ПОДГОТОВКА К ОГЭ ПО МЕТЕМАТИКЕ
ПОДГОТОВКА К ОГЭ ПО МЕТЕМАТИКЕ
Решение задач по теме «Треугольники»
Тютина Лилия Шамилевна учитель математики
Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, и трех отрезков, их соединяющих
1. Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, и трех отрезков, их соединяющих.
Задание 19. Анализ геометрических высказываний
2. Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.
4. Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.
3. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек,
не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, их соединяющих
По теореме, обратной теореме Пифагора , треугольник со сторонами 3, 4, 5 является прямоугольным: 3 2 3 3 2 2 3 2 + 4 2 4 4 2 2 4 2 = 5 2 5 5 2 2 5 2
Теоретический материал важен !
Подготовка к ОГЭ по математике
Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, их соединяющих
Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, их соединяющих
Вершина треугольника
Сторона треугольника
В ∆ АВС укажите: 1. Вершины:
В ∆ АВС укажите:
1. Вершины:
А, В, С
2. Стороны:
АВ, ВС, АС
3. Углы:
∠A , ∠ В, ∠ С
Элементы
∆-ка
А=ВАС, В=АВС, С=ВСА.
В между ∆ АВС Между какими сторонами заключены углы?
∠ В между
∆ АВС
Между какими сторонами заключены углы?
АВ и ВС
∠ С между
∠A между
АВ и АС
ВС и АС
В и ∠ С ВС ∠ А и ∠ С ∠A и ∠
∠ В и ∠ С
ВС
∠ А и ∠ С
∠A и ∠ В
АВ
АС
Стороны
Прилежащие углы
Какие углы прилегают
к сторонам?
Прилежащие
углы
А ВС ∠ В ∠С АВ АС Стороны
∠ А
ВС
∠ В
∠С
АВ
АС
Стороны
Противолежащие углы
Какие углы лежат напротив сторон?
Противолежащие
углы
А В С a b c ВС= а , АС= b , АВ= с
А
В
С
a
b
c
ВС=а, АС=b, АВ=с.
Длины сторон треугольника можно обозначить одной прописной буквой
Периметр треугольника
Сумма углов любого треугольника равна 180°
∠ А+∠ В+∠С =180º
Средняя линия треугольника Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон
Средняя линия треугольника
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
К
М
КМ – средняя линия
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны
А
В
С
Задание 18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник
Задание 18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.
Решение:
АВ = 6
средняя линия равна 3
Ответ: 3
Внешний угол треугольника A B C
Внешний угол треугольника
A
B
C
Угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника, называется внешним
О
– внешний
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним
Основные линии треугольника Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой
Основные линии треугольника
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой
А
М
АМ – медиана
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника
А
А1
АА1 – биссектриса
Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника
Н
А
АН - высота
Расположение высоты в зависимости от вида треугольника
Расположение высоты в зависимости от вида треугольника
Решение: А D С В Ответ: 74 Задание 15
Решение:
А
D
С
В
Ответ: 74
Задание 15. В треугольнике АВС, АD – биссектриса, угол С равен 50°, угол САD равен 28°. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
Подготовка к ОГЭ по математике
Свойства медиан треугольника 1
Свойства медиан треугольника
1. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (т.е. на треугольники с одинаковой площадью).
2. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
3. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, начиная от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
Виды треугольников по длине сторон
Виды треугольников по длине сторон
Виды треугольников по величине углов
Виды треугольников по величине углов
Свойства равнобедренного треугольника
Свойства равнобедренного треугольника
А
С
В
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой
АС = ВС
СК - биссектриса
К
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Задание 15. В равнобедренном треугольнике
Задание 15. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при вершине С равен 123°. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах.
Решение
Ответ: 66
Задание 23. Прямая AD , перпендикулярная медиане
Задание 23. Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит её пополам.
Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 4.
Так как высота AD, проведенная к медиане BM делит ее пополам, то треугольник ABM является равнобедренным,
поэтому AB=AM=4.
