"Построение графика квадратичной функции у(х) = ах2+вх+с" 8 класс"
Данная презентация поможет учащимся в наглядной форме усвоить свойства квадратичной функции: промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности функции, наибольшее или наименьшее значение функции, нули функции. А учителю поможет установить контроль за степенью освоения изложенного материала.файл презентации
« Математика… выявляет порядок, симметрию и
определённость, а это - важнейшие виды
прекрасного.»
Аристотель(384-322 до н.э.)-
древнегреческий философ
Тема урока
Построение
графика
квадратичной
функции
у(х) = ах2+вх+с
Квадратичной функцией
функция вида
называется
у(х)= ах2 + в х + с,
где
а, в, с – заданные числа, а≠0
х – независимая переменная
у – зависимая переменная
(аргумент)
(функция)
Внимание! Вопрос!
Какие из данных функций
являются квадратичными?
( укажите номер).
1)у = 3х2 + х + 2,
2)у = 4х2 – 1,
3)у = 6х + 1,
4)у = 7х2,
5)у = х3 + 7х – 5,
6)у = 8х2 + 3х.
Внимание! Ответ!
1)У= 4х2 – 1,
2)У= 3х2 + х + 2,
3)У= 6х + 1,
4)У= 7х2,
5)У= х3 + 7х – 5,
6)У= 8х2 + 3х.
Свойства функции
у=ах2
1)Графиком является парабола.
Ось Ох ось абсцисс
Ось Оу ось ординат
Ось симметрии параболы
у=ах2
Вершина параболы (х0;у0)
Ветви
параболы
2)Промежутки монотонности у=ах2
(возрастания и убывания)
а>0
у=ах
2
х≤0
х≥0
а<0
х≤0,
х≥0
у=ах2
у(х) возрастает при
х≥0,
У(х) убывает при
х≤0.
у(х) возр. при
у(х) убыв. при
х≤0,
х≥0
3)Промежутки знакопостоянства
у(х)=ах2+вх+с
а>0
а<0
у(х)>0 при
у(х)<0 при
х<2, х>1
2<х<1
у(х) >0 при
у(х)<0 при
1<х<2
х<1,х>2.
Наибольшее и наименьшее
значения
квадратичной функции
у=ах2+вх+с.
а<0
у
у0
О
х0
х
у
а>0
х0
х
О
у0
унаиб=у0=у(х0)
унаим.=у0=у(х0)
Задание №1.
Найти нули
квадратичной функции
а) у = х2 – 4;
б) у = х2 – х;
в) у = 2х2 + х -1.
Правильные решения!
а) у = х2 – 4.
у=0 х2 – 4 = 0,
х2 = 4,
х1,2 =±√4,
х1,2 =±2.
Ответ: х1=2, х2= -2.
Правильные решения!
б) у = х2 – х,
у=0 х2 – х = 0,
х (х – 1) = 0,
х1= 0, х – 1 = 0,
х2 = 1.
Ответ: х1=0, х2= 1.
Правильные решения!
в) у = 2х2 + х – 1,
у= 0 , 2х2 + х - 1 = 0 ,
D= 12-4*2*(-1)=1+8=9,
х
,
2;1
2
4
,
1
2
.1
31
4
31
4
31
4
х
1
2
х
Ответ: х1=1/2, х2=-1.
4
4
Задание №2
Найти координаты
вершины параболы
а) у(х)=х2-4х-5,
б) у(х)=-х2-2х+5.
Внимание!
Правильные решения!
а) у(х)=х2-4х-5
а=1,в=-4,
х
,
0
в
а
2
4
1*2
,2
х
0
у0=у(2)=22-4*2-5=
=4-8-5=-4-5=-9,
(2;-9)-координаты
вершины параболы
б) у(х)=-х2-2х+5,
а=-1, в=-2,
х
0
2
в
а
,
2
,1
)1(*2
х
0
у0=у(-1)=-(-1)2-2* (-
1)+5=-1+2+5=-1+ +7=6;
(-1;6)-коорд.
верш. параб.
Задание №3
Найти координаты точек
пересечения параболы с
осями координат?
( с осью Ох, с осью Оу )
а) у=х2-3х+5, б) у=-2х2+8.
Правильные решения!
