"Построение графика квадратичной функции у(х) = ах2+вх+с"

« Математика… выявляет порядок, симметрию и определённость, а это - важнейшие виды прекрасного.» Аристотель(384-322 до н.э.)- древнегреческий философ

Тема урока Построение графика квадратичной функции у(х) = ах2+вх+с

Квадратичной функцией функция вида называется у(х)= ах2 + в х + с, где а, в, с – заданные числа, а≠0 х – независимая переменная у – зависимая переменная (аргумент) (функция)

Внимание! Вопрос! Какие из данных функций являются квадратичными? ( укажите номер). 1)у = 3х2 + х + 2, 2)у = 4х2 – 1, 3)у = 6х + 1, 4)у = ­ 7х2, 5)у = х3  + 7х – 5, 6)у = ­ 8х2 + 3х.

Внимание! Ответ! 1)У= 4х2 – 1, 2)У= 3х2 + х + 2, 3)У= 6х + 1, 4)У= ­ 7х2, 5)У= х3  + 7х – 5, 6)У= ­ 8х2 + 3х.

Свойства функции у=ах2 1)Графиком является парабола. Ось Ох­ ось абсцисс Ось Оу­ ось ординат Ось симметрии параболы                                     у=ах2 Вершина параболы (х0;у0) Ветви параболы

2)Промежутки монотонности у=ах2 (возрастания и убывания) а>0 у=ах 2 х≤0 х≥0 а<0 х≤0, х≥0 у=ах2 у(х) возрастает при х≥0, У(х) убывает при х≤0.  у(х) возр. при у(х) убыв. при х≤0, х≥0

3)Промежутки знакопостоянства у(х)=ах2+вх+с а>0 а<0 у(х)>0 при у(х)<0  при х<­2, х>1 ­2<х<1 у(х) >0 при у(х)<0 при ­1<х<2 х<­1,х>2.

Наибольшее и наименьшее значения квадратичной функции у=ах2+вх+с. а<0 у у0 О х0 х у а>0 х0 х О у0 унаиб=у0=у(х0) унаим.=у0=у(х0)

Задание №1. Найти нули квадратичной функции а) у = х2 – 4; б) у = х2 – х; в) у = 2х2 + х -1.

Правильные решения! а) у = х2 – 4. у=0 х2 – 4 = 0, х2 = 4, х1,2 =±√4, х1,2 =±2. Ответ: х1=2, х2= -2.

Правильные решения! б) у = х2 – х, у=0 х2 – х = 0, х (х – 1) = 0, х1= 0, х – 1 = 0, х2 = 1. Ответ: х1=0, х2= 1.

Правильные решения! в) у = 2х2 + х – 1, у= 0 , 2х2 + х - 1 = 0 , D= 12-4*2*(-1)=1+8=9, х   , 2;1  2 4  , 1 2  .1 31 4  31 4  31 4  х 1  2  х Ответ: х1=1/2, х2=-1.  4 4

Задание №2 Найти координаты вершины параболы а) у(х)=х2-4х-5, б) у(х)=-х2-2х+5.

Внимание! Правильные решения! а) у(х)=х2-4х-5 а=1,в=-4, х , 0   в а 2 4 1*2   ,2 х 0 у0=у(2)=22-4*2-5= =4-8-5=-4-5=-9, (2;-9)-координаты вершины параболы б) у(х)=-х2-2х+5, а=-1, в=-2, х 0   2 в а , 2    ,1 )1(*2 х 0 у0=у(-1)=-(-1)2-2* (- 1)+5=-1+2+5=-1+ +7=6; (-1;6)-коорд. верш. параб.

Задание №3 Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат? ( с осью Ох, с осью Оу ) а) у=х2-3х+5, б) у=-2х2+8.