Так как BM- медиана, то AM=MC, таким образом, AC=2AM=8.
Ответ: 8.
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Получен верный обоснованный ответ | 2 |
При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка, возможно приведшая к неверному ответу | 1 |
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Прямоугольный треугольник Теорема
Прямоугольный треугольник
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
В прямоугольном треугольнике медиана,
проведённая из вершины прямого угла,
равна половине гипотенузы.
М – середина АВ, СМ – медиана
СМ = АМ = МВ
a2 + b2 = c2,
где a, b — катеты, с — гипотенуза.
СМ - радиус описанной окружности этого треугольника.
С В А К Решение:
С
В
А
К
Решение:
Ответ: 5
Задание 15. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известны катеты: АС = 6, ВС = 8.
Найдите медиану СК этого треугольника
Свойства прямоугольного треугольника
Свойства прямоугольного треугольника
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°
С
А
В
Задание 15. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 23°
Задание 15. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
90° - 23º = 67º
Или
Сумма углов любого треугольника равна 180°
Ответ: 67
Площадь треугольника Площадь прямоугольного треугольника
Площадь треугольника
Площадь прямоугольного треугольника
Площадь равностороннего треугольника
Гггггггггггггггггг
Формула Герона, для вычисления площади треугольника
a
b
a
a
a
a
Из справочного материала
Задание 18. Найти площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см2
Задание 18. Найти площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см2. Ответ дайте в квадратных сантиметрах .
Решение:
2
6
Ответ: 6
Определение Свойства ∆ABC~∆ A 1
Определение
Свойства
∆ABC~∆ A 1 A A 1 1 A 1 B 1 B B 1 1 B 1 C 1 C C 1 1 C 1
∠A=∠ A 1 A A 1 1 A 1 ,
∠B=∠ B 1 B B 1 1 B 1 ,
∠C=∠ C 1 C C 1 1 C 1
AB A 1 B 1 AB AB A 1 B 1 A 1 A A 1 1 A 1 B 1 B B 1 1 B 1 AB A 1 B 1 = BC A 1 C BC BC A 1 C A 1 A A 1 1 A 1 C BC A 1 C = AC A 1 C 1 AC AC A 1 C 1 A 1 A A 1 1 A 1 C 1 C C 1 1 C 1 AC A 1 C 1
Здесь A→ A 1 A A 1 1 A 1 ,
B→ B 1 B B 1 1 B 1 ,
С → C 1 C C 1 1 C 1
A
A 1 A A 1 1 A 1
B
B 1 B B 1 1 B 1
C 1 C C 1 1 C 1
C
∆ABC~∆ A 1 A A 1 1 A 1 B 1 B B 1 1 B 1 C 1 C C 1 1 C 1
K – коэффициент подобия
A
B
C
A 1 A A 1 1 A 1
B 1 B B 1 1 B 1
C 1 C C 1 1 C 1
H
H 1 H H 1 1 H 1
P ∆ABC P ∆ A 1 B 1 C 1 P ∆ABC P P ∆ABC ∆ABC P ∆ABC P ∆ABC P ∆ A 1 B 1 C 1 P ∆ A 1 B 1 C 1 P P ∆ A 1 B 1 C 1 ∆ A 1 A A 1 1 A 1 B 1 B B 1 1 B 1 C 1 C C 1 1 C 1 P ∆ A 1 B 1 C 1 P ∆ABC P ∆ A 1 B 1 C 1 =k
S ∆ABC S ∆ A 1 B 1 C 1 S ∆ABC S S ∆ABC ∆ABC S ∆ABC S ∆ABC S ∆ A 1 B 1 C 1 S ∆ A 1 B 1 C 1 S S ∆ A 1 B 1 C 1 ∆ A 1 A A 1 1 A 1 B 1 B B 1 1 B 1 C 1 C C 1 1 C 1 S ∆ A 1 B 1 C 1 S ∆ABC S ∆ A 1 B 1 C 1 = k 2 k k 2 2 k 2
BH B 1 H 1 BH BH B 1 H 1 B 1 B B 1 1 B 1 H 1 H H 1 1 H 1 BH B 1 H 1 =k
Подобие треугольников
Признаки подобия треугольников 1
Признаки подобия треугольников
1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны
А
В
С
К
М
Р
Задание 23. Отрезки AB и
Задание 23. Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25
АМ = 2 3 2 2 3 3 2 3 МС,
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | 1 |
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
Максимальный балл | 2 |
РЕШЕНИЕ: (1 способ). 1.∆АВА₁ и ∆СВС₁ прямоугольные: <АА₁В=<СС₁В=90⁰, <АВА₁=<СВС₁ (вертикальные)
РЕШЕНИЕ:
(1 способ).
