Планиметрия в ЕГЭ.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Геометрия является одним из центральных разделов школьной  Геометрия является одним из центральных разделов школьной  математики. Но по ряду причин иногда изучение именно этого раздела  математики. Но по ряду причин иногда изучение именно этого раздела  вызывает у учащихся затруднения. вызывает у учащихся затруднения.  Геометрия – наиболее уязвимое звено школьной математики.   Геометрия – наиболее уязвимое звено школьной математики.  Задания частей В и С единого государственного экзамена содержат  Задания частей единого государственного экзамена содержат задания  задания по геометрии, в том числе и из планиметрии. Итоги предыдущих лет  по геометрии, в том числе и из планиметрии. Итоги предыдущих лет  показали, что учащиеся с данными заданиями справлялись хуже, а иногда  показали, что учащиеся с данными заданиями справлялись хуже, а иногда  даже не выполняли их, что связано с малым опытом решения  даже не выполняли их, что связано с малым опытом решения  геометрических задач. Одно из назначений данной презентации восполнить  геометрических задач. Одно из назначений данной презентации восполнить  этот пробел.  этот пробел.  Все задачи взяты из открытого банка задач:   http://mathege.ru/ Все задачи взяты из открытого банка задач:   http://mathege.ru/

содержание • треугольник • параллелограмм • прямоугольник, ромб, квадрат • трапеция • вписанная окружность и описанная ок ружность • площади

Задача:  Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26. Один из его катетов равен 10. Найдите другой катет.  Решение:  • ∆ ABС – прямоугольный. • АВ = 26;  ВС =10.    по теореме Пифагора:       содержание Ответ: 24

В треугольнике ABC   АС = ВС , угол C равен 120˚ , АВ = 2√3 .  Найдите AC.  Решение:  • ∆ ABС – равнобедренный  • проведем СН,  СН – медиана, биссектриса, высота. • АН = ВН = 2√3 : 2 = √3; ےAСН = ےBСН = 120˚ : 2 = 60˚    ∆ ABН – прямоугольный. Н содержание • Ответ: 2

Задача:  Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке  касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5  и 3, считая от вершины, противолежащей основанию.  Найдите периметр треугольника.  Решение:  Е К М содержание • ∆ ABD  ­ равнобедренный         АС = СВ = СК + КВ = 5 + 3 = 8. •  касательные, проведенные из общей  точки, расположенной вне  окружности равны.        ВК =ВМ = 3;  АЕ = АМ = 3.        • • РАВС = АС +ВС + АВ = 8 + 8 + 6 = 22  AB = АМ + ВМ = 3 + 3 = 6. • Ответ: 22

Задача:  Две стороны параллелограмма относятся как  3 : 4, а  периметр его равен 70. Найдите большую сторону  параллелограмма. Решение:  •   в параллелограмме  противоположные стороны равны  АD = BC; AB = DC. • AD : AB = 3 : 4 и BC : DC = 3 : 4.  • Р = 20. •  AB = DC = 70 : (3+4+3+4)* 4=  =70:14*4 = 5*4 =20. • Ответ: 20. содержание

Задача: Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную  сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите  большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88. Решение:  • •   по условию АК : ВК = 4 : 3.   биссектриса параллелограмма  отсекает равнобедренный  треугольник.    АВК – равнобедренный;   •         AD = AK. • AD : АВ = 4 :7. • РABCD = 88. • АВ =  DC = 88 : (4+7+4+7)*7 =       = 88 : 22*7 = 4*7 = 28 Ответ: 28 К содержание

Задача:  Периметр параллелограмма равен 46. Одна сторона  параллелограмма на 3 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.  Решение:  •   в параллелограмме  противоположные стороны равны  АD = BC; AB = DC. • РABCD = 46.  AD + DC = 46 :  2 = 23. • AD = (23 – 3) : 2 = 10 • Ответ: 10 содержание

Задача:  Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма,  прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной  стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5.  Найдите его большую сторону.  Решение:  • биссектриса параллелограмма  отсекает равнобедренный  треугольник.    АВЕ – равнобедренный; •         АВ =АЕ =5.          СDE –равнобедренный           CD = DE = 5 •  AD = AE = DE = 5 + 5 = 10. Ответ: 10 содержание

Задача:  Середины последовательных сторон прямоугольника, диагональ  которого равна 5, соединены отрезками.  Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.   HG – средняя линия треугольника ADC;     Решение:  •        HG = 5 : 2 = 2,5.       EF – средняя линия треугольника ABC;            EF = 5 : 2 = 2,5.       GF– средняя линия треугольника BDC;           GF = 5 : 2 = 2,5.       HE – средняя линия треугольника ADB;           HE = 5 : 2 = 2,5. • PHGFE = 4*2,5 = 10 Ответ:10 содержание

Задача:  Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма,  прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной  стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5.  Найдите его большую сторону.  Решение:  • биссектриса параллелограмма  отсекает равнобедренный  треугольник.    АВЕ – равнобедренный; •         АВ =АЕ =5.          СDE –равнобедренный           CD = DE = 5 •  AD = AE = DE = 5 + 5 = 10. Ответ: 10 содержание

Задача:  Найдите диагональ прямоугольника, если его периметр равен 28,  а периметр одного из треугольников, на которые диагональ  разделила прямоугольник, равен 24  Решение:  • у прямоугольника  противоположные стороны равны  АD = BC; AB = DC. • РABCD = 28;         AD + DC = 28 : 2 = 14. • PABC =24.       AD + DC + AC = 24. • AC = PABC – (AD + DC) = 24 ­14 =10.  • Ответ: 10 содержание