Правильные решения! а) у=х2-3х+5, 1) С осью Ох: y=0 Х2-3х+5=0 D=(-3)2-4*1*5=9-20=-11, D< 0 нет корней, У функции нет нулей, У параболы нет точек пересечения с осью Ох 2)С осью Оу: х=0 У(0)=02-3*0+5=5 (0;5)

Правильные решения! у = -2х2+8, 0, 1) С осью ОХ: у=… -2х2+8=0, -8, -2х2=… 4, Х2=… Х1,2=±√4, ±2; Х1,2=… 2) С осью Оу: х=0 у=у(0)=-2*02+8=8 (0;8)-координаты точки перес. с осью Оу. (2;0);(-2;0)-координаты точек пересечения с осью Ох

Самостоятельная     работа В­1 В­2 1. Найти нули квадратичной функции (если они существуют). у=х2+5х+6; у=х2­ 5х+4; 2. Найти координаты вершины параболы. у=х2­10х+9; у=х2­6х+8.

Правильные решения В­2. В­1.          1.         у=х2+5х+6;       у=0 ,       х2+5х+6=0;        D=52­ 4*1*6=25­24=1;  15 2  х 2;1     1  ,2 х 1 ; 5  2  15 2  15 2  4 2  6 2   2 х .3       Ответ: х1=­2, х2=­3.    1.           у=х2­5х+4; у=0,      х2­5х+4=0;         х1+х2=5,     х1=4,         х1*х2=4;     х2=1. (по теореме,обратной теореме   Виета) Ответ:  х1=4, х2=1

Правильные решения В­1. х 0  ;  в а 2 10 2 В­2. х 0  в а ;  2 6 2   2. у=х2­10х+9   (х0;у0)­? 2. у=х2­6х+8, (х0;у0)­? х     0  5 х 0  3 у0=52­10*5+9=25­50+9=          =­25+9=­16; (5;­16) Ответ:  (5;­16). у0=32­6*3+8=9­18+8=     =9­10=­1; (3;­1) Ответ: (3;­1).

Построить график функции у=х2-4х+3. а=1>0, ветви параболы – вверх. 1. Вычислим коорд.верш.параболы: (х0;у0) х0=-в/2а, у0=у(х0). Х0=4/2*1=2, У0=у(2)=22-4*2+3=4-8+3=7-8=-1. (2;-1)-координаты вершины параболы. Построим точку (2;-1)

Построим точку (2;-1). 2. Проведём через точку (2;-1) прямую, параллельную оси Оу,-ось симметрии параболы. х=2- ур-е оси симметр.

3. Найдём нули функции у=х2-4х+3, а для параболы- точки пересечения с осью Ох. у=0 х2-4х+3=0 х1+х2=4, х1*х2=3. х1=1, х2=3. нули функции (1;0),(3;0)-коорд. точек пересеч. параболы с осью Ох. Построим точки (1;0) и (3;0).

Построим точки (1;0) и (3;0).

4. Возьмём две точки на оси Ох, симметричные относительно точки х=2, например, х3=0,х4=4. Вычислим значения функции у=х2-4х+3 в этих точках: у(0)= у(4)=02-4*0+3=3 Получим симметр.точки (0;3), (4;3). Построим их.

Построим симметричные точки (0;3) и (4;3).

5. Проведём параболу через построенные точки Итак, мы изобразили график квадратичной функции у(х)=х2-4х+3 у(х)=х2-4х+3

АЛГОРИТМ построения графика квадратичной функции у=ах2+вх+с Определить направление ветвей. 1.Вершина параболы (х 0,у 0) х0=-в/2а,у0=у(х0). 2.Ось симметрии. 3.Нули функции, если они есть. 4.Симметричные точки. 5.Провести через построенные точки параболу.

Исследование функции у=х2-4х+3 (свойства данной функции) 1.Возраст. и убыван. у(х) убывает при х≤2, у(х) возрастает при х≥2. у -1 2 х

2. Положительные и отрицательные значения функции у(х)=х2-4х+3. у У(х) >0 при х<1, х>3 2 3 х 0 1 У(х)<0 при 1<х<3

З. Наибольшее или наименьшее значение функции у(х)=х2-4х+3 у У данной функции нет наибольшего значения х0 2 3 х 1 0 у0 -1 Унаим=-1