Построение графиков функций (10 класс, алгебра)

Побудова графіків функції з модулями. Задачі на побудову графіків функцій з модулями часто пропонують на математичних олімпіадах для учнів. Ця стаття допоможе вчителеві ознайомити учнів з методами побудови таких графіків. Методичні рекомендації пропонуються у формі коментарів до побудови графіків. Актуалізація опорних знань: y=|f(x)|={f(x),якщоf(x)≥0, y=f(|x|)={f(x),якщоx≥0, |y|=f(x)={ ±f(x),якщоf(x)≥0, неіснує,якщоf(x)<0. −f(x),якщоf(x)<0; f(x),якщоx<0; Задачі: 1. Побудувати графік функції. y=|x−2| x−2 +2x Розв’язання. Знаходимо область визначення функції: Д(у): x−2≠0 x≠2 За означенням модуля маємо: y={ x−2 x−2+2x=1+2x,якщоx≥2, −x−2 x−2 +2x=−1+2x,якщоx<2. Виколюємо точку x=2, яка не входить до Д(у). Відповідь: див. рис.1 рис.1 2. Побудувати графік функції. у=|x−2| x−2 +|x−3| x−3 Розв’язання. Д(у): x≠2 x≠3 Знаходимо підмодульні корені, розв’язав рівняння x-2=0 і x-3=0 x=2 і x=3 Наносимо підмодульні корені на числову пряму і отримаємо проміжки - - + - + + x 2 3 З’ясовуємо знак кожного підмодульного виразу на кожному із отриманих проміжків. Спрощуємо вираз в кожному отриманому проміжку: 1) x≤2 y= −(x−2) x−2 − (x−3) x−3 =−1−1=−2 2) 23 y=x−2 x−2+ x−3 x−3=1+1=2 Наносимо підмодульні корені х=2 і х=3 на вісь Ох в системі координат. Прямі х=2 і х=3 проводимо штриховою лінією. Будуємо отримані графіки на кожному із проміжків. Виколюємо на графіках точки х=2 і х=3. Рис.2 Відповідь: Див. рис.2 3. Побудувати графік функції y=x+{x}+[x]+|x| Розв’язання. Знаючи, що x=[x]+{x} , маємо y=x+x+|x|=2x+|x|={3x,якщоx≥0 Графік має вигляд: x,якщоx<0 Відповідь: Див. рис.3 Рис.3 4. Побудувати графік функції. y=√x+5+4√x+1 + √x+5−4√x+1 Після тотожних перетворень одержимо: Розв’язання. √x+1+2 √x+1−2 (¿)❑2+√¿ (¿)❑2=|√x+1+2|++|√x+1−2| y=√¿ Д(у): x+1≥0 x≥1 За вказаною схемою в задачі 2 маємо: √x+1+2=0 √x+1−2=0 √x+1=−2 √x+1=2 Немає рішень x+1=4 x=3 + - + + 3 -1 x 1) −1≤x≤3 y=√x+1+2−√x+1+2=4 2) x>3 y=√x+1+2+√x+1−2=2√x+1 Маємо графік: Відповідь: Див.рис.4 рис.4 5. Побудувати графік функції. |y|= 1 x−1 Розв’язання. Д(у): x≠1 За означенням модуля маємо: |y|=f(x)={ ±f(x),якщоf(x)≥0, Тому має місце неіснує,якщоf(x)<0. y= 1 x−1 і y= −1 Графік має вигляд x−1 , якщо 1 x−1 ≥0 , тобто x≥1 Відповідь: Див. рис.5 Рис.5 6. Побудувати графік функції. y=x|sin x| sin x Розв’язання. Д(у): sinx≠0 ; x≠πn,nϵZ За означенням модуля маємо: y={ xsinx x(−sinx sinx=x,якщоsinx≥0,Пn≤x≤П+Пn,nϵZ sinx)=−x,якщоsinx<0,−П+Пn