План урока алгебраическая и геометрическая прогрессии (1)

Последовательности

Школа:

Дата:

ФИО учителя:

Класс: 9

Количество присутствующих:

отсутствующих:

Тема урока

Арифметическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия.

Вид урока

Изучение новой темы

Цели обучения, которые достигаются на данном  уроке (ссылка на учебную программу)

9.2.3.7

решать задачи, связанные с арифметической и/или геометрической прогрессиями;

Цели урока

Учащиеся будут:

-          знать свойства арифметической  и геометрической прогрессий.

-          решать смешанные задачи связанные с прогрессиями;

-          учитывать свойства данных прогрессий.

Критерии оценивания

ü  Знает формулу n-го члена арифметической и геометрической  прогрессий.

ü  Применяет формулу n-го члена арифметической и геометрической прогрессии при решении задач прямо и обратно.

ü  Знает и применяет формулу суммы  n первых члена арифметической и геометрической  прогрессии.

ü  Знает и применяет характеристическое свойства прогрессий.

ü  Обобщает характеристические свойства арифметической прогрессии.

Языковые цели

Учащиеся будут:

-          использовать предметную лексику и терминологию раздела при решении задач;

-          аргументировать  использование  арифметической и геометрической прогрессий при решении задач;

-          комментировать решение задач на банковский процент;

Лексика и терминология, специфичная для предмета:

-          числовая последовательность;

-          способы задания последовательностей;

-          предыдущий член последовательности, последующий член последовательности;

-          первый член последовательности и т.д.,n-й член последовательности;

-          формула n-го члена последовательности;

-          рекуррентная формула;

-          возрастающая, убывающая последовательность;

-          разность арифметической прогрессии;

-          знаменатель геометрической прогрессии;

-          среднее арифметическое;

-          среднее геометрическое;

-          сумма n первых членов арифметической/геометрической прогрессии;

-          бесконечно убывающая геометрическая прогрессия;

Полезные выражения для диалогов и письма:

-          n –й член последовательности можно представить в виде формулы…;

-          следующим элементом последовательности будет…;

-          чтобы найти …член …прогрессии…;

-          последовательность является убывающей/возрастающей, так как…;

-          чтобы найти сумму …первых членов …прогрессии…;

-          числа…являются членами арифметической прогрессии, так как…;

-          числа…являются членами геометрической  прогрессии, так как…;

-          так как а₁=…,а_n=…, то сначала нужно найти …;

-          чтобы перевести периодическую дробь…в обыкновенную…;

Межпредметные связи

История математики, экономика, физика

Привитие ценностей

Привитие ценностей осуществляется через решение прикладных задач, в групповой форме работы, через парную работу, умение объяснить задачу другим. Забота о здоровье учащихся.

Навыки использования ИКТ

Использование ИД для демонстрации презентации.

Предварительные знания

Понятие  числовой последовательности; последовательности, содержащей степени. Умение определять закономерности и находить недостающие члены последовательности, содержащей степень с целым показателем. Понятие процента, нахождение процента от числа, числа по его проценту, процентного отношения. Задачи на проценты. Делимость чисел, признаки делимости.

Ход урока

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Ресурсы

Начало урока

3 минут

Организационный момент.

- концентрация внимания учащихся;

-проверка эмоционального фона учащихся;

-проверка готовности кабинета и воздуха;

-проверка домашней работы                                                            - определение «зону ближайшего и дальнего развития» учащихся, ожидания к концу урока.

Разделить на пары учащихся. Можно поделить их случайным образом посчитав по возрастанию и разделив на четные и нечетные номера.

Середина урока

5  минут

5 минут

17 минут

8 минут

Активити. Проверь свою память.

Данное задание поможет обобщить знания и закрепить данную тему.

Тип работы: Индивидуальная работа.

На доске записать все формулы двух прогрессий  или показать на презентации.Через минуту дать учащимся по памяти записать все формулы и проверить по готовому ответу. На запись формул по памяти дается 5 минут. Предложить учащимся ответить на вопросы:

• Что называется арифметической прогрессией?
• Что называется геометрической прогрессией?
• Как вычислить знаменатель геометрической прогрессии?
• Как вычислить разность арифметической прогрессии?
• Почему прогрессия называется арифметической?
• Почему прогрессия называется геометрической?

