Подготовка к ОГЭ по математике задание №8

Подготовка к ОГЭ 2023

Решение заданий №8 из модуля «Алгебра». Свойства степени и корня.

Цель:
Отработка практических навыков учащихся по подготовке к экзамену по математике.
Самоподготовка и самоконтроль.

Свойства степени с целым показателем

𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 · 𝑎 𝑚 𝑎𝑎 𝑎 𝑚 𝑚𝑚 𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑛+𝑚 𝑎𝑎 𝑎 𝑛+𝑚 𝑛𝑛+𝑚𝑚 𝑎 𝑛+𝑚
𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 : 𝑎 𝑚 𝑎𝑎 𝑎 𝑚 𝑚𝑚 𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑛−𝑚 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−𝑚 𝑛𝑛−𝑚𝑚 𝑎 𝑛−𝑚
( 𝑎 𝑛) 𝑚 𝑎𝑎 𝑎 𝑛) 𝑚 𝑛𝑛) 𝑚𝑚 𝑎 𝑛) 𝑚 = 𝑎 𝑛∙𝑚 𝑎𝑎 𝑎 𝑛∙𝑚 𝑛𝑛∙𝑚𝑚 𝑎 𝑛∙𝑚
( 𝑎𝑏) 𝑛 𝑎𝑎𝑏𝑏) 𝑎𝑏) 𝑛 𝑛𝑛 𝑎𝑏) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 · 𝑎 𝑚 𝑎𝑎 𝑎 𝑚 𝑚𝑚 𝑎 𝑚
( 𝑎 𝑏 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏𝑏 𝑎 𝑏 )^n = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 𝑏 𝑛 𝑏𝑏 𝑏 𝑛 𝑛𝑛 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛
𝑎 0 𝑎𝑎 𝑎 0 0 𝑎 0 = 1
𝑎 −𝑛 𝑎𝑎 𝑎 −𝑛 −𝑛𝑛 𝑎 −𝑛 = 1 𝑎 𝑛 1 1 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 1 𝑎 𝑛 ;a≠0

Свойства степени с целым показателем, где m и n – целые числа, а ≠ 0

Преобразование выражений

Свойства арифметического квадратного корня

𝑎·𝑏 𝑎·𝑏 𝑎𝑎·𝑏𝑏 𝑎·𝑏 = 𝑎 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 · 𝑏 𝑏 𝑏𝑏 𝑏
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎𝑎 𝑎 𝑏 𝑏𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑎 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏𝑏 𝑏 𝑎 𝑏

𝑎 2 𝑎 2 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 𝑎 2 =|a|

(a ≥ 0; b ≥ 0)

(a ≥ 0 ; b > 0)

Формулы сокращенного умножения

(𝑎+𝑏) 2 (𝑎𝑎+𝑏𝑏) (𝑎+𝑏) 2 2 (𝑎+𝑏) 2 = 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 +2ab + 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения , плюс удвоенное произведение первого и второго выражения , плюс квадрат второго выражения

(𝑎−𝑏) 2 (𝑎𝑎−𝑏𝑏) (𝑎−𝑏) 2 2 (𝑎−𝑏) 2 = 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 −2ab + 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения , минус удвоенное произведение первого и второго выражения , плюс квадрат второго выражения

𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 = a−𝑏 a−𝑏𝑏 a−𝑏 a+𝑏 a+𝑏𝑏 a+𝑏
Разность квадратов равна произведению разности этих выражений на их сумму.

Решение.
по свойству арифметического квадратного корня имеем
343 7 343 343 343 343 343 7 7 7 7 7 343 7 = 343 7 343 7 343 7 343 343 7 7 343 7 343 7 = 49 49 49 49 =7

Ответ: 3

Найдите значение выражения

343 7 343 343 343 343 343 7 7 7 7 7 343 7


1) 7 7 7 7 7 2) 49 7 7 7 7 3) 7 4) 49

Значение какого из данных ниже выражений является числом иррациональным?

1) 18 18 18 18 ∙ 8 8 8 8
2) ( 22 22 22 22 - 7 7 7 7 )( 22 22 22 22 + 7 7 7 7 )
3) 44 11 44 44 44 44 44 11 11 11 11 11 44 11
4) 8 8 8 8 - 4 2 2 2 2
Решение.
1) по свойству арифметического квадратного корня а а а а ∙ 𝑏 𝑏 𝑏𝑏 𝑏 = а∙𝑏 а∙𝑏 а∙𝑏𝑏 а∙𝑏 имеем
18 18 18 18 ∙ 8 8 8 8 = 18∙8 18∙8 18∙8 18∙8 = 2∙9∙2∙4 2∙9∙2∙4 2∙9∙2∙4 2∙9∙2∙4 =3∙2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =6∙2=12 -рациональное число

