Показательная функция. Её свойства и график.

Специальность: Все специальности
Курс 1

Москва, 2022

а) 1 125 1 1 125 125 1 125
б) 8
в) 1 121 1 1 121 121 1 121
г) 1 4 9 4 4 9 9 4 9
д) 1 9 1 1 9 9 1 9
е) 36
ж) 1 32 1 1 32 32 1 32
з) 3 3 8 3 3 8 8 3 8
и) 81
к) 15 5 8 5 5 8 8 5 8

Определение:

Функцию вида y = ax , где a>0 и a≠ 1, называют показательной функцией с основанием a.

Построим функцию 𝐲𝐲= 𝟐 𝒙 𝟐𝟐 𝟐 𝒙 𝒙𝒙 𝟐 𝒙

Свойства функции 𝐲𝐲= 𝟐 𝒙 𝟐𝟐 𝟐 𝒙 𝒙𝒙 𝟐 𝒙

Построим функцию 𝐲𝐲= ( 𝟏 𝟐 ) 𝒙 ( 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ) ( 𝟏 𝟐 ) 𝒙 𝒙𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) 𝒙

Свойства функции 𝐲𝐲= ( 𝟏 𝟐 ) 𝒙 ( 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ) ( 𝟏 𝟐 ) 𝒙 𝒙𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) 𝒙

Обратите внимание

График показательной функции называют ЭКСПОНЕНТОЙ

Свойства функции 𝐲𝐲= а 𝒙 а а 𝒙 𝒙𝒙 а 𝒙 , а≠𝟏𝟏, а>𝟎𝟎

Свойство монотонности функции
𝐲𝐲= а 𝒙 а а 𝒙 𝒙𝒙 а 𝒙 , а≠𝟏𝟏, а>𝟎𝟎

Задание.
Выяснить возрастающей или убывающей является функция

𝒚𝒚= 𝟑 𝒙 𝟑𝟑 𝟑 𝒙 𝒙𝒙 𝟑 𝒙
𝒚𝒚= 𝟎,𝟓 𝒙 𝟎𝟎,𝟓𝟓 𝟎,𝟓 𝒙 𝒙𝒙 𝟎,𝟓 𝒙
𝒚𝒚= ( 𝟏 𝟐 ) −𝒙 ( 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ) ( 𝟏 𝟐 ) −𝒙 −𝒙𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) −𝒙
𝒚𝒚= 𝟏,𝟑 −𝒙 𝟏𝟏,𝟑𝟑 𝟏,𝟑 −𝒙 −𝒙𝒙 𝟏,𝟑 −𝒙

Возрастающая
Убывающая
Возрастающая
убывающая

Задание.
2. Используя свойство возрастания и убывания показательной функции, сравнить числа:
𝟏,𝟕 𝟑 𝟏𝟏,𝟕𝟕 𝟏,𝟕 𝟑 𝟑𝟑 𝟏,𝟕 𝟑 и 1
𝟎,𝟑 𝟐 𝟎𝟎,𝟑𝟑 𝟎,𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟎,𝟑 𝟐 и 1

1) 1,7 3 1,7 1,7 3 3 1,7 3 > 1,7 0 1,7 1,7 0 0 1,7 0 (т.к. а>1, то функция возрастающая (большему значению аргумента соответствует большее значение функции)
2) 0,3 2 0,3 0,3 2 2 0,3 2 < 0,3 0 0,3 0,3 0 0 0,3 0 (т.к. 0<а<1, то функция убывающая (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции)

Задание.

а=0,1, т.е. 0<а<1, х= 2 2 2 2 , значит 0,1 2 0,1 0,1 0,1 0,1 2 2 2 2 2 0,1 2 <1
а=3,5, т.е. а>1, х=0,1, значит 3,5 0,1 3,5 3,5 3,5 3,5 0,1 0,1 3,5 0,1 >1
а=𝜋𝜋, т.е. а>1, х= -2,7, значит 𝜋 −2,7 𝜋𝜋 𝜋 −2,7 −2,7 𝜋 −2,7 <1
а= 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 , т.е. 0<а<1, х= -1,2, значит 5 5 −1,2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 −1,2 −1,2 5 5 −1,2 >1

Задание.

Решите графически неравенство
( 1 2 ) х ( 1 2 1 1 2 2 1 2 ) ( 1 2 ) х х ( 1 2 ) х +1<3

Решение:
В одной системе координат построим графики функций у= ( 1 2 ) х ( 1 2 1 1 2 2 1 2 ) ( 1 2 ) х х ( 1 2 ) х +1 и у=3
Ответ (-1;+∞)

Задание.

Решить уравнение
𝟓 х 𝟓𝟓 𝟓 х х 𝟓 х = 𝟏 𝟓 𝟏𝟏 𝟏 𝟓 𝟓𝟓 𝟏 𝟓
𝟕 х 𝟕𝟕 𝟕 х х 𝟕 х =𝟒𝟒𝟗𝟗
( 𝟏 𝟑 ) х ( 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 ) ( 𝟏 𝟑 ) х х ( 𝟏 𝟑 ) х = 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑

Решение уравнений.

Решение уравнения
𝟓 х 𝟓𝟓 𝟓 х х 𝟓 х = 𝟏 𝟓 𝟏𝟏 𝟏 𝟓 𝟓𝟓 𝟏 𝟓
Это простейшее показательное уравнение. Для того, чтобы его решить
1) необходимо обе части уравнения привести к степени с одинаковым основанием;
2) степени равны когда их основания равны и показатели равны;
3) приравниваем показатели степеней.
𝟓 х 𝟓𝟓 𝟓 х х 𝟓 х = 𝟓 −𝟏 𝟓𝟓 𝟓 −𝟏 −𝟏𝟏 𝟓 −𝟏
х=−𝟏𝟏

Решение уравнений.

Решение уравнения
𝟐𝟐) 𝟕 х 𝟕𝟕 𝟕 х х 𝟕 х =𝟒𝟒𝟗𝟗
Это простейшее показательное уравнение. Для того, чтобы его решить
1) необходимо обе части уравнения привести к степеням с одинаковым основанием;
2) степени равны когда их основания равны и показатели равны;
3) приравниваем показатели степеней.
𝟕 х 𝟕𝟕 𝟕 х х 𝟕 х = 𝟕 𝟐 𝟕𝟕 𝟕 𝟐 𝟐𝟐 𝟕 𝟐
х=𝟐𝟐

Решение уравнений.

Решение уравнения
3) ( 𝟏 𝟑 ) х ( 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 ) ( 𝟏 𝟑 ) х х ( 𝟏 𝟑 ) х = 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑
Это простейшее показательное уравнение. Для того, чтобы его решить
1) необходимо обе части уравнения привести к степеням с одинаковым основанием;
2) степени равны когда их основания равны и показатели равны;
3) приравниваем показатели степеней.
𝟑 −х 𝟑𝟑 𝟑 −х −х 𝟑 −х = 𝟑 𝟏 𝟐 𝟑𝟑 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐
х=− 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐

у= 2 6х 2 5х 2 6х 2 2 6х 6х 2 6х 2 6х 2 5х 2 5х 2 2 5х 5х 2 5х 2 6х 2 5х ; у= 2 х 2 2 х х 2 х
у= 2 3,5х 2 4х 2 3,5х 2 2 3,5х 3,5х 2 3,5х 2 3,5х 2 4х 2 4х 2 2 4х 4х 2 4х 2 3,5х 2 4х ;у= 2 −0,5х 2 2 −0,5х −0,5х 2 −0,5х ;у= ( 1 2 ) х ( 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ) ( 1 2 ) х х ( 1 2 ) х