"Показательная функция,уравнения и неравенства"

Выполнила:
Ильиных
Екатерина
10-А класс
Проверила:
КопыловаСВ

Математика

Показательные функции,
уравнения,
неравенства

Показательной функцией называется функция y = a в степени x, где а – заданное число,
Область определения показательной функции – множество значений R всех действительных чисел.
Множество значений показательной функции – множество всех положительных чисел.

Расширение понятия степенной функции y =an, где n - иррациональное и вообще любое действительное число, позволяет рассматривать показательную функцию вида: y = ax,
где a >0, x - любое действительное число.

Еще в 1679 г. Лейбниц в одном из своих писем к голландскому физику и математику Христиану Гюйгенсу рассматривал уравнения вида xx+zz =c, xx-x =24 и т. п.

Примерно в то же время аналогичными уравнениями занимался Иоганн Бернулли. Ученик последнего, Л. Эйлер, посвятил "показательным и логарфмическим количествам" две главы "Введение в анализ" и другие труды. "Показательные количества, - писал Эйлер, - разнообразны, смотря по тому, будет ли переменным количеством один только показатель или, кроме того, еще и само возвышаемое количество; к первому роду относится аz, ко второму уz, даже и сам показатель может быть показательным количеством.

Мы не будем останавливаться на дальнейшем подразделении этих количеств, так как природа их может быть понятна достаточно ясно, если мы разберем только первый вид аz" Одним из замечательных достижений Эйлера было установление связи между показательной и трмгонометрическими функциями. Показательная функция находит важнейшие применения при изучении природных и общественных явлений. Известно, например, что при распадаении радиоактивного вещества его масса m уменьшается за равные промежутки времени в одинаковое число раз. Если обозначить через t0 (период полураспада) промежуток времени, необходимый для того, чтобы от первоначальной массы вещества m0 осталось половина ее.

Функция y = ax называется возрастающей на множестве действительных чисел, если а> 1, убывающей при 0

Графики показательных функций

1)Какие из перечисленных показательных функций являются возрастающими, а какие убывающими?
y = 5x ;  y =(  )x ;
y =(π)x;        y =  .
Почему?

    3). Сравните:

2-5   и 1;    ( ) и   ;   ( )-5 и ( )-6.
( ах >1 , если a>1, x>0  или     ax1> ax2 , если  a>1,  x1>x2;
ax1 < ax2 , если  0x2).

Понятие логарифма

Логарифмом числа b по основанию a ( b  > 0, ) называется показатель степени, в который нужно возвести число a , чтобы получить число b : 
Это равенство, выражающее определение логарифма, называется основным логарифмическим тождеством . Равенство
означает, что Из определения логарифма получаются следующие важные равенства:   Логарифм по основанию 10 имеет специальное обозначение и называется десятичным логарифмом . Для десятичных логарифмов справедливы равенства:  

Простейшее показательное уравнение - это уравнение вида ax=b. Пусть основание a>0 и отлично от 1. Так как функция y=ax строго монотонна, то каждое свое значение она принимает ровно один раз. Это означает, что уравнение ax=b при b>0 имеет одно решение, которое по определению логарифма равно logab (см. главу 3). Если b 0, то уравнение ax=b корней не имеет, так как ax всегда больше нуля. Если число b записано в виде ax=ac, то оно имеет один корень x=c.
Теорема: Пусть a>0 a 1. уравнение af(x)=ag(x) равносильно уравнению f(x)=g(x).

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Показательные неравенства.

При решении показательныx неравенств используются следующие утверждения:
A.1. Если a > 1, неравенство
a f(x) > a g(x)
равносильно неравенству
f(x) > g(x).
Аналогично,   a f(x) < a g(x) Ы f(x) < g(x).
A.2. Если 0 < a < 1, неравенство
a f(x) > a g(x)
равносильно неравенству
f(x) < g(x).
Аналогично,   a f(x) < a g(x) Ы f(x) > g(x).

A.3. Если b ≤ 0, множеством решений неравенства af(x) > b является x О D(f).
A.4. Если a > 1, b > 0, неравенство
af(x) > b
равносильно неравенству
f(x) > logab.
Аналогично,   a f(x) < b Ы f(x) < logab.

Алгебра и начало анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразоват. Учреждений / (Ш. А. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.).-15-е изд. – М. : Просвещение, 2007. – 384 с. : ил. – ISBN 978-5-09-017284-4.
http://mathprog.narod.ru/work.htm
http://festival.1september.ru/index.php?subject=1
http://ipk.admin.tstu.ru/bpi/bpiweb.exe/doc34.doc
http://ipk.admin.tstu.ru/bpi/bpiweb.exe/doc34.doc

ЛИТЕРАТУРА

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!