Данная методическая разработка предназначена для учителей математики. В разработка приведен алгоритм решения и построения графиков функции с модулями. Данный материал может быть использован для внеклассной работы по математике и подготовке учащихся, как к школьным, так и городским олимпиадам по математике.
Построение графиков функции с модулями.docx
Побудова графіків функції з модулями.
Задачі на побудову графіків функцій з модулями
часто пропонують на математичних олімпіадах для
учнів. Ця стаття допоможе вчителеві ознайомити
учнів з методами побудови таких графіків.
Методичні рекомендації пропонуються у формі
коментарів до побудови графіків.
Актуалізація опорних знань:
y=|f(x)|={f(x),якщоf(x)≥0,
y=f(|x|)={f(x),якщоx≥0,
|y|=f(x)={ ±f(x),якщоf(x)≥0,
неіснує,якщоf(x)<0.
−f(x),якщоf(x)<0;
f(x),якщоx<0;
Задачі:
1. Побудувати графік функції.
y=|x−2|
x−2 +2x
Розв’язання.
Знаходимо область визначення функції: Д(у):
x−2≠0
x≠2
За означенням модуля маємо:
y={ x−2
x−2+2x=1+2x,якщоx≥2,
−x−2
x−2 +2x=−1+2x,якщоx<2.Виколюємо точку x=2, яка не входить до Д(у).
Відповідь: див. рис.1
рис.1
2. Побудувати графік функції.
у=|x−2|
x−2 +|x−3|
x−3
Розв’язання.
Д(у): x≠2
x≠3
Знаходимо підмодульні корені, розв’язав рівняння
x-2=0 і x-3=0
x=2 і x=3
Наносимо підмодульні корені на числову пряму і
отримаємо проміжки
- - + - + +
x
2
3З’ясовуємо знак кожного підмодульного виразу на
кожному із отриманих проміжків.
Спрощуємо вираз в кожному отриманому проміжку:
1) x≤2
y=
−(x−2)
x−2 −
(x−3)
x−3 =−1−1=−2
2) 23
y=x−2
x−2+ x−3
x−3=1+1=2
Наносимо підмодульні корені х=2 і х=3 на вісь Ох в
системі координат. Прямі х=2 і х=3 проводимо
штриховою лінією.
Будуємо отримані графіки на кожному із проміжків.
Виколюємо на графіках точки х=2 і х=3.Рис.2
Відповідь: Див. рис.2
3. Побудувати графік функції
y=x+{x}+[x]+|x|
Розв’язання.
Знаючи, що x=[x]+{x} , маємо
y=x+x+|x|=2x+|x|={3x,якщоx≥0
Графік має вигляд:
x,якщоx<0
Відповідь: Див. рис.3
Рис.34. Побудувати графік функції.
y=√x+5+4√x+1 + √x+5−4√x+1
Після тотожних перетворень одержимо:
Розв’язання.
√x+1+2
√x+1−2
(¿)❑2+√¿
(¿)❑2=|√x+1+2|++|√x+1−2|
y=√¿
Д(у): x+1≥0
x≥1
За вказаною схемою в задачі 2 маємо:
√x+1+2=0 √x+1−2=0
√x+1=−2 √x+1=2
Немає рішень x+1=4
x=3
+ - + +
3
-1
x
1) −1≤x≤3
y=√x+1+2−√x+1+2=4
2) x>3
y=√x+1+2+√x+1−2=2√x+1
Маємо графік:Відповідь: Див.рис.4
рис.4
5. Побудувати графік функції.
|y|= 1
x−1
Розв’язання.
Д(у): x≠1
За означенням модуля маємо:
|y|=f(x)={ ±f(x),якщоf(x)≥0,
Тому має місце
неіснує,якщоf(x)<0.
y= 1
x−1 і y= −1
Графік має вигляд
x−1 , якщо
1
x−1
≥0 , тобто x≥1Відповідь: Див. рис.5
Рис.5
6. Побудувати графік функції.
y=x|sin x|
sin x
Розв’язання.
Д(у): sinx≠0 ; x≠πn,nϵZ
За означенням модуля маємо:
y={ xsinx
x(−sinx
sinx=x,якщоsinx≥0,Пn≤x≤П+Пn,nϵZ
sinx)=−x,якщоsinx<0,−П+Пn
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с
договором-офертой сайта. Вы можете
сообщить о нарушении.