Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1
равна 2, а диагональ боковой грани равна \l 5‾ . Найдите угол
между плоскостью А1ВС и плоскостью основания призмы.
Обозначим Н середину ребра ВС . Так как Δ ABC равносторонний, а
Δ А1 В С - равнобедренный, то отрезки АН и А1 Н перпендикулярны
ВС.
Следовательно,
Расстояние между
скрещивающимися
прямыми
Определение. Две прямые называются скрещивающимися,
если они не лежат в одной плоскости и не пересекаются
сколько бы мы их ни продолжали.
Признак скрещивающихся прямых.
Если одна из скрещивающихся прямых лежит в некоторой
плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не
лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
a
α
Расстояние между скрещивающимися прямыми это
расстояние между одной из скрещивающихся прямых и
плоскостью, проходящей через вторую прямую,
параллельно первой.
||b
b
c
A
B
;b c
;b
;A
(
BA
;
)
AB
.
Доказать, что через каждую из двух
скрещивающихся прямых можно провести
плоскость так, чтобы эти плоскости были
параллельны.
Пусть прямые а и b скрещиваются.
Возьмём на прямой а точку А и проведём через неё
прямую, параллельную прямой b (в плоскости,
проходящей через А и b ) .
Через а и построенную прямую проведём плоскость α.
Аналогично строим плоскость β .
По признаку параллельности плоскостей α ║ β.
a
A
α
Через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести
плоскость так, чтобы эти плоскости были параллельны.Доказано.
||b
a
b A
;b c
;b
;A
с
B
(
BA
;
)
AB
.
Задача 8.
ФЗФТШ при МФТИ
На ребре AD тетраэдра взята точка М
так, что DM:AD=λ (0<λ<1).
Построить сечение тетраэдра ABCD
плоскостью α, проходящей через точку
М є AD параллельно прямым АВ и CD, если
AB:CD=m.
При каком это λ сечение будет ромбом?
Построим сечение σ .Так как σ ║ АВ, то линия MN
пересечения плоскости α с плоскостью ABD
параллельна прямой АВ ( здесь N∈ BD).Так как σ ║
CD, то α пересекает плоскости ACD и BCD по прямым
MO(Q ∈AC ) и NF(P ∈BC) параллельным прямой СD.
Так как Q ∈ a и P ∈ a (P,Q (ABC) ,то (PQ) ∈ a , и
Прямая PQ является следом секущей плоскости на
грани (ABC) тетраэдра .Так как a ║ АВ , то PQ ║ АВ .
Итак, четырёхугольник MNPQ - искомое сечение.
Так как
то сечение –
параллелограмм.
Вычислим длины сторон параллелограмма MNPO
через длины рёбер АВ и CD тетраэдра.
Так как треугольник ABD подобен треугольнику
MND . то
Из подобия треугольников AMQ и ADC находим
Сечение MNPO будет ромбом, если MN = MQ.
Подставляя в это равенство найденные выражения для длин сторон
параллелограмма , получаем :
,
Важные
выводы.
1). Сечение тетраэдра плоскостью,
параллельной двум её скрещивающимся
рёбрам всегда является параллелограммом.
2). Если противоположные рёбра тетраэдра
АВ CD , то параллельные им стороны MN и
MQ сечения также перпендикулярны. В этом
случае сечение — прямоугольник,
а при λ= 1/ (m+1)- квадрат.
3). Если тетраэдр ABCD правильный (как
известно, его противоположные ребра
перпендикулярны), то m=1 и λ=½.
Значит, сечение, являющееся квадратом,
проходит через середины рёбер этого
тетраэдра.
Приведённое построение часто
оказывается полезным при
решении многих задач о
скрещивающихся прямых,
поэтому следует его запомнить .
z
AD BCP
1
1
AD DBC
1
1
P
(
)
1;AD BD
;AD BDC
1
1
;A BDC
1
у
х
Решение:
B (1; 1;
A (1; 0;
0)C1 (0; 1;
0)D (0; 0;
1)
0)
0
c
0
0
b
a
0
1
0
0
c
1
a
b
0
c
0
1
b
a
1
0
bx by bz
z
y
x
0
d
d
d
Запишем уравнение
плоскости BDC1:
cz d
0
ax by
0
b
b
d
a
c
Найдем искомое расстояние по формуле
cz
0
c
by
0
2
a
ax
0
M
;
2
b
d
2
Итак ,искомое расстояние от А до (ВС1D) :
A (1; 0;
0)
x
y
z
0
A BC D
;(
1
)
1 1 1 0 1 0
2
2
1
1
( 1)
2
1
3
3
3
Ответ:
3
3
z
h
O
1
х
BC ADP
1
;AS BC
BC ADS
P
(
;BC ADS
;B ADS
)
y
AC
2
OC
2
2
2
h
2
1
2
2
2
2
B
a
a
a
1 1
2 2
;
;0
;
D
1
2
1
0
2
1
2
d
1
2
0
b
c
;0
1
2
b
0
0
d
c
1
2
2
0
2
0
b
c
0
d
A
;
1
2
1
2
;0
S
0;0;
2
2
Запишем уравнение
плоскости ADS.
