Понятие конуса

КОНУС

МАОУ «Гимназия №19»Проверила: учитель математики,Копылова Светлана Викторовна

МИАССКИЙ ГОРОДСКОЙ ОКРУГМАОУ «ГИМНАЗИЯ №19»

История

КОНУС

В XI книге «Начал» Евклида впервые дается следующее определение конуса: если вращающийся около одного из своих катетов прямоугольный треугольник слева вернется в то же самое положение, из которого он начал двигаться, то описанная фигура будет конусом. Неподвижный катет, вокруг которого поворачивается треугольник, называется осью конуса, а круг, описываемый вращающимся катетом, называется основанием конуса. Евклид рассматривает только прямые конусы, т.е. такие, у которых ось перпендикулярна к основанию, лишь Аполлоний различает прямые и косые конусы, у которых ось образует с основанием угол, отличный от прямого.

Теория

Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости α этой окружности. Через точку Р и каждую точку окружности проведем прямую.
Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые – образующими конической поверхности. Точка Р – вершина, а прямая ОР – ось конической поверхности.

КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. Круг – основание конуса, вершина конической поверхности – вершина конуса, отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием, - образующие конуса, образованная ими часть конической поверхности – боковая поверхность конуса. Ось конической поверхности – ось конуса, а ее отрезок, заключенный между вершиной и основанием, - высотой конуса.

КОНУС

СЕЧЕНИЕ КОНУСА

Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Это сечение называется осевым.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР конуса, то сечение представляет собой круг с центром О1, расположенным на оси конуса.

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки.

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания.

УСЕЧЕННЫЙ КОНУС

Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, - основание усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры, - высота усеченного конуса.

Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, - боковая поверхность, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, - образующие усеченного конуса.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полсуммы длин окружностей оснований на образующую.

Решение задач

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №8. 3 ВАРИАНТ

Задача 1. Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120 градусам. Площадь боковой поверхности равна 12п. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Задача 2. Образующая усеченного конуса равна l и составляет с плоскостью основания угол . Диагональ его осевого сечения перпендикулярна образующей. Найдите площадь боковой поверхности конуса.