Пример 1

Скорость товарного поезда равна 45 км/ч. Выразите скорость поезда в метрах в секунду. Решение:

Данная задача является подготовительной и напоминает необходимое условие при решении всех задач на движение: согласование единиц измерения всех величин.

Чтобы выразить скорость поезда в метрах в секунду нужно помнить, что 1 км = 1000 м, 1 ч = 3600 с.

45км      45 ∙ 1000м      50м

                                                       5м/с

ч

Ответ: 12,5.

Пример 2

С какой средней скоростью нужно ехать гонщику, если он хочет проехать 450 км за 2,5 часа? Ответ дайте в километрах в час.

Решение:

S^весь

V_ср.   , где V_ср.  средняя скорость .

tвсе

𝑉_ср =  км/ч = 180км/ч

Ответ: 180.

Пример 3

Первые 3 часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие полчаса – со скоростью 60 км/ч, а затем два часа – со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1.     Анализ задачи. В задаче речь идет об одном объекте, автомобиле, который на разных участках пути, длины которых неизвестны, двигался с разной скоростью. Требуется найти среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

2.     Схематическая запись задачи.

	t, ч	V, км/ч	S, км
1 участок	3	50	?
2 участок	0,5	60	?
3 участок	2	75	?

S^весь

3.     Поиск способа решения задачи. V_ср.   , где V_ср.  средняя скорость

tвсе

Нужно найти все время пути и длину всего пути, для чего нужно найти длину пути на каждом из трех участков отдельно и полученные результаты сложить.

4.     Осуществление решения задачи.

S₁ = 50  3 = 150 (км)

S₂ = 60  0,5 = 30 (км)

S₃ = 75  2 = 150 (км)

S_весь = 150 + 30 + 150 = 330 (км) t_все = 3 + 0,5 + 2 = 5,5 (ч)

V_ср.  60км / ч

5.     Формулирование ответа задачи.

Средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути равна 60км/ч. Ответ: 60.

Замечание: При решении ряда задач некоторые этапы можно пропустить. Так, при решении данной задачи опустим этапы проверки решения, исследования и анализа решения задачи.

Пример 4

Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч большей прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1.     Анализ задачи. В задаче речь идет об одном объекте, барже. Рассматриваются две ситуации: движение баржи из A в B и ее движение из B в A, отличающиеся скоростями движения (скорость из B в A на 3 км/ч больше) и соответственно временем (время движения из B в A с учетом остановки на 9 ч меньше). Баржа движется по озеру, а значит в обоих случаях скорость ее движения является собственной. Требуется найти скорость баржи на пути из A в B.

2.     Схематическая запись задачи.

	V, км/ч	S, км	t, ч
из A в B	?	390	?
из B в A	?	390	?

3.     Поиск способа решения задачи.

Для решения удобно составить математическую модель – уравнение, обозначив за x меньшую из неизвестных величин скоростей, т.е. скорость движения баржи из A в B.

4.     Осуществление решения задачи.

	V, км/ч	S, км	t, ч
из A в B	x	390	390   𝑥
из B в A	x+3	390	390   𝑥 + 3

По условию время движения баржи из B в A на 9 ч меньше, чем из A в B. Составим и решим уравнение:

        390       390

      − = 9                                          ОДЗ: 𝑥 ≠ 0 и 𝑥 ≠ −3

           𝑥         𝑥 + 3

390(𝑥 + 3) − 390𝑥 − 9𝑥(𝑥 + 3)

 = 0

𝑥(𝑥 + 3) 𝑥² + 3𝑥 − 130 = 0

𝑥₁ = 10; 𝑥₂ = −13

Условию задачи удовлетворяет только значение 10, т.к. скорость – величина неотрицательная.

Значит, 10 км/ч – скорость движения баржи из A в B.

5.     Проверка решения задачи.

Итак, путь от A до B баржа преодолела со скоростью 10 км/ч за 390/10=39 (ч), а путь от B до A со скоростью 10 + 3 = 13 (км/ч) за 390/13=30 (ч).

39 – 30 = 9 (ч). Таким образом, время движения баржи из B в A на 9 ч меньше, чем из A в B, – что соответствует условию задачи.

6.     Формулирование ответа задачи.

Скорость баржи на пути из A в B равна 10 км/ч. Ответ: 10.