b d
a
0
1
2
1
2
a
1
2
b d
0
c d
0
1
2
2
2
a
b
c
0
2
d
2
d
0
2
x
dy
2
0
x
Найдем искомое
расстояние по формуле
B
;
;0
1 1
2 2
B ASD
;(
)
2
dz d
2
z
y
0
1 0
ax
0
a
M
;
by
0
2
: d
d
2
b
cz
0
c
2
0
2
1
2
1
2
0
2
2
2
2 0 1
2
2
2
6
6
3
Ответ:
6
3
С2. В правильной треугольной
призме ABCA1B1C1
все ребра которой равны 1, найдите расстояние
между прямыми AA 1 и ВС1
В правильной призме боковая
грань и основание призмы
ортогональны. Тогда зеленый
перпендикуляр принадлежит
плоскости основания,
являющейся правильным
треугольником, и , значит,
высотой этого треугольника.
Все вычисления сводятся к
вычислению высоты в
равностороннем треугольнике
со сторонами, равными 1.
h
1
sin
3
3
2
.
Чтобы найти расстояние между
двумя скрещивающимися прямыми,
нужно:
1. Через одну из прямых провести
плоскость, параллельную второй
прямой.
2. Из любой точки первой прямой
опустить перпендикуляр на
плоскость и найти его длину.
Задача сводится к нахождению
расстояния от точки до плоскости.
Это можно сделать геометрическим
методом или координатным методом.
В правильной треугольной призме
АВСА1В1С1,
все ребра равны 1.Найдите расстояние
между прямыми АВ и СВ1 .
Расстояние между скрещивающимися
прямыми это расстояние между одной
из скрещивающихся прямых и
плоскостью, проходящей через другую
прямую параллельно первой.
Проведём через точку М , являющуюся
серединой отрезка АВ плоскость МСС1.
Плоскость МСС1 АВ
и, следовательно, плоскости А1В1С:
М
Дальше самостоятельно.
Геометрический метод.
Прямая А1В1 параллельна прямой АВ. Проведём
через прямые А1В1 и В1С плоскость А1В1С,
параллельную прямой АВ:
Дальше самостоятельно.
Через т. М середину отрезка АВ проведём плоскость МСС1.
Докажем, что плоскость МСС1
перпендикулярна прямой АВ, и,
следовательно, плоскости А1В1С:
Отрезок МС является медианой, и,
потому высотой равностороннего ∆АВС.
Прямая КМ ║ СС1 = > КМ АВ.
Итак, прямая АВ перпендикулярна двум
пересекающимся прямым плоскости
МСС1 , и, следовательно
перпендикулярна плоскости.
Теперь рассмотрим в плоскости МСС1
прямоугольный треугольник МКС и проведём в
нём высоту МР:
Длина высоты МР ∆ MPK и
есть искомое расстояние
между прямыми АВ и СВ1 .
Для вычисления МР, выразим
дважды площадь ∆МКС :
MC
(1
КC
(1
KM
3
2
2
)
1
2
3
2
2
)
7
2
1
2
1
2
KC
MP
1KM
21
7
KM
KC
3
2
MC
S
MP
MC
7
МР
1
2
21
7
МР
Аналитический способ решения задачи:
Как мы помним из геометрического метода решения этой
задачи, расстояние между прямыми АВ и В1С есть
расстояние от точки М, которая является серединой
отрезка АВ до плоскости А1В1С:
Расстояние ρ от точки М0(х0, у0, z0) до
плоскости ax + by + cz + d = 0
вычисляется по формуле:
xa
0
yb
0
2
a
b
2
0
zc
2
c
d
Поместим призму в систему координат с началом в точке М ( так удобнее :
координаты точек М ,А1, В1 и С будут содержать больше нулей. ).
М(0; 0; 0)
;0(1В
1
2
)1;
;0(1
А
1
2
)1;
3
2
(С
)0;0;
Чтобы найти коэффициенты a, b , c , d
в уравнении плоскости A1B1C ax + by + cz + d = 0,
примем коэффициент d =1,
и подставим координаты точек A1, B1 и C в уравнение
плоскости.
Получим систему уравнений:
0
a
0
a
1
2
1
2
cb
01
cb
01
3
2
a
01
0
c
0
b
cb
01
1
2
cb
01
1
2
3
2
a
01
2
3
а
b
c
0
1
Подставим значения коэффициентов и координаты точки
xa
d
0
M(0;0;0) в формулу для расстояния.
zc
2
c
yb
0
2
a
b
0
2
Получим:
2
3
(
10)1(000
2
)
2
0
)1(
2
2
3
:1
7
3
3
7
21
7
1
4
3
1
21
7
г.ЕССЕНТУКИ
Составители
Медведева Г.А. и Медведев С.В.
Скрещивающиеся прямые _40 слайдов .ppt
