Подготовка к ЕГЭ (профиль). Тип 4-5 "Теория вероятностей", часть 1

Тип 4-5Теория вероятностей

1. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение
Р(А)=0,5 – играет белыми и выигрывает у Б.
Р(В)=0,32 – играет чёрными и выигрывает у Б.
События А и В независимы
0,32 ∙ 0,5 = 0,16

2. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,6. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,45. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение
Р(А)=0,6 – играет белыми и выигрывает у Б.
Р(В)=0,45 – играет чёрными и выигрывает у Б.
События А и В независимы
0,45 ∙ 0,6 = 0,27

3. В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США,17 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

Решение
Канада: 70 – (25+17) = 28
𝑃𝑃 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 = 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝑚 𝑛 = 28 70 28 28 70 70 28 70 =0,4

4. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей - 1 очко, если проигрывает - 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

Решение
Т.к. вероятности выигрыша и проигрыша равны по 0,3, то вероятность сыграть вничью равна
1 – 0,3 – 0,3 = 0,4
2) Таким образом, футбольная команда может выйти в следующий круг при следующих несовместимых исходах:
выиграла 1 игру и выиграла 2 игру P(1) = 0,3∙ 0,3 = 0,09
сыграла вничью 1 игру и выиграла 2 игру P(2) = 0,4 ∙ 0,3 = 0,12
выиграла 1 игру и сыграла вничью 2 игру P(2) = 0,4 ∙ 0,3 = 0,12
3) P = 0,09 + 0,12 + 0,12 = 0,33

5. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

Решение
6 возможных комбинаций: (1+6), (2+5), (4+3), (3+4), (5+2), (6+1)
Т.к. бросают 2 игральные кости, то всего исходов 36. Благоприятных – 6

𝑃𝑃 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 = 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝑚 𝑛 = 6 36 6 6 36 36 6 36 = 0,17

6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.

Решение
4 возможные комбинации: ОО, ОР, РР, РО
Благоприятных – 1 (орёл не выпадет ни разу)

𝑃𝑃 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 = 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝑚 𝑛 = 1 4 1 1 4 4 1 4 = 0,25

7. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 теннисистов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин. Найдите вероятность того, что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким-либо теннисистом из России.

Решение
Всего 76 участников. Россия – 7 участников
76−1=75 7−1=6 76−1=75 7−1=6 76−1=75 76−1=75 7−1=6 7−1=6 76−1=75 7−1=6 76−1=75 7−1=6 − играть сам с собой Москвин не может

𝑃𝑃 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 = 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝑚 𝑛 = 6 75 6 6 75 75 6 75 = 0,08

8. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Италии и 6 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двадцать четвёртым будет выступать прыгун из Италии.

𝑃𝑃 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 = 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝑚 𝑛 = 4 25 4 4 25 25 4 25 = 0,16

9. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

События А и В несовместимые
0,35 + 0,2 = 0,75

10. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.

Решение
4 возможные комбинации: ОО, ОР, РР, РО
Благоприятных – 2 (решка выпадет ровно один раз)

𝑃𝑃 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 = 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝑚 𝑛 = 2 4 2 2 4 4 2 4 = 0,5

11. На олимпиаде по русскому языку 350 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 140 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение
1 аудитория – 140
2 аудитория – 140
3 аудитория – (350 – 280) = 70

𝑃𝑃 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 = 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝑚 𝑛 = 70 350 70 70 350 350 70 350 = 0,2

12. Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся А. верно решит больше 9 задач, равна 0,63. Вероятность того, что А. верно решит больше 8 задач, равна 0,75. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно 9 задач.

Решение
Учащийся решит больше 9 задач – 0,63
Учащийся решит больше 8 задач – 0,75
Учащийся решит ровно 9 задач - ?
А – учащийся решит 9 задач
В – учащийся решит больше 9 задач
А + В – учащийся решит больше 8 задач
А и В несовместимые события
Р(А +В) = Р(А) + Р(В)
0,75 = Р(А) + 0,63
Р(А) = 0,75 – 0,63 = 0,12

13. Вероятность того, что на тестировании по физике учащийся А. верно решит больше 6 задач, равна 0,61. Вероятность того, что А. верно решит больше 5 задач, равна 0,66. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно 6 задач.

Решение
Учащийся решит больше 6 задач – 0,61
Учащийся решит больше 5 задач – 0,66
Учащийся решит ровно 6 задач - ?
А – учащийся решит 6 задач
В – учащийся решит больше 6 задач
А + В – учащийся решит больше 5 задач
А и В несовместимые события
Р(А +В) = Р(А) + Р(В)
0,66 = Р(А) + 0,61
Р(А) = 0,66 – 0,61 = 0,05

14. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже 36,8°C, равна 0,94. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура тела окажется 36,8°C или выше.

1 – 0,94 = 0,06

15. В классе 16 учащихся, среди них два друга - Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе.

Решение
16 ÷ 4 = 4 человека в каждой группе
Пусть Вадим находится в первой группе. Тогда для Сергея в этой группе 4 – 1 = 3 места
16 – 1 = 15 оставшихся человек

𝑃𝑃 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 = 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝑚 𝑛 = 3 15 3 3 15 15 3 15 = 0,2

16. В классе 26 учащихся, среди них два друга - Сергей и Андрей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Сергей и Андрей окажутся в одной группе.

Решение
26 ÷ 2 = 13 человек в каждой группе
Пусть Сергей находится в первой группе. Тогда для Андрея в этой группе 13 – 1 = 12 мест
26 – 1 = 25 оставшихся человек

𝑃𝑃 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 = 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝑚 𝑛 = 12 25 12 12 25 25 12 25 = 0,48

17. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдётв магазин?

Решение
Всего 8 человек

𝑃𝑃 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 = 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝑚 𝑛 = 6 8 6 6 8 8 6 8 = 0,75

18. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1.

Решение
Всего делений 12. Число делений от 7 до 1 равно 6.

𝑃𝑃 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 = 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝑚 𝑛 = 6 12 6 6 12 12 6 12 = 0,5

19. Фабрика выпускает сумки. В среднем 19 сумок из 160 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажетсябез дефектов. Результат округлите до сотых.

Решение
Всего 160 сумок
160 – 19 = 141 – без дефектов

𝑃𝑃 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 = 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝑚 𝑛 = 141 160 141 141 160 160 141 160 = 0,88

20. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано80 докладов - первые два дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвёртым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение
12 +12 = 24 доклада 1 и 2 день
(80 – 24) ÷ 2 = 28 докладов 3 и 4 день

𝑃𝑃 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 = 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝑚 𝑛 = 28 80 28 28 80 80 28 80 = 0,35

21. Дима, Марат, Петя, Надя и Света бросили жребий - кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.

Решение
Всего 5 детей. Мальчиков - 3

𝑃𝑃 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 = 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝑚 𝑛 = 3 5 3 3 5 5 3 5 = 0,6

22. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка выпадет все три раза.

Решение
8 возможных комбинаций: ООО, ООР, ОРР, ОРО, РРР, РОР, РРО, РОО
Благоприятных – 1 (решка выпадет все три раза)

𝑃𝑃 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 = 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝑚 𝑛 = 1 8 1 1 8 8 1 8 = 0,125

23. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,7?

24. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,03. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

25. Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма
очков равна 8».

26. Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма
очков равна 9».

27. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того,
что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того,
что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,06. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

28. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того,что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того,что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

29. Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень
и не попадёт в три последние.

30. При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.

31. При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,98. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,83. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.

32. Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,9. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

33. В коробке 11 синих, 6 красных и 8 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

34. В коробке 12 синих, 6 красных и 7 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.