1.∆АВА₁ и ∆СВС₁ прямоугольные: <АА₁В=<СС₁В=90⁰, <АВА₁=<СВС₁ (вертикальные). ∆АВА₁ ∞ ∆СВС₁ (по двум углам).
Задание 24.
В ∆ АВС с тупым <АВС проведены высоты АА₁ и СС₁. Докажите, что ∆А₁ВС₁∞∆ АВС.
2. Из подобия треугольников составляем пропорцию
По свойству пропорции получаем
3. В ∆АВС и ∆А₁ВС₁ стороны пропорциональны и углы между ними равны(вертикальные <АВС=< А₁ВС₁).
∆АВС ∞ ∆А₁ВС₁
В ∆ АВС с тупым <АВС проведены высоты
задание 25.
В ∆ АВС с тупым <АВС проведены высоты АА₁ и СС₁. Докажите, что ∆А₁ВС₁∞∆ АВС.
РЕШЕНИЕ:
(2 способ)
1.<АА₁С=<СС₁А=90⁰; АС диаметр окружности, описанной около ∆АА₁С и ∆АС₁С.
2. Рассмотрим ∆АВС и ∆А₁ВС₁: <АВС=<А₁ВС₁ (вертикальные), <САС₁=<СА₁С₁ (вписанные углы опираются на дугу СС₁)
∆АВС∞∆А₁ВС₁ по двум углам.
С
A B C D E AC 14x AC AC 14x 14x
A
B
C
D
E
AC 14x AC AC 14x 14x AC 14x = 12 11,2 12 12 11,2 11,2 12 11,2
AC= 14x∗12∗10 11,2∗10 14x∗12∗10 14x∗12∗10 11,2∗10 11,2∗10 14x∗12∗10 11,2∗10 =15x
2) ∆AEC: ∠E= 90 o 90 90 o o 90 o
1) ∆AEC и ∆BDC:
Решение:
∠E=∠D= 90 o 90 90 o o 90 o
(BD, AE−высоты (BD, AE−высоты (BD, AE−высоты
∆AEC~∆BDC
по двум углам по двум углам по двум углам
∠С−общий
AC BC AC AC BC BC AC BC = AE BD AE AE BD BD AE BD
Пусть x см – 1 часть, тогда BC= 14x
AC = 15x
EC=9x
AE =12
По теореме Пифагора AC 2 AC AC 2 2 AC 2 = EC 2 EC EC 2 2 EC 2 + AE 2 AE AE 2 2 AE 2
225x 2 225x 225x 2 2 225x 2 = 81x 2 81x 81x 2 2 81x 2 +144
225x 2 225x 225x 2 2 225x 2 − 81x 2 81x 81x 2 2 81x 2 =144
144x 2 144x 144x 2 2 144x 2 =144
x 2 x x 2 2 x 2 =1
x=1 или x=−1 – не удовлетворяет
AC = 15*1=15
Ответ: 15
5x
9x
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
задание 25.
В треугольнике АВС высота BD =11,2 см, а высота АЕ=12см. Точка Е делит сторону ВС в отношении 5:9, считая от вершины В. Найти длину стороны АС.
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
