Построение сечений (11 класс)

О задачах на построение сечений О задачах на построение сечений       Подготовительные задачи Подготовительные задачи   Задача на построение сечения в тетраэдре Задача на построение сечения в тетраэдре Задачи на построение сечений в призме Задачи на построение сечений в призме Алгоритм построения сечений в пирамиде и  Алгоритм построения сечений в пирамиде и  призме призме Литература Литература

Задачи на построение сечений многогранников  Задачи на построение сечений многогранников  занимают заметное место в школьных учебниках  занимают заметное место в школьных учебниках  геометрии. Решение этого вида задач  геометрии. Решение этого вида задач  способствует усвоению аксиом стереометрии,  способствует усвоению аксиом стереометрии,  следствий из них, систематизации знаний и  следствий из них, систематизации знаний и  умений, развитию пространственных  умений, развитию пространственных  представлений и конструктивных навыков. представлений и конструктивных навыков. Сечение выпуклого многогранника есть выпуклый  Сечение выпуклого многогранника есть выпуклый  многоугольник, вершины которого в общем случае  многоугольник, вершины которого в общем случае  являются точками пересечения секущей  являются точками пересечения секущей  плоскости с рёбрами многогранника, а стороны –  плоскости с рёбрами многогранника, а стороны –  линиями пересечения секущей плоскости с  линиями пересечения секущей плоскости с  гранями.. гранями

Для построения прямой пересечения двух  Для построения прямой пересечения двух  плоскостей достаточно найти две общие точки этих  плоскостей достаточно найти две общие точки этих  плоскостей и провести через них прямую. Это  плоскостей и провести через них прямую. Это  основано на аксиомах стереометрии:  основано на аксиомах стереометрии:  ВВ АА если две точки прямое лежат в  1) 1) если две точки прямое лежат в  плоскости, то все точки прямой  плоскости, то все точки прямой  лежат в плоскости лежат в плоскости АА аа если две различные плоскости  2) 2) если две различные плоскости  имеют общую точку, то они  имеют общую точку, то они  пересекаются по прямой,  пересекаются по прямой,  проходящей через эту точку. проходящей через эту точку. Для построения точки пересечения  Для построения точки пересечения  прямой и плоскости находят в плоскости  прямой и плоскости находят в плоскости  прямую, пересекающую данную прямую. прямую, пересекающую данную прямую. Решим несколько задач. Решим несколько задач.

НА РЁБРАХ ТЕТРАЭДРА ОТМЕЧЕНЫ ТОЧКИ M И N. ПОСТРОИТЬ ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ MN С ПЛОСКОСТЬЮ ABC. решение решение D M N A B C X

ДАН ТЕТРАЭДР ABCD. ТОЧКА M ЛЕЖИТ НА РЕБРЕ AD, ТОЧКА N ЛЕЖИТ НА ГРАНИ BCD. ПОСТРОИТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ MN С ПЛОСКОСТЬЮ ABC. решение решение DD NN MM AA BB ЕЕ CC XX

НА РЁБРАХ AC,AD,DB ТЕТРАЭДРА DABC ОТМЕЧЕНЫ ТОЧКИ M,N,P. ПОСТРОИТЬ СЕЧЕНИЕ ТЕТРАЭДРА ПЛОСКОСТЬЮ MNP. DD решение решение PP ВВ ЕЕ NN АА MM QQ СС

ПОСТРОИТЬ СЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ ABCA1B1C1 ПЛОСКОСТЬЮ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ P,Q И R ГДЕ R Є (AA1C1C), P Є B1C1, Q Є AB. BB11 решение решение PP CC11 EE AA11 FF BB PP11 QQ CC RR11 XX RR KK AA YY

Дана правильная шестиугольная призма. Построить сечение этой  Дана правильная шестиугольная призма. Построить сечение этой  призмы плоскостью, проходящей через точки   К, М, N  призмы плоскостью, проходящей через точки   К, М, (ABB11AA11))..  пл.(ABB  пл.(CDDCDD11CC11)), , N N є пл.  К К є пл.(  пл. (FEE(FEE11FF11), M  ), M є пл.  N , если   , если   FF11 TT BB11 PP MM AA11 OO FF NN11 XX22 AA MM11 BB XX33 решение решение DD11 RR LL EE11 SS NN CC11 QQ KK EE DD KK11 CC XX44 XX11

Сформулируем алгоритм построения сечений призм и пирамид  по трем точкам( пусть точки М, N, K): •Шаг 1. Строим проекции M 1 ,N1, K1 данных точек M, N, K на  плоскость основания (параллельно боковым ребрам в случае  призм и из вершины пирамиды как из центра проекции в случае  пирамид); эту плоскость называют основной.  •Шаг 2. Пересекая прямые, соединяющие данные точки  с их  проекциями, находим точки пересечения этих прямых с основной  плоскостью. Проходящая через них прямая есть след сечения на  основании. Чтобы ее провести, достаточно найти хотя бы две ее  точки.  •Шаг 3. Находим точки пересечения следа со сторонами основания  или их продолжениями. Используя эти точки и те из данных точек,  которые лежат на боковой поверхности многогранника,  последовательно находим вершины сечения на боковых ребрах,     а в случае призмы – и на сторонах второго основания.