаются краткие конспекты лекции  (приложение 1).

Части лекции проектируются на экран  интерактивной доски.

 К каждой части лекции  на доске решаются примеры.

Лекция начинается с объяснения 1 части, затем к ней разбираются примеры. Затем объясняется 2 часть лекции и показывается ее применение на  примерах, записанных на доске и т.д. Первичное объяснение идет в быстром темпе при активном участии  ребят.

Записи на доске к каждой части лекции.

1 часть лекции

Задание 1.

 Под какими цифрами квадратные уравнения?  Выпиши их в тетрадь.

1.     5х² – 24х – 6 = 0,

2.     4х –28 = 0,

3.     х ⁴ –64 =0,

4.     х²  = 0,

5.     х² –56 =0,

6.     25х +9 =0,

7.     х² – 3х + 5 = 0,

8.     х² +10=0,

9.     х⁴ + 4х² –12 =0

Задание 2.

Выпишите коэффициенты  каждого квадратного уравнения.

     а)  3х² – 2х + 1 = 0,

б)  х² + 5х = 4,

в) – х² – х + = 0,

г) – 4х² – 2 = 0,

д) х² + х = 0.

Отметьте приведенные квадратные уравнения.

2 часть лекции

Решите уравнения:

а) 2х² – 8 = 0;                                      б)  5х² + 10 = 0;

х² =4;                                                    х² = –2.

х₁=2; х₂= –2.                                   Ответ: корней нет          

Ответ: 2; –2.

в) 3х² – х = 0;                                       г)   –  6х² = 0;

    х∙(3х – 1) = 0;                                            х=0.      

    х₁=0;  х₂=.                                             Ответ: 0. 

         Ответ: 0; .                                                 

3 часть лекции

Вычислите  дискриминант и сделайте  вывод о числе корней квадратного уравнения:

1)  2 х² –9х + 10 = 0;

D= b² – 4ас= (−9)² −4∙2∙10=1 >0  - 2 корня.

2)   х² –10х + 25 = 0;

= () ² –  ас = 25–25=0 – 1 корень.

3)   х² –3х + 7 =0;

 D= b² – 4ас= 9−28 < 0 – нет корней

4 часть лекции

По формуле корней квадратного уравнения найдите корни уравнения:

 а) 5 х² –х – 4 =0;

     D=1+80=81 >0;

             х_1,2     =   ;   

      х₁ =  =1;  х₂ =  = – 4/5.

 Ответ: 1; - 0,8.

 б) 4 х² –12х +9 =0;

      = 36–36=0;

      х=1,5.

 Ответ: 1,5.

5 часть лекции

 Задание 1.

По теореме, обратной теореме Виета, не вычисляя, найдите сумму и произведение корней уравнения. Попробуйте найти корни уравнения подбором.

 х² + 8х + 7 =0;

 D >0;

 х₁ ∙ х₂ =7,  х₁+ х₂ = –8.   Þ  х₁= – 1; х₂= – 7.

      Ответ:   –7; –1.

       Задание 2.

   Составьте квадратное уравнение, если его корни равны  –3 и 5.

х₁∙ х₂ = –15= с,  

х₁+ х₂ = 2 = –b,   b= –2.

Ответ:  х² – 2х –15 =0.

Все записи учащиеся делают в классной тетради - это образцы решений.

2.      Закрепление теории – решение кроссворда.

 1. Какое число является решением неполного квадратного уравнения при b=0 и с=0?

 2. Решение квадратного уравнения.

 3. Имя Виета.

 4. Сколько корней имеет квадратное уравнение,     если его D>0?

 5. Какой национальности Виет?

 6. Как с  латыни переводится D?

 7. Какой коэффициент при  х²  в приведенном   квадратном уравнении?

8. Что исследуется в квадратном уравнении для нахождения  числа корней уравнения?

 9. Как называется теорема Виета, помогающая подбором находить корни приведенного квадратного  уравнения?

10.Каким должен быть коэффициент  в  квадратном уравнении, чтобы его корни  можно  было искать, используя  ?

11. Какой знак сравнения должен стоять  между  D  и  0, чтобы квадратное уравнение не имело корней?

12. Фамилия французского математика, который разработал основы элементарной алгебры, ввел буквы и развил теорию квадратных уравнений.

Ответы на кроссворд (приложение 2)

4.  Дидактическая игра

Класс делится на 2 команды- 1 и 2 варианты. Ответы на вопросы могут быть  трех видов:  да, нет, прочерк (не знаю).