Пример 5

Расстояние между городами A и B равно 875 км. Из города A в город B в полдень со скоростью 75 км/ч выехал автомобиль, в час дня он сделал остановку на час, а в три часа дня навстречу первому из города B выехал второй автомобиль со скоростью 70 км/ч. Через сколько часов после выезда первого автомобиля они встретятся? 

Решение:

1.     Анализ задачи. В задаче речь идет о двух объектах: 1 автомобиль и 2 автомобиль, скорости которых известны. Время движения автомобилей неизвестно, но из условия ясно, что первый автомобиль двигался на 2 часа дольше второго. По условию автомобили встретились, выехав из разных городов, расстояние между которыми 875 км. Это означает что вместе они проделали путь, равный этому расстоянию. Требуется найти: через сколько часов после выезда первого автомобиля они встретятся. Отметим, что это время больше времени движения первого автомобиля на 1 час, т.к.

в час дня он сделал остановку на час.

2.     Схематическая запись задачи.

	V, км/ч	t, ч	S, км
1 автомобиль	75	?	?
2 автомобиль	70	?	?

 875 км

3.     Поиск способа решения задачи.

Для решения удобно составить математическую модель – уравнение, обозначив за x меньшую из неизвестных величин времени, т.е. время движения второго автомобиля.  

4.     Осуществление решения задачи.

	V, км/ч	t, ч	S, км
1 автомобиль	75	x+2	75(x+2)
2 автомобиль	70	x	70x

 875 км

Составим и решим уравнение: 75(x+2) + 70x = 875

  x = 5

Значит, 5 ч – время движения 2 автомобиля;               5+2 =7 (ч) – время движения 1 автомобиля.

5.     Проверка решения задачи.

Итак, 1 автомобиль двигался 7 ч со скоростью 75 км/ч, т.е. преодолел расстояние, равное 75  7 = 525 (км). 

2 автомобиль – 5 ч со скоростью 70 км/ч, т.е. преодолел расстояние, равное 70  5 = 350 (км).

Таким образом, вместе они проделали путь равный 525 + 350 = 875 (км), – что соответствует условию задачи.

6.     Формулирование ответа задачи.

Чтобы ответить на вопрос задачи: через сколько часов после выезда первого автомобили встретятся, добавим к времени движения

1 автомобиля 1 час: 7 + 1 = 8 (ч).

        Ответ: 8.                                       

Пример 6

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 63 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью, на 12 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1.     Анализ задачи. В задаче речь идет о двух объектах: первый автомобиль и второй автомобиль. Известно, что автомобили проехали одинаковое расстояние (от пункта A до пункта B). Расстояние по условию задачи не известно, а значит при решении задачи обозначим его за 1. Известна скорость второго автомобиля на первой половине пути и связь его скорости на второй половине пути со скоростью первого (она на 12 км/ч большей скорости первого). Время движения автомобилей одинаковое, т.к. по условию в пункт B они прибыли одновременно. Требуется найти скорость первого автомобиля.

2.     Схематическая запись задачи.

	V, км/ч	S	t
1 автомобиль	?	1	?
2 автомобиль	63	1/2	?
	?	1/2	?

3.     Поиск способа решения задачи.

Для решения удобно составить математическую модель – уравнение, обозначив за x меньшую из неизвестных величин скоростей, т.е. скорость движения первого автомобиля.

4.     Осуществление решения задачи.

	V, км/ч	S	t
1 автомобиль	x	1	1   𝑥
2 автомобиль	63	1/2
	x+12	1/2

По условию время движения автомобилей одинаковое.

          

Составим и решим уравнение:

1                                  1      1

                    +                      =                                               ОДЗ: 𝑥 ≠ 0 и 𝑥 ≠ −12

        126      2(𝑥 + 12)      𝑥

𝑥(𝑥 + 12) + 63𝑥 − 126(𝑥 + 12)

 = 0

126𝑥(𝑥 + 12)

𝑥² − 51𝑥 − 1512 = 0

𝑥₁ = 72; 𝑥₂ = −21

Условию задачи удовлетворяет только значение 72, т.к. скорость – величина неотрицательная.

Значит, 72 км/ч – скорость движения 1 автомобиля.

5.     Проверка решения задачи.

Итак, 1 автомобиль двигался со скоростью 72 км/ч, т.е. преодолел путь от A до B за S/72(ч).