·         К каком числам принадлежит n?

·         В чем разница  в заданных формулах?

·         Какие свойства вы можете описать отдельно?

·         При решении каких задач применяются данные формулы?

Оценивание: учителем и одноклассниками устно.

Примечание: Если нет возможности испльзовать ИД, тогда можно все формулы разрезать и раздать парам. По результатам можно их объединить в группы и осуществить взаимопроверку. Таким методом можно закрепить данные формулы.

Активный метод обучения с применением ИКТ:

“Найди пару!”

 https://learningapps.org/display?v=pm969r9qk19

Данное задание поможет обобщить знания и закрепить данную тему.

Тип работы: класная. (индивидуальная)

На доске с помощью приложения можно повторить формулы арифметической и  геометрической прогресий. Каждый ученик выходит к доске и находит соответствие.

Оценивание: учителем и одноклассниками устно.

Примечание:

Если нет возможности использование ИД, тогда можно предложить учащимся заполнить сводную таблицу.

Изучение новой темы.

Широко распространены задачи, в условиях которых говорится о двух прогрессиях: арифметической и геометрической. Как правило, для решения таких задач достаточно учесть характеристические свойства этих прогрессий.

 Работа в группах. На ИД показывается задание. Учащихся объединить в уровневые группы и попросить учащихся решить самостоятельно задачу. Если учащиеся могут решить самостоятельно, то их  можно попросить показать остальные два способа. В крайнем случае можно обменяться группами и объяснить остальные методы решения. Второй вариант: раздать учащимся три способа решения и каждая группа объясняет метод решения задач остальным.

Цель данной групповой работы:

Рассмотреть одну задачу и все три способа решения чтобы определить какие характеристические свойства должны учесть при решении задач.

Дескрипторы:

ü  Записывает формулу арифметической и геометрической прогрессий при решении задач прямо и обратно.

ü  Применяет формулу суммы  n первых члена арифметической и геометрической  прогрессий.

ü  Применяет  характеристическое свойства прогрессий.

ü  Обобщает характеристические свойства арифметической прогрессий.

Первая группа.

Три числа образуют арифметическую прогрессию. Если к первому числу прибавить 8, получится геометрическая прогрессия с суммой членов 26. Найти эти числа.

Первый способ:

Пусть эти числа а, b, с. Так как они образуют арифметическую прогрессию, то выполнено соотношение (свойство арифметической прогрессии): 2b = а + с.

После сложения первого числа с числом 8 получаем числа (а + 8), b, с, которые образуют геометрическую прогрессию. Запишем ее свойство: b² = (а + 8)с.

Кроме того, известно, что сумма членов геометрической прогрессии равна 26, т. е. (а + 8) + b + с = 26. Получаем для определения а, b, с систему уравнений

Запишем третье уравнение системы в виде (а + с) + b = 18. Учитывая первое уравнение системы, получим: b + 2b= 18, b = 6.

Тогда из первого и второго уравнений получаем систему для определения а и с:

Выразив из первого уравнения с = 12 - а и подставив во второе, получим уравнение 36 = (а + 8) · (12 - а), или а² - 4а - 60 = 0. Корни этого уравнения а = -6 и а = 10. Соответствующие им числа: с = 18 и с = 12.

Таким образом, искомые числа: -6, 6, 18 и 10, 6, 2.

Рассмотрим еще два способа решения этой задачи, которые позволяют уменьшить число неизвестных и сразу учесть свойство той или иной прогрессии.

Вторая группа

Три числа образуют арифметическую прогрессию. Если к первому числу прибавить 8, получится геометрическая прогрессия с суммой членов 26. Найти эти числа.

