Показательные уравнения из материалов ЕГЭ профильного уровня.
Оценка 4.7

Показательные уравнения из материалов ЕГЭ профильного уровня.

Оценка 4.7
Домашняя работа
docx
математика
04.01.2023
Показательные уравнения из материалов ЕГЭ профильного уровня.
Подробно разобраны решения 7 примеров и даны 4 примера для с. р.
Показ.ур.проф.из ЕГЭ.docx

Показательные уравнения из материалов ЕГЭ  профильного уровня.

1. а)  Решите уравнение 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 8 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 5=0.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  левая круглая скобка 1, дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

Решение. а)  Заметим, что 9 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка = 9 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка =9 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на 9 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка , преобразуем исходное уравнение:

9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 8 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 5=0 равносильно 3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус 8 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 5 = 0.

Пусть  t = 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка ,тогда уравнение запишется в виде 3t в квадрате минус 8t плюс 5 = 0,откуда t = 1 или  t = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .

При t = 1получим: 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка =1откуда x = 1.

При  t = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби получим: 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби откуда x = логарифм по основанию 3 5.

б)  Корень x = 1не принадлежит промежутку  левая круглая скобка 1, дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка . Поскольку 1 меньше логарифм по основанию 3 5и  логарифм по основанию 3 5 меньше логарифм по основанию 3 9 = 2 меньше дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби , корень x = логарифм по основанию 3 5 принадлежит промежутку  левая круглая скобка 1, дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

 

Ответ: а) 1, логарифм по основанию 3 5;б)  логарифм по основанию 3 5.

2. а)  Решите уравнение 27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 45=0.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка логарифм по основанию 3 4; логарифм по основанию 3 10 правая квадратная скобка .

Решение. а)  Разложим левую часть на множители:

27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 45=0 равносильно 27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 9 умножить на 3 в степени x плюс 45=0 равносильно

 равносильно 9 в степени x левая круглая скобка 3 в степени x минус 5 правая круглая скобка минус 9 левая круглая скобка 3 в степени x минус 5 правая круглая скобка =0 равносильно
 равносильно левая круглая скобка 3 в степени x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 в степени x минус 9 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений 3 в степени x =5,9 в степени x =9 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= логарифм по основанию 3 5,x=1. конец совокупности .

б)  Поскольку 1 меньше логарифм по основанию 3 4 меньше логарифм по основанию 3 5 меньше логарифм по основанию 3 10,отрезку  левая квадратная скобка логарифм по основанию 3 4; логарифм по основанию 3 10 правая квадратная скобка принадлежит только корень  логарифм по основанию 3 5.

 

Ответ: а)  левая фигурная скобка 1; логарифм по основанию 3 5 правая фигурная скобка ,б)  логарифм по основанию 3 5.

 

Примечание.

Можно было ввести замену t=3 в степени x ,получить уравнение и решить его разложением на множители:

t в кубе минус 5t в квадрате минус 9t плюс 45=0 равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t=5,t=\pm3. конец совокупности .

Возвращаясь к исходной переменной получаем решение.

3. а)  Решите уравнение 3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 7 умножить на 6 в степени x плюс 3 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку  левая квадратная скобка 2;3 правая квадратная скобка .

Решение. а)  Преобразуем исходное уравнение:

3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 7 умножить на 6 в степени x плюс 3 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно
 равносильно 9 в степени x минус 7 умножить на 6 в степени x плюс 12 умножить на 4 в степени x =0 равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус 7 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x плюс 12=0.

Пусть t= левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x ,тогда уравнение запишется в виде t в квадрате минус 7t плюс 12=0,откуда t=3или t=4.

При t=3получим:  левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x =3, откуда x= логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3.

При t=4получим:  левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x =4,откуда x= логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 4.

б)  Поскольку  левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате меньше 3 меньше левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в кубе меньше 4,получаем: 2 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3 меньше 3 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 4.Значит, отрезку  левая квадратная скобка 2;3 правая квадратная скобка принадлежит число  логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3.

 

Ответ: а)  логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3; логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 4,б)  логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3.

Критерии проверки:

Ответ: а)  логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3; логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 4,б)  логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3.

514081

а)  логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3; логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 4,б)  логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3.

Источник: Задания 13 (С1) ЕГЭ 2014

Классификатор алгебры: Показательные уравнения

Методы алгебры: Замена переменной

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.5 Показательные уравнения

4. а)  Решите уравнение 7 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 5 умножить на 6 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 48 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x правая круглая скобка =0.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−1; 2].

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

7 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 5 умножить на 6 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 48 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x правая круглая скобка = 0 равносильно
 равносильно 7 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 5 умножить на 6 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 12 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно

 равносильно 7 левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\! плюс 5 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\! минус 12 = 0 равносильно
 равносильно 7 левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате \!\!\!\! плюс 5 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\! минус 12 = 0 равносильно
 равносильно совокупность выражений левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\!=1, левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\!= минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 7 конец дроби . конец совокупности

У второго уравнения решений нет.

Преобразуем первое уравнение: x в квадрате минус 3x плюс 1=0,откуда x= дробь: числитель: 3 \pm корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби .

б)  Оценим  корень из 5целыми числами: 2 меньше корень из 5 меньше 3.Тогда

 дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 3 плюс корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше 3 и 0 меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Значит, отрезку  левая квадратная скобка минус 1;2 правая квадратная скобка принадлежит только x= дробь: числитель: 3 минус корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби .

Ответ: а)  дробь: числитель: 3 \pm корень из 5, знаменатель: конец дроби 2;б)  дробь: числитель: 3 минус корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби .

Критерии проверки:

Классификатор алгебры: Показательные уравнения

Методы алгебры: Замена переменной, Сведение к однородному

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.5 Показательные уравнения

5. а)  Решите уравнение 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 24 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка плюс 8=0.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ;2 правая квадратная скобка .

Решение. a)  Сделаем замену переменной: t=2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка ,тогда

16t в квадрате минус 24t плюс 8=0 равносильно 2t в квадрате минус 3t плюс 1 равносильно совокупность выражений t=1, t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .

Вернёмся к исходной переменной:

 совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка =1, 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x в квадрате минус 3=0, x в квадрате минус 3= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=\pm корень из 3, x=\pm корень из 2. конец совокупности .

б)  Заметим, что  корень из 2 меньше корень из 3 меньше 2,при этом  минус корень из 3 меньше минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби меньше минус корень из 2. Поэтому в заданном отрезке лежат корни \pm корень из 2, корень из 3.

 

Ответ: а)  левая фигурная скобка минус корень из 3, минус корень из 2, корень из 2, корень из 3 правая фигурная скобка ;б)  минус корень из 2, корень из 2, корень из 3.

6. а)  Решите уравнение 2 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 в кубе плюс 2 в степени 8 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 11 плюс 4x правая круглая скобка =0.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 2 0,25; логарифм по основанию 2 16,1 правая квадратная скобка .

Решение. а)  Разделим обе части уравнения на положительное выражение 2 в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка и решим квадратное уравнение:

2 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 в кубе плюс 2 в степени 8 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 11 плюс 4x правая круглая скобка =0 равносильно
 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате минус 4x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 в кубе плюс 2 в степени 8 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 11 правая круглая скобка =0 равносильно

 равносильно левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2 в кубе плюс 2 в степени 8 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка плюс 2 в кубе умножить на 2 в степени 8 =0 равносильно
 равносильно совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка = 2 в кубе ,2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка = 2 в степени 8 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x в квадрате минус 2x минус 3 = 0,x в квадрате минус 2x минус 8 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=3, x= минус 1, x=4, x= минус 2. конец совокупности .

б)  Заметим, что 1 плюс логарифм по основанию 2 0,25 =1 минус 2= минус 1 и  логарифм по основанию 2 16,1 больше логарифм по основанию 2 16 =4,поэтому на заданном промежутке лежат корни x = 3 и x = 4.

 

Ответ:a) {−2; −1; 3; 4}, б) {3; 4}.

7. а)  Решите уравнение  левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 8 в степени левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка =0.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−0,5; 0,5].

Решение. а)  Последовательно получаем:

 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 8 в степени левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка =0 равносильно
 равносильно совокупность выражений x в квадрате плюс 4x минус 2 = 0,2 в степени левая круглая скобка 6x плюс 2 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 6x минус 3 правая круглая скобка минус 11 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x в квадрате плюс 4x минус 2 = 0,2 в степени левая круглая скобка 6x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени 5 плюс 1 правая круглая скобка = 11 конец совокупности . равносильно

 равносильно совокупность выражений x в квадрате плюс 4x минус 2 = 0,33 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 6x минус 3 правая круглая скобка = 11 конец совокупности . равносильно равносильно совокупность выражений x = минус 2 \pm корень из 6,6x минус 3 = логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 конец совокупности . равносильно
 равносильно совокупность выражений x = минус 2 \pm корень из 6,6x = 3 минус логарифм по основанию 2 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус 2 \pm корень из 6,x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию 2 3. конец совокупности .

б)  Найдем корни на отрезке  левая квадратная скобка минус 0,5; 0,5 правая квадратная скобка .Так как  минус 2 минус корень из 6 меньше минус 2,этот корень не будет принадлежать отрезку  левая квадратная скобка минус 0,5; 0,5 правая квадратная скобка .Проверим другие значения x. Заметим, что

 9 меньше 24 меньше 25 \Rightarrow 3 меньше 2 корень из 6 меньше 5 \Rightarrow
\Rightarrow дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше корень из 6 меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше корень из 6 минус 2 меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Значит, корень  корень из 6 минус 2принадлежит отрезку [−0,5; 0,5]. Наконец,

1 меньше 3 меньше 64 \Rightarrow 0 меньше логарифм по основанию 2 3 меньше 6 \Rightarrow
\Rightarrow минус 1 меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию 2 3 меньше 0 \Rightarrow минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию 2 3 меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Значит, корень  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию 2 3 принадлежит отрезку [−0,5; 0,5].

 

Ответ: а)  левая фигурная скобка минус 2 минус корень из 6, минус 2 плюс корень из 6, дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию 2 3; правая фигурная скобка б)  минус 2 плюс корень из 6, дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию 2 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решить самостоятельно.

1. а)  Решите уравнение: 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс 15=0.

б)  Определите, какие из его корней принадлежат отрезку  левая квадратная скобка 2; корень из 10 правая квадратная скобка .

 

2. а)  Решите уравнение 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка =20.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка минус 1;2 правая квадратная скобка .

 

3. а)  Решите уравнение  левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 8 в степени левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка =0.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−0,5; 0,5].

4.а)Решитеуравнениеhttp://reshak.ru/ege/math/new/2/13-1.jpg.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку http://reshak.ru/ege/math/new/2/13-2.jpg.

 


 

Скачано с www.znanio.ru

Показательные уравнения из материалов

Показательные уравнения из материалов

Возвращаясь к исходной переменной получаем решение

Возвращаясь к исходной переменной получаем решение

Оценим целыми числами: Тогда и

Оценим целыми числами: Тогда и

Ответ: a) {−2; −1; 3; 4}, б) {3; 4}

Ответ: a) {−2; −1; 3; 4}, б) {3; 4}

Решить самостоятельно. 1. а)

Решить самостоятельно. 1. а)
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.