2)по формуле сокращенного умножения (a-b)(a+b)= а 2 а а 2 2 а 2 - 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 имеем
( 22 22 22 22 - 7 7 7 7 )( 22 22 22 22 + 7 7 7 7 ) = 22-7=15 –рациональное число
3) по свойству арифметического квадратного корня 𝑎 𝑏 𝑎 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏𝑏 𝑏 𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎𝑎 𝑎 𝑏 𝑏𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 имеем
44 11 44 44 44 44 44 11 11 11 11 11 44 11 = 44 11 44 11 44 11 44 44 11 11 44 11 44 11 = 4 4 4 4 =2 -рациональное число

4) 8 8 8 8 -4 2 2 2 2 = 4∙2 4∙2 4∙2 4∙2 - 4 2 2 2 2 =2 2 2 2 2 -4 2 2 2 2 = -2 2 2 2 2 -иррациональное число

Ответ: 4

Значение какого из данных ниже выражений является наибольшим?1) 4 15 15 15 15 2) 7 5 5 5 5 3) 15,5 4) 9 3 3 3 3 Решение.

Внесем множитель а под знак арифметического квадратного корня, тогда а 𝑏 𝑏 𝑏𝑏 𝑏 = 𝑎 2 ∙𝑏 𝑎 2 ∙𝑏 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 ∙𝑏𝑏 𝑎 2 ∙𝑏

1) 4 15 15 15 15 = 4 2 ∙15 4 2 ∙15 4 2 4 4 2 2 4 2 ∙15 4 2 ∙15 = 16∙15 16∙15 16∙15 16∙15 = 240 240 240 240
2) 7 5 5 5 5 = 49∙5 49∙5 49∙5 49∙5 = 245 245 245 245
3) 15,5 = 15,5∙15,5 15,5∙15,5 15,5∙15,5 15,5∙15,5 = 240,25 240,25 240,25 240,25
4) 9 3 3 3 3 = 9∙9∙3 9∙9∙3 9∙9∙3 9∙9∙3 = 243 243 243 243
Ответ: 4

Вычислите

7 −7 ∙ 7 −8 7 −13 7 −7 ∙ 7 −8 7 −13 7 −7 7 7 −7 −7 7 −7 ∙ 7 −8 7 7 −8 −8 7 −8 7 −7 ∙ 7 −8 7 −13 7 −13 7 7 −13 −13 7 −13 7 −7 ∙ 7 −8 7 −13 7 −7 ∙ 7 −8 7 −13



1) – 49 2) 49 3) - 1 49 1 1 49 49 1 49 4) 1 49 1 1 49 49 1 49

Решение

По свойству степени
a n a a n n a n ∙ a m a a m m a m = a n+m a a n+m n+m a n+m
a n a a n n a n ∶ a m a a m m a m = a n−m a a n−m n−m a n−m
𝒂 −𝒏 𝒂𝒂 𝒂 −𝒏 −𝒏𝒏 𝒂 −𝒏 = 𝟏 𝒂 𝒏 𝟏𝟏 𝟏 𝒂 𝒏 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 𝟏 𝒂 𝒏 имеем

7 −7 ∙ 7 −8 7 −13 7 −7 ∙ 7 −8 7 −13 7 −7 7 7 −7 −7 7 −7 ∙ 7 −8 7 7 −8 −8 7 −8 7 −7 ∙ 7 −8 7 −13 7 −13 7 7 −13 −13 7 −13 7 −7 ∙ 7 −8 7 −13 7 −7 ∙ 7 −8 7 −13 = 7 −15 7 −13 7 −15 7 7 −15 −15 7 −15 7 −15 7 −13 7 −13 7 7 −13 −13 7 −13 7 −15 7 −13 = 7 −15−(−13) 7 7 −15−(−13) −15−(−13) 7 −15−(−13) = 7 −15+13 7 7 −15+13 −15+13 7 −15+13 = 7 −2 7 7 −2 −2 7 −2 = 1 7 2 1 1 7 2 7 2 7 7 2 2 7 2 1 7 2 = 1 49 1 1 49 49 1 49

Ответ: 4

Вычислите: 7 −7 ∙ 7 −8 7 −13 7 −7 ∙ 7 −8 7 −13 7 −7 7 7 −7 −7 7 −7 ∙ 7 −8 7 7 −8 −8 7 −8 7 −7 ∙ 7 −8 7 −13 7 −13 7 7 −13 −13 7 −13 7 −7 ∙ 7 −8 7 −13 7 −7 ∙ 7 −8 7 −13
1) – 49 2) 49 3) - 1 49 1 1 49 49 1 49 4) 1 49 1 1 49 49 1 49

Сколько целых чисел расположено между числами 13 13 13 13 и 130 130 130 130 ?

Решение:
9 9 9 9 < 13 13 13 13 < 16 16 16 16
3 < 13 13 13 13 < 4
13 13 13 13 - число расположенное, между числами 3 и 4

121 121 121 121 < 130 130 130 130 < 144 144 144 144
11< 130 130 130 130 < 12
130 130 130 130 - число, расположенное между числами 11 и 12.
То есть число 130 130 130 130 расположено между числами 3 и 12, а это числа 4;5;6;7;8;9;10;11 - 8 чисел.
Ответ: 8