2                                  автомобиль – со скоростями 63 км/ч и 72+12=84 (км/ч), т.е. преодолел путь от A до B за S/126+S/168=S/72(ч).

Таким образом, время их движения одинаково, – что соответствует условию задачи.

6.     Формулирование ответа задачи.

Скорость первого автомобиля равна 72 км/ч. Ответ: 72.

Пример 7

Моторная лодка прошла путь от пункта A до пункта Б и обратно без остановок за 9 часов. Найдите расстояние между пунктами А и Б, если скорость лодки в неподвижной воде равна 18 км/ч, а скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в километрах.

Решение:

1.     Анализ задачи. В задаче речь идет об одном объекте, моторной лодке. Рассматриваются две ситуации: движение лодки из A в Б и ее движение из Б в A, отличающиеся скоростями движения (в одном случае скорость по течению реки, а в другом против течения). Известны скорость лодки в неподвижной воде и скорость течения, значит, скорости для обоих случаев могут быть найдены по соответствующим формулам. Известно также общее время движения. Требуется найти расстояние между пунктами А и Б.

          

2.     Схематическая запись задачи.  

	V, км/ч	S, км	t, ч
из A в Б (по течению)	18+2=20	?	?
из Б в A (против течения)	18–2=16	?	?

9 ч

3.     Поиск способа решения задачи.

Для решения удобно составить математическую модель – уравнение, обозначив за x расстояние между пунктами А и Б.

4.     Осуществление решения задачи.  

	V, км/ч	S, км	t, ч
из A в Б (по течению)	20	x	𝑥   20
из Б в A (против течения)	16	x	𝑥   16

9 ч

Составим и решим уравнение:

          𝑥        𝑥

                +        = 9  

        20     16

𝑥 = 80

Значит, 80 км – расстояние между пунктами А и Б.

5.     Проверка решения задачи.

Итак, путь от A до Б равен 80 км.

Тогда, расстояние из А в Б лодка прошла за 80/20= 4 (ч), а путь из Б в А за 80/16= 5 (ч).

4 ч + 5 ч = 9 ч – общее время движения лодки, – что соответствует условию задачи.

6.     Формулирование ответа задачи.

Расстояние между пунктами А и Б равно 80 км. Ответ: 80.

Пример 8

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 15 км/ч, проходит по течению реки до пункта назначения и после стоянки возвращается в исходный пункт. Найдите расстояние, пройденное теплоходом за весь рейс, если скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 12 часов после отплытия из него. Ответ дайте в километрах.

          

Решение:

1.     Анализ задачи. В задаче речь идет об одном объекте, теплоходе. Рассматриваются две ситуации: движение теплохода до пункта назначения и его возвращение в исходный пункт (в одном случае теплоход движется по течению реки, а в другом – против течения). Известны скорость теплохода в неподвижной воде и скорость течения, значит, скорости для обоих случаев могут быть найдены. Известно также, что в исходный пункт теплоход возвращается через 12 ч, а стоянка в пункте назначения длится 2 ч, значит, время движения теплохода 12 – 2 = 10 (ч). Требуется найти расстояние, пройденное теплоходом за весь рейс.

2.     Схематическая запись задачи.  

	V, км/ч	S, км	t, ч
до пункта назначения (по течению)	15+3=18	?	?
возвращение в исходный пункт (против течения)	15–3=12	?	?

10 ч

3.     Поиск способа решения задачи.

Для решения удобно составить математическую модель – уравнение, обозначив за x расстояние между пунктами.

4.     Осуществление решения задачи.

	V, км/ч	S, км	t, ч
до пункта назначения (по течению)	18	x	𝑥   18
возвращение в исходный пункт (против течения)	12	x	𝑥   12

10 ч

Составим и решим уравнение:

          𝑥        𝑥

                +        = 10  

        18     12

𝑥 = 72

Значит, 72 км – расстояние между пунктами.

5.     Проверка решения задачи.

Итак, путь между исходным пунктом и пунктом назначения равен 72 км. Тогда, расстояние до пункта назначения теплоход прошел за 72/18= 4 (ч), а обратный путь за 72/12= 6 (ч).

4 ч + 6 ч = 10 ч – общее время движения теплохода, – что соответствует условию задачи.

6.     Формулирование ответа задачи.

В условии требуется найти расстояние, пройденное теплоходом за весь рейс. 72  2 = 144 (км) Ответ: 144.