Показательные уравнения из материалов ЕГЭ профильного уровня.

  • Домашняя работа
  • docx
  • 04.01.2023
Публикация в СМИ для учителей

Публикация в СМИ для учителей

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Подробно разобраны решения 7 примеров и даны 4 примера для с. р.
Иконка файла материала Показ.ур.проф.из ЕГЭ.docx

Показательные уравнения из материалов ЕГЭ  профильного уровня.

1. а)  Решите уравнение 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 8 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 5=0.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  левая круглая скобка 1, дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

Решение. а)  Заметим, что 9 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка = 9 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка =9 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на 9 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка , преобразуем исходное уравнение:

9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 8 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 5=0 равносильно 3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус 8 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 5 = 0.

Пусть  t = 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка ,тогда уравнение запишется в виде 3t в квадрате минус 8t плюс 5 = 0,откуда t = 1 или  t = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .

При t = 1получим: 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка =1откуда x = 1.

При  t = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби получим: 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби откуда x = логарифм по основанию 3 5.

б)  Корень x = 1не принадлежит промежутку  левая круглая скобка 1, дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка . Поскольку 1 меньше логарифм по основанию 3 5и  логарифм по основанию 3 5 меньше логарифм по основанию 3 9 = 2 меньше дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби , корень x = логарифм по основанию 3 5 принадлежит промежутку  левая круглая скобка 1, дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

 

Ответ: а) 1, логарифм по основанию 3 5;б)  логарифм по основанию 3 5.

2. а)  Решите уравнение 27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 45=0.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка логарифм по основанию 3 4; логарифм по основанию 3 10 правая квадратная скобка .

Решение. а)  Разложим левую часть на множители:

27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 45=0 равносильно 27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 9 умножить на 3 в степени x плюс 45=0 равносильно

 равносильно 9 в степени x левая круглая скобка 3 в степени x минус 5 правая круглая скобка минус 9 левая круглая скобка 3 в степени x минус 5 правая круглая скобка =0 равносильно
 равносильно левая круглая скобка 3 в степени x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 в степени x минус 9 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений 3 в степени x =5,9 в степени x =9 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= логарифм по основанию 3 5,x=1. конец совокупности .

б)  Поскольку 1 меньше логарифм по основанию 3 4 меньше логарифм по основанию 3 5 меньше логарифм по основанию 3 10,отрезку  левая квадратная скобка логарифм по основанию 3 4; логарифм по основанию 3 10 правая квадратная скобка принадлежит только корень  логарифм по основанию 3 5.

 

Ответ: а)  левая фигурная скобка 1; логарифм по основанию 3 5 правая фигурная скобка ,б)  логарифм по основанию 3 5.

 

Примечание.

Можно было ввести замену t=3 в степени x ,получить уравнение и решить его разложением на множители:

t в кубе минус 5t в квадрате минус 9t плюс 45=0 равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t=5,t=\pm3. конец совокупности .

Возвращаясь к исходной переменной получаем решение.

3. а)  Решите уравнение 3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 7 умножить на 6 в степени x плюс 3 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку  левая квадратная скобка 2;3 правая квадратная скобка .

Решение. а)  Преобразуем исходное уравнение:

3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 7 умножить на 6 в степени x плюс 3 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно
 равносильно 9 в степени x минус 7 умножить на 6 в степени x плюс 12 умножить на 4 в степени x =0 равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус 7 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x плюс 12=0.

Пусть t= левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x ,тогда уравнение запишется в виде t в квадрате минус 7t плюс 12=0,откуда t=3или t=4.

При t=3получим:  левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x =3, откуда x= логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3.

При t=4получим:  левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x =4,откуда x= логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 4.

б)  Поскольку  левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате меньше 3 меньше левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в кубе меньше 4,получаем: 2 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3 меньше 3 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 4.Значит, отрезку  левая квадратная скобка 2;3 правая квадратная скобка принадлежит число  логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3.

 

Ответ: а)  логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3; логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 4,б)  логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3.

Критерии проверки:

Ответ: а)  логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3; логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 4,б)  логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3.

514081

а)  логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3; логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 4,б)  логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3.

Источник: Задания 13 (С1) ЕГЭ 2014

Классификатор алгебры: Показательные уравнения

Методы алгебры: Замена переменной

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.5 Показательные уравнения

4. а)  Решите уравнение 7 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 5 умножить на 6 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 48 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x правая круглая скобка =0.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−1; 2].

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

7 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 5 умножить на 6 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 48 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x правая круглая скобка = 0 равносильно
 равносильно 7 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 5 умножить на 6 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 12 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно

 равносильно 7 левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\! плюс 5 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\! минус 12 = 0 равносильно
 равносильно 7 левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате \!\!\!\! плюс 5 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\! минус 12 = 0 равносильно
 равносильно совокупность выражений левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\!=1, левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\!= минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 7 конец дроби . конец совокупности

У второго уравнения решений нет.

Преобразуем первое уравнение: x в квадрате минус 3x плюс 1=0,откуда x= дробь: числитель: 3 \pm корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби .

б)  Оценим  корень из 5целыми числами: 2 меньше корень из 5 меньше 3.Тогда

 дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 3 плюс корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше 3 и 0 меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Значит, отрезку  левая квадратная скобка минус 1;2 правая квадратная скобка принадлежит только x= дробь: числитель: 3 минус корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби .

