Показательные уравнения из материалов ЕГЭ профильного уровня.

Подробно разобраны решения 7 примеров и даны 4 примера для с. р.

Показательные уравнения из материалов ЕГЭ профильного уровня.

1. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Заметим, что преобразуем исходное уравнение:

Пусть тогда уравнение запишется в виде откуда или

При получим: откуда

б)  Корень не принадлежит промежутку Поскольку и корень принадлежит промежутку

Ответ: а) б)

2. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Разложим левую часть на множители:

б)  Поскольку отрезку принадлежит только корень

Ответ: а) б)

Примечание.

Можно было ввести замену получить уравнение и решить его разложением на множители:

$t в кубе минус 5t в квадрате минус 9t плюс 45=0 равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t=5,t=\pm3. конец совокупности .$

Возвращаясь к исходной переменной получаем решение.

3. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку

Решение. а)  Преобразуем исходное уравнение:

Пусть тогда уравнение запишется в виде откуда или

При получим: откуда

б)  Поскольку получаем: Значит, отрезку принадлежит число

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Ответ: а) б)

514081

а) б)

Методы алгебры: Замена переменной

4. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−1; 2].

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

$равносильно 7 левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\! плюс 5 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\! минус 12 = 0 равносильно$
$равносильно 7 левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате \!\!\!\! плюс 5 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\! минус 12 = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\!=1, левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\!= минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 7 конец дроби . конец совокупности$

У второго уравнения решений нет.

Преобразуем первое уравнение: откуда $x= дробь: числитель: 3 \pm корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби .$

б)  Оценим целыми числами: Тогда

Значит, отрезку принадлежит только

Ответ: а) $дробь: числитель: 3 \pm корень из 5, знаменатель: конец дроби 2;$ б)

Критерии проверки:

Методы алгебры: Замена переменной,

5. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. a)  Сделаем замену переменной: тогда

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка =1, 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x в квадрате минус 3=0, x в квадрате минус 3= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=\pm корень из 3, x=\pm корень из 2. конец совокупности .$

б)  Заметим, что при этом Поэтому в заданном отрезке лежат корни $\pm корень из 2, корень из 3.$

Ответ: а) б)

6. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Разделим обе части уравнения на положительное выражение и решим квадратное уравнение:

б)  Заметим, что и поэтому на заданном промежутке лежат корни x = 3 и x = 4.

Ответ:a) {−2; −1; 3; 4}, б) {3; 4}.

7. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−0,5; 0,5].

Решение. а)  Последовательно получаем:

$равносильно совокупность выражений x в квадрате плюс 4x минус 2 = 0,33 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 6x минус 3 правая круглая скобка = 11 конец совокупности . равносильно равносильно совокупность выражений x = минус 2 \pm корень из 6,6x минус 3 = логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = минус 2 \pm корень из 6,6x = 3 минус логарифм по основанию 2 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус 2 \pm корень из 6,x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию 2 3. конец совокупности .$

б)  Найдем корни на отрезке Так как этот корень не будет принадлежать отрезку Проверим другие значения x. Заметим, что

$9 меньше 24 меньше 25 \Rightarrow 3 меньше 2 корень из 6 меньше 5 \Rightarrow$
$\Rightarrow дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше корень из 6 меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше корень из 6 минус 2 меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Значит, корень принадлежит отрезку [−0,5; 0,5]. Наконец,

$1 меньше 3 меньше 64 \Rightarrow 0 меньше логарифм по основанию 2 3 меньше 6 \Rightarrow$
$\Rightarrow минус 1 меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию 2 3 меньше 0 \Rightarrow минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию 2 3 меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Значит, корень принадлежит отрезку [−0,5; 0,5].

Ответ: а) б)

Решить самостоятельно.

1. а)  Решите уравнение:

б)  Определите, какие из его корней принадлежат отрезку

2. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

3. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−0,5; 0,5].

4.а)Решитеуравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Скачано с www.znanio.ru

Показательные уравнения из материалов

Возвращаясь к исходной переменной получаем решение

Оценим целыми числами: Тогда и

Ответ: a) {−2; −1; 3; 4}, б) {3; 4}

Решить самостоятельно. 1. а)

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

04.01.2023