Задача:  Меньшая сторона прямоугольника равна 6, диагонали  пересекаются под углом 60 градусов.  Найдите диагонали прямоугольника.  Решение:  • диагонали прямоугольника равны и  точкой пересечения делятся  пополам.      AC = BD, поэтому        AO = OC = DO = OB.  • ∆АОD – равнобедренный,        где ےАОD = 60˚ значит       ∆ АОD – равносторонний       АD =AO = OD = 6. • AC = AO +OC = 6 + 6 += 12 • Ответ: 12. содержание

. Задача:  В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении  1 : 2,  меньшая его сторона равна 6. Найдите диагональ данного  прямоугольника Решение:  • ∆ ABD – прямоугольный.  ےBAС + ےAСD = 90˚. ے BAС : ےAСD = 2 : 1. ے BAС = 90˚ :3 = 30˚ • катет, лежащий против угла в 30˚  равен половине гипотенузы.   ВС = АС : 2. АС = 2* ВС = 2*6 =12. Ответ: 12. содержание

Задача:  Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого  равны 2, а острый угол равен 60˚.  Решение:  • ABCD – ромб,       значит AB = BC = CD =AD. • ∆ ABD – равнобедренный,        где ےBAD = 60˚ значит       ∆ АBD – равносторонний.      AD =AB = BD = 2  • Ответ: 2 содержание

Задача: Найдите высоту ромба, сторона которого равна √3  , а острый угол равен 60˚.  содержание

Задача:  Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 30 и 16.  Решение:  • средняя линия трапеции равна  половине суммы её оснований.     ЕF = (AB + DC) : 2.     ЕF = (30 + 16) : 2 = 46 : 2 = 23.        • Ответ: 23 содержание

Задача:  Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание  равно 18. Найдите большее основание трапеции.  Решение:  • средняя линия трапеции  равна половине суммы её  оснований.     ЕF = (AB + DC) : 2.       тогда   AB + DC = 2*EF      AB = 2*EF – DC       AB = 2*28 – 18 = 56 – 18 =38    • Ответ: 38 содержание

Задача:  Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков,  на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее  диагоналей.  Решение:  •  средняя линия  трапеции  параллельна основаниям        EF װ DC; EF װ AB. •   AE = DE, значит по теореме  Фалеса         DM = BM. •        ME = AB : 2 = 10 :2 = 5.  ME – средняя линия ∆ ABD. • Ответ: 5 M содержание

Задача:  Около окружности, радиус которой равен √8, описан  квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около  этого квадрата.  О М содержание

Задача:  Боковые стороны трапеции, описанной около  окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию  трапеции.  Решение:  •   АDCB – описанная  около  окружности, поэтому       DC + AB = AD + CD.        DC + AB = 3 + 5 =8.        MN – средняя линия  трапеции. • Средняя линия трапеции равна  половине суммы оснований.       MN = (DC + AB) : 2 = 8 : 2 = 4     Ответ: 4 содержание

Задача:  Около окружности описана трапеция, периметр которой  равен 40.    Найдите ее среднюю линию.  Решение:  • АDCB – описанная  около  окружности, поэтому       DC + AB = AD + CD. • Р ABCD = 40.        DC + AB = AD + CD = 40 : 2 = 20       MN – средняя линия трапеции. • Средняя линия трапеции равна  половине суммы оснований.  MN = (DC + AB) : 2 = 20 : 2 = 10 • содержание • Ответ: 10

Задача:  В четырехугольник ABCD вписана окружность,  АВ =10 , СD = 16 .   Найдите периметр  четырехугольника.     Решение:  • в описанном около окружности  четырехугольнике суммы  противоположных сторон  равны.      АD + BC = AB + DC. • АD + BC = AB + DC = 10 + 16. • Р = (AB + DC) *2 = 16*2 = 32   • Ответ: 32 содержание

Задача:  Периметр четырехугольника, описанного около  окружности, равен 24, две его стороны равны 5 и 6.  Найдите большую из оставшихся сторон.  Решение:  • в описанном около окружности  четырехугольнике суммы  противоположных сторон равны.      АD + BC = AB + DC. • РABCD =24.        АD + BC = AB + DC = 24 : 2 = 12.       5 + 6 = 11 значит заданы длины  соседних  сторон. • Пусть АВ = 5 и ВС = 6,        тогда АD =12 – BС = 12 – 6  =6.                  DC = 12 – АВ = 12 – 5 = 7.. • Ответ: 7 содержание

Задача:  Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее  площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.   Н Е содержание

Задача:   Площадь параллелограмма АВСD равна 60. Точка Е – середина  стороны ВС. Найдите площадь треугольника DЕС. К Е Е • Решение:  • Е –середина ВС. • проведем через точку Е  прямую ЕК, параллельную  сторонам АВ и DС.  площадь ∆ DСЕ составляет  четвертую часть площади  параллелограмма АВСD. • SDEC = SABCD : 4 = 60 : 4 = 15. • • Ответ: 15   содержание

Задача: Площадь треугольника АВС равна 12. КМ – средняя линия  треугольника АВС.    Найдите площадь трапеции СВКМ.  А М К С В содержание

Задача:  У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим  сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4.  Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?  H F содержание