Ответ: а)  дробь: числитель: 3 \pm корень из 5, знаменатель: конец дроби 2;б)  дробь: числитель: 3 минус корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби .

Критерии проверки:

Классификатор алгебры: Показательные уравнения

Методы алгебры: Замена переменной, Сведение к однородному

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.5 Показательные уравнения

5. а)  Решите уравнение 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 24 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка плюс 8=0.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ;2 правая квадратная скобка .

Решение. a)  Сделаем замену переменной: t=2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка ,тогда

16t в квадрате минус 24t плюс 8=0 равносильно 2t в квадрате минус 3t плюс 1 равносильно совокупность выражений t=1, t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .

Вернёмся к исходной переменной:

 совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка =1, 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x в квадрате минус 3=0, x в квадрате минус 3= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=\pm корень из 3, x=\pm корень из 2. конец совокупности .

б)  Заметим, что  корень из 2 меньше корень из 3 меньше 2,при этом  минус корень из 3 меньше минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби меньше минус корень из 2. Поэтому в заданном отрезке лежат корни \pm корень из 2, корень из 3.

 

Ответ: а)  левая фигурная скобка минус корень из 3, минус корень из 2, корень из 2, корень из 3 правая фигурная скобка ;б)  минус корень из 2, корень из 2, корень из 3.

6. а)  Решите уравнение 2 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 в кубе плюс 2 в степени 8 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 11 плюс 4x правая круглая скобка =0.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 2 0,25; логарифм по основанию 2 16,1 правая квадратная скобка .

Решение. а)  Разделим обе части уравнения на положительное выражение 2 в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка и решим квадратное уравнение:

2 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 в кубе плюс 2 в степени 8 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 11 плюс 4x правая круглая скобка =0 равносильно
 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате минус 4x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 в кубе плюс 2 в степени 8 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 11 правая круглая скобка =0 равносильно

 равносильно левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2 в кубе плюс 2 в степени 8 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка плюс 2 в кубе умножить на 2 в степени 8 =0 равносильно
 равносильно совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка = 2 в кубе ,2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка = 2 в степени 8 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x в квадрате минус 2x минус 3 = 0,x в квадрате минус 2x минус 8 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=3, x= минус 1, x=4, x= минус 2. конец совокупности .

б)  Заметим, что 1 плюс логарифм по основанию 2 0,25 =1 минус 2= минус 1 и  логарифм по основанию 2 16,1 больше логарифм по основанию 2 16 =4,поэтому на заданном промежутке лежат корни x = 3 и x = 4.

 

Ответ:a) {−2; −1; 3; 4}, б) {3; 4}.

7. а)  Решите уравнение  левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 8 в степени левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка =0.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−0,5; 0,5].

Решение. а)  Последовательно получаем:

 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 8 в степени левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка =0 равносильно
 равносильно совокупность выражений x в квадрате плюс 4x минус 2 = 0,2 в степени левая круглая скобка 6x плюс 2 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 6x минус 3 правая круглая скобка минус 11 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x в квадрате плюс 4x минус 2 = 0,2 в степени левая круглая скобка 6x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени 5 плюс 1 правая круглая скобка = 11 конец совокупности . равносильно

 равносильно совокупность выражений x в квадрате плюс 4x минус 2 = 0,33 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 6x минус 3 правая круглая скобка = 11 конец совокупности . равносильно равносильно совокупность выражений x = минус 2 \pm корень из 6,6x минус 3 = логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 конец совокупности . равносильно
 равносильно совокупность выражений x = минус 2 \pm корень из 6,6x = 3 минус логарифм по основанию 2 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус 2 \pm корень из 6,x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию 2 3. конец совокупности .

б)  Найдем корни на отрезке  левая квадратная скобка минус 0,5; 0,5 правая квадратная скобка .Так как  минус 2 минус корень из 6 меньше минус 2,этот корень не будет принадлежать отрезку  левая квадратная скобка минус 0,5; 0,5 правая квадратная скобка .Проверим другие значения x. Заметим, что

 9 меньше 24 меньше 25 \Rightarrow 3 меньше 2 корень из 6 меньше 5 \Rightarrow
\Rightarrow дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше корень из 6 меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше корень из 6 минус 2 меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Значит, корень  корень из 6 минус 2принадлежит отрезку [−0,5; 0,5]. Наконец,

1 меньше 3 меньше 64 \Rightarrow 0 меньше логарифм по основанию 2 3 меньше 6 \Rightarrow
\Rightarrow минус 1 меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию 2 3 меньше 0 \Rightarrow минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию 2 3 меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Значит, корень  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию 2 3 принадлежит отрезку [−0,5; 0,5].

 

Ответ: а)  левая фигурная скобка минус 2 минус корень из 6, минус 2 плюс корень из 6, дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию 2 3; правая фигурная скобка б)  минус 2 плюс корень из 6, дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию 2 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решить самостоятельно.

1. а)  Решите уравнение: 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс 15=0.

б)  Определите, какие из его корней принадлежат отрезку  левая квадратная скобка 2; корень из 10 правая квадратная скобка .

 

2. а)  Решите уравнение 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка =20.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка минус 1;2 правая квадратная скобка .

 

3. а)  Решите уравнение  левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 8 в степени левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка =0.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−0,5; 0,5].

4.а)Решитеуравнениеhttp://reshak.ru/ege/math/new/2/13-1.jpg.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку http://reshak.ru/ege/math/new/2/13-2.jpg.

 


 

Скачано с www.znanio.ru