Второй способ:

Так как числа а, b, с образуют арифметическую прогрессию, го можно записать: b = a + d, c = a + 2d (где d - разность этой прогрессии). При этом учтено свойство арифметической прогрессии 2b = а + с (действительно,

2(а + d) = а + (а + 2d)). После прибавления к первому числу числа 8 получаем числа (а + 8), (а + d), (а + 2d). Сумма этих чисел равна 26, т. е. (а + 8) + (а + d) + (а + 2d).

Имеем систему уравнений для определения a, d: 

Из второго уравнения а + d = 6, откуда d = 6 - а.

Тогда из первого уравнения имеем: 36 = (а + 8)(12 - а),

а² - 4а - 60 = 0. Решив это уравнение, найдем:

а = -6 и а = 10.

Тогда соответствующие значения d: d = 12 и d = -4.

После этого находим числа: а = -6, b = 6, с = 18 и а = 10, b = 6, с = 2.

И наконец, третий способ решения позволяет учесть свойства геометрической прогрессии.

Третья группа

Три числа образуют арифметическую прогрессию. Если к первому числу прибавить 8, получится геометрическая прогрессия с суммой членов 26. Найти эти числа.

Третий способ

Так как числа (a + 8), b, с образуют геометрическую прогрессию, то можно записать: b= (a + 8)q, с = (а + 8)q². При этом выполнено свойство геометрической прогрессии 

b² = (а + 8) с (действительно,

[(a + 8)q]² = (а + 8)[(а + 8)q²]).

Сумма этих чисел:

(a + 8) + (a + 8)q + (a + 8)q² = (а + 8)(1 + q + q²) = 26. Числа а, b, с образуют арифметическую прогрессию, и можно записать ее свойство: 2(а + 8)q = а + (а + 8)q².

Прибавив к обеим частям уравнения 8 и перенеся слагаемое 2(а + 8)q из левой части в правую, получим: 8 = (а + 8) - 2(a + 8)q + (a + S)q2, или 8 = (a + 8)(1 - 2q + q²).

Для нахождения a и d имеем систему уравнений 

Разделив уравнения друг на друга, получим:  или 3q² - 10q + 3 = 0, откуда 

q = 1/3, q = 3. Тогда, соответственно, находим из любого уравнения системы: а = 10 и а = -6.

Далее определяем b и с: 

b = 6, с = 2 и b = 6, с = 18.

Тип работы: Парная работа.

Решение задач на закрепление.  Приложение 4.

Оценивание:

Взаимопроверка. Оценивание по дескрипторам. Контроль учителя и комментарии по ответам.

Дексрипторы:

ü  Записывает формулу арифметической и геометрической прогрессий при решении задач прямо и обратно.

ü  Применяет формулу суммы  n первых члена арифметической и геометрической  прогрессий.

ü  Применяет  характеристическое свойства прогрессий.

ü  Обобщает характеристические свойства арифметической прогрессий.

Обратная связь:

При выполнения задания что оказалось труднее вычисление по формулам или же составление математической модели?

Приложение 1

Приложение 2

https://learningapps.org/display?v=pm969r9qk19

Приложение 3

Приложение 4

Конец урока

3 минут

В конце урока учащиеся проводят рефлексию:

- что узнал, чему научился?

- что осталось непонятным?

- над чем необходимо работать?

Где возможно учащиеся могут оценить свою работу и работу своих одноклассников по определенным критериям.

Домашняя работа

Приложение 5

Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?

Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?

Здоровье и соблюдение техники безопасности

Работа в группах предполагает дифференциацию по типу - сильный поддерживает слабого. Индивидуальная работа на уровневые задачи.  Дифференцированные группы

Оценивание при помощи ИКТ,

Взаимооценивание во время групповой работы. оценивание по дескрипторам - во время индивидуальной и групповой работы.

Здоровьесберегающие технологии.

Рефлексия по уроку

Были ли цели урока/цели обучения реалистичными?      Все ли учащиеся достигли ЦО? Если нет, то почему? Правильно ли проведена дифференциация на уроке?  Выдержаны ли были временные этапы урока?                        Какие отступления были от плана урока и почему?

Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки. 

Общая оценка

Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

1:

2:

Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

1:

2:

Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?