а) у=х2-3х+5,
1) С осью Ох: y=0
Х2-3х+5=0
D=(-3)2-4*1*5=9-20=-11,
D< 0 нет корней,
У функции нет нулей,
У параболы нет точек пересечения
с осью Ох
2)С осью Оу: х=0
У(0)=02-3*0+5=5
(0;5)
Правильные решения!
у = -2х2+8,
0,
1) С осью ОХ: у=…
-2х2+8=0,
-8,
-2х2=…
4,
Х2=…
Х1,2=±√4,
±2;
Х1,2=…
2) С осью Оу: х=0
у=у(0)=-2*02+8=8
(0;8)-координаты
точки перес. с осью
Оу.
(2;0);(-2;0)-координаты точек пересечения с осью
Ох
Самостоятельная работа
В1
В2
1. Найти нули квадратичной функции
(если они существуют).
у=х2+5х+6;
у=х2 5х+4;
2. Найти координаты вершины параболы.
у=х210х+9;
у=х26х+8.
Правильные решения
В2.
В1.
1. у=х2+5х+6;
у=0 , х2+5х+6=0;
D=52 4*1*6=2524=1;
15
2
х
2;1
1
,2
х
1
;
5
2
15
2
15
2
4
2
6
2
2
х
.3
Ответ: х1=2, х2=3.
1. у=х25х+4;
у=0, х25х+4=0;
х1+х2=5, х1=4,
х1*х2=4; х2=1.
(по теореме,обратной теореме
Виета)
Ответ: х1=4, х2=1
Правильные решения
В1.
х
0
;
в
а
2
10
2
В2.
х
0
в
а
;
2
6
2
2. у=х210х+9 (х0;у0)?
2. у=х26х+8, (х0;у0)?
х
0
5
х
0
3
у0=5210*5+9=2550+9=
=25+9=16;
(5;16)
Ответ: (5;16).
у0=326*3+8=918+8=
=910=1;
(3;1)
Ответ: (3;1).
Построить график
функции у=х2-4х+3.
а=1>0, ветви параболы – вверх.
1. Вычислим
коорд.верш.параболы:
(х0;у0) х0=-в/2а, у0=у(х0).
Х0=4/2*1=2,
У0=у(2)=22-4*2+3=4-8+3=7-8=-1.
(2;-1)-координаты вершины параболы.
Построим точку (2;-1)
Построим точку
(2;-1).
2. Проведём через
точку (2;-1) прямую,
параллельную оси
Оу,-ось симметрии
параболы.
х=2- ур-е оси
симметр.
3.
Найдём нули функции у=х2-4х+3, а
для параболы- точки
пересечения с осью Ох.
у=0 х2-4х+3=0
х1+х2=4,
х1*х2=3.
х1=1,
х2=3.
нули функции
(1;0),(3;0)-коорд. точек пересеч.
параболы с осью Ох.
Построим точки (1;0) и (3;0).
Построим точки
(1;0) и (3;0).
4.
Возьмём две точки на оси Ох,
симметричные относительно
точки х=2, например,
х3=0,х4=4.
Вычислим значения функции
у=х2-4х+3 в этих точках:
у(0)= у(4)=02-4*0+3=3
Получим симметр.точки (0;3),
(4;3).
Построим их.
Построим
симметричные точки
(0;3) и (4;3).
5.
Проведём
параболу
через
построенные
точки
Итак, мы изобразили
график квадратичной
функции
у(х)=х2-4х+3
у(х)=х2-4х+3
АЛГОРИТМ
построения графика квадратичной
функции у=ах2+вх+с
Определить направление ветвей.
1.Вершина параболы (х 0,у 0)
х0=-в/2а,у0=у(х0).
2.Ось симметрии.
3.Нули функции, если они есть.
4.Симметричные точки.
5.Провести через построенные точки
параболу.
Исследование функции у=х2-4х+3
(свойства данной функции)
1.Возраст. и убыван.
у(х) убывает при
х≤2,
у(х) возрастает при
х≥2.
у
-1
2
х
2. Положительные и
отрицательные значения
функции у(х)=х2-4х+3.
у
У(х) >0 при
х<1, х>3
2
3
х
0
1
У(х)<0 при
1<х<3
З. Наибольшее или наименьшее
значение функции
у(х)=х2-4х+3
у
У данной
функции нет
наибольшего
значения
х0
2
3
х
1
0
у0
-1
Унаим=-1
Построение графика квадратичной функции ух ах2вхс 8 класс.ppt