1. Уравнение  х² – 2х + 1 =0  имеет один корень.                Да.

2. Уравнение  2 х² -6х + 5 =0   имеет  два корня.                 Нет           

3. Уравнение  -8 х + х² − 3 =0  приведенное.                       Да

4. В уравнении  х² + х − 6 =0,    х₁= 2; х₂= −3.                      Да

5. Уравнение   х² +9 =0  имеет  два корня.                           Нет      

6. В уравнении  х² –6х +9=0  один корень.                          Да         

7.     В уравнении  7х² –6х=0   один корень равен нулю.      Да

8.  Уравнение  2х (1-х ) =6  не квадратное.                          Нет    

Учащиеся отвечают на вопросы, записывая ответы  в колонку. Затем обмениваются тетрадями по вариантам. Заполняется таблица правильных ответов.

Начинается обсуждение решений. За правильное объяснение команде присуждается  дополнительное очко (за различные способы решения тоже 1 очко). При объяснении учащиеся еще раз повторяют теорию, применяя ее к решению конкретных задач.

5.  Итог урока.

Учащиеся  получают контрольные вопросы и еще раз, отвечая на них,  повторяют материал лекции.

1. Какие уравнения называются квадратными? Что такое  a , b, c ?

2. Какое квадратное уравнение называется приведенным? Как из неприведенного уравнения сделать приведенное?

3. Формулы дискриминанта при четном и нечетном  b.

4.  Как определить число корней по D?

5.  Формула корней при D >0, формула корня при  D=0?

6.  Формула корней при  >0, формула корня при  =0?

7. Определение неполного квадратного уравнения при b=0.   Исследование числа корней.

8.     Определение неполного квадратного уравнения при с=0.            Исследование числа корней.

9.  Определение неполного квадратного уравнения при b=0, с=0. Исследование числа корней.

10. Теорема Виета (прямая и обратная). Применение теоремы Виета.

Приложение 1.

Лекция «Квадратные уравнения» (конспект для учащихся)

1часть

ах²+bх+с=0 (а≠0)

а,b,с – некоторые числа

а) а=1 – уравнение приведенное

    а≠1 – уравнение неприведенное

б) х² +х +=0  (:а).

2 часть

D=b²-4ас, если b – нечетное

=()² – ас, если b – четное

D >0 – 2 корня

D=0 – 1 корень

D <0 – нет корней

3 часть

Формула I:  1)  Если D=b²-4ас >0,  то             2)  Если D=0, то х= -.

                                   х_1,2     =   ;    

 Формула II: Если = () ²  - ас >0, то        2) Если =0, то

                                       – ±                        х=­­

                    Х_1,2     =  ----------------- ;                     

                                       а

4 часть                  

а) b=0                                                              б) с=0                                         в)  b=0, с=0                                                                                                  

   ах² +с=0 (а≠0, с≠0);                                         ах²+bх =0  (а≠0, b≠0);               ах²=0 (а≠0)

   ах² = - с ;                                                          х(ах+b)=0                                   х=0

   х² = ;                                                         х=0 или ах+b=0

   х_1,2=± ,  2 корня,если   >0                             х=

                           1 корень, если <0

5 часть

 Франсуа Виет.

ах²+bх+с=0 (а≠1)

 х² +х +=0

х²+p х +qа =0

х₁+х₂=-p

х₁ ∙ х₂=q

Проверка  корней!

Приложение 2

 Ответы кроссворда

 1. Какое число является решением неполного квадратного уравнения при b=0 и с=0?

 2. Решение квадратного уравнения.

 3. Имя Виета.

 4. Сколько корней имеет квадратное уравнение,     если его D>0?

 5. Какой национальности Виет?

 6. Как с  латыни переводится D?

 7. Какой коэффициент при  х²  в приведенном   квадратном уравнении?

8. Что исследуется в квадратном уравнении для нахождения  числа корней уравнения?

 9. Как называется теорема Виета, помогающая подбором находить корни приведенного квадратного  уравнения?

10.Каким должен быть коэффициент  в  квадратном уравнении, чтобы его корни  можно  было искать, используя  ?

11. Какой знак сравнения должен стоять  между  D  и  0, чтобы квадратное уравнение не имело корней?

12. Фамилия французского математика , который разработал основы элементарной алгебры, ввел буквы и развил теорию квадратных уравнений.

Отгадай получившиеся слова!