Подготовка к ЕГЭ по математике (профиль). Тип 4-5 "Теория вероятностей", часть 4

Тип 4-5 (часть 4)Теория вероятностей

1. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение
Р = 0,05 ∙ 0,05 = 0,0025 – оба автомата неисправны
1 – 0,0025 = 0,9975 – хотя бы один автомат исправен

2. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

3. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,02 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

4. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение
Р = 0,8– вероятность попадания
Р = 1 – 0,8 = 0,2 – вероятность промаха
Р = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02

5. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последние три промахнулся. Результат округлите до сотых.

6. Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до десятых.

7. В аэропорте два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение
Р(А) = 0,25 – кофе закончится в первом автомате
Р(В) = 0,25 – кофе закончится во втором автомате
Р(А ∙ В) = 0,15 – кофе закончится в обоих автоматах
Р(А + В) – Р(А ∙ В ) – кофе закончится хотя бы в одном автомате
0,25 + 0,25 – 0,15 = 0,35
1 – 0,35 = 0,65 – кофе останется в обоих автоматах

8. В торговом центре два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится чай, равна 0,3. Вероятность того, что чай закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах.

9. В аэропорте два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

10. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение
1) Р(Х) = 0,8 – хорошая погода
Р(О) = 1 – 0,8 = 0,2 – отличная погода
2) В данном случае для перехода от хорошей погоды 3 июля к отличной погоде 6 июля существует 4 несовместных варианта:
Р(А) = 3Х – 4Х – 5Х – 6О
Р(В) = 3Х – 4Х – 5О – 6О
Р(С) = 3Х – 4О – 5Х – 6О
Р(Д) = 3Х – 4О – 5О – 6О,
где 3,4,5,6 – числа июля; Х – хорошая, О - отличная
3) Общую вероятность найдём как вероятность суммы несовместных событий
Р = Р(А) + Р(В) + Р(С) + Р(Д)

Решение
Р(А) = 3Х – 4Х – 5Х – 6О
Р(В) = 3Х – 4Х – 5О – 6О
Р(С) = 3Х – 4О – 5Х – 6О
Р(Д) = 3Х – 4О – 5О – 6О

4) Вероятность Р(А) считаем как произведение вероятностей независимых событий (изменения погоды между днями)
Р(А) = Р(3-4) ∙ Р(4-5) ∙ Р(5-6) = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 = 0,128
По аналогии считаем вероятности остальных вариантов
Р(В) = Р(3-4) ∙ Р(4-5) ∙ Р(5-6) = 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,8 = 0,128
Р(С) = Р(3-4) ∙ Р(4-5) ∙ Р(5-6) = 0,2 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,008
Р(Д) = Р(3-4) ∙ Р(4-5) ∙ Р(5-6) = 0,2 ∙ 0,8 ∙ 0,8 = 0,128

5) Р = Р(А) + Р(В) + Р(С) + Р(Д) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392

Р(Х) = 0,8
Р(О) = 0,2

11. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 6 сентября погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 9 сентября в Волшебной стране будет отличная погода.

12. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 5 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 8 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.

13. При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,93. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г.

1

810

790

0

0,96

1 – 0,96 = 0,04

0,93

1 – 0,93 = 0,07

Масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 равна
1 – 0,07 – 0,04 = 0,89

14. При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.

15. При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,98. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,83. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.