Практическое задание на тему : Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Переход от одного основания к другому.

ПЗ № 14.1. Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Переход от одного основания к другому.

Задание:

1)Перепишите:                                                                           

1.Вычислим пример по формуле

2. Вычислим пример по формуле   

3. Вычислим пример по формуле  

4.Вычислим пример по формуле

5.Найдите значение выражения:

6. Найдите значение выражения:

7. Найдите значение выражения:  
8. Найдите значение выражения:

9. Найдите значение выражения:

10. Найдите значение выражения:

11. Найдите значение выражения:

12. Найдите значение выражения:

13. Найдите значение выражения:

14. Найдите значение выражения:   

15. Найдите значение выражения: .

16.  Найдите  , если  

2) Перепишите и заполните пропуски:

1) 2)   3)

4)  5)  6)   7)     

8)    9)     10)      

11)   12) 

13)

14)

15)   16)

17)  18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25) 26)  

27)

28)

30)

3)Решить задание :Найдите значение выражения:

ПЗ № 14.2. Вычисление и сравнение логарифмов. Логарифмирование и потенцирование выражений. Приближенные вычисления и решения прикладных задач.

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. log₃ 9 = 2, так как 3² = 9, log₅ 25 = 2, так как 5² = 25, log₃ 81 = 4, так как 3⁴ = 81,

 Ответ: 2,2,4.

Пример 2. Вычислите : а) log₂ 16, б) log₃ 3, в)  , г) , д) log₂ 2 log₃ 81, е) log₁₂ 2 + log₁₂ 72, ж) log₅ 75 – log₅ 3.
Решение: а) log₂ 16 = 4, б) log₃ 3 = …, в)   = 16, г) = = …,

 д) log₂ 2 log₃ 81= 1· 4 = …, е) log₁₂ 2 + log₁₂ 72 = log₁₂   (2 ·72) =  log₁₂ 144 = …,

ж) log₅ 75 – log₅ 3= log₅ (75:3) = log₅ 25 = …

Ответ: а) 4, б) 1, в) 16, г) 8, д) 4, е) 2, ж) 2.

Пример 3.  Найдите х, если log_x 36 = 2 и log₂ x = – 2.

Решение: log_x 36 = 2, х² = 36, х =                 log₂ x = - 2, х = 2 ^-2 = 1 / 4 =  …

Ответ: 0,25
Пример 4. Вычислите:  а) ,  б) , в) .

Решение: а)  =  –  log₂ 16=…,  б) = 5 · = 5 · 3 = … ,

в) =   = 17 = 1296 – 17 = …

Ответ: – 4, 15, 1279.

Пример 5. Упростите выражение :

а) ;

б)

;

в) ;

Ответ: 24, 7, 2.

2) Опорный конспект.

Вспомним основные приемы сравнения положительных чисел а и b.

1) Составить разность a-b и сравнить ее с нулем.

2) Составить частное a:b и сравнить его с единицей.

Свойства логарифмической функции или свойства логарифмов чисел применяются при сравнении логарифмов чисел:

Монотонность логарифмической фунции; Свойства: 0 <X₁ <X₂

log_a X₁ < log_a X₂, если  a >1

log_a X₁ > log_a X₂, если  0 < а < 1

Пример 1.  Сравнить   и  _,  

a = 15 >1,  > .

Пример 2.  Сравнить  и    _,  

знак меняется ,  <

Пример 3.  Сравнить   и   .

Решение:    

значит, значит,

Известными способами сравнить можно не все числа. Рассмотрим следующий пример. Основания разные, логарифмируемые числа разные. Также, как и при сравнении иррациональных чисел, применяется метод «оценки» или сравнение с каким-нибудь «хорошим» числом.

Пример 4. Сравнить   и .

, а, значит, .

Пример 5.  Сравнить    и     .

Основное логарифмическое тождество

   , 

Логарифм произведения — это сумма логарифмов

 ,     

Логарифм частного — это разность логарифмов

  , 

Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

Показатель степени логарифмируемого числа   

Показатель степени основания логарифма,

в частности если m = n, мы получаем формулу: ,

 например:

Переход к новому основанию, частности, если c = b, то , и тогда: .

Логарифмирование – это нахождение логарифмов заданных чисел или выражений.

                                                              b
Пример: Найдем логарифм  x = a² · — .
                                                              c

Решение.

Последовательно воспользуемся сразу всеми тремя основными свойствами логарифмов, которые изложены выше (логарифм произведения, логарифм частного и логарифм степени):
                      b
lg x = lg (a² · —) = lg a² + lg b – lg c = 2lg a + lg b – lg c.
                      c

Потенцирование – это нахождение чисел или выражений по данному логарифму числа (выражения).

Потенцировать – значит освобождаться от значков логарифмов в процессе решения логарифмического выражения.

Пример: Ответ:

Десятичный логарифм — логарифм с основанием 10, который обозначается как lg.

lg100=2log₁₀100=2, так как 10²=100 .

Натуральный логарифм — логарифм с основанием e, обозначается ln.

Задача       2

Задача       3

По данным газеты «Зори» от 12 апреля 2011 года из доклада П. Е. Шишкина население в городе Старый Оскол за один год увеличилось с 256100 человек до 257135 человек. Через сколько лет население этого города увеличится в 1,5 раза?
Решение.  Для решения этой задачи применим формулу сложных процентов: A=a(1+p/100)^x. Примем население города, которое было, за а=256100, тогда А=257135-это население, которое стало, х -неизвестно.     р=((257135256100)/257135)100≈0,4%

Сделав подстановку в формулу, получим     256100∙1,5=256100(1+0,4/100) ^x

Чтобы решить это показательное уравнение прологарифмируем его.

xlg 1,004=lg1,5, откуда x =lg 1,5 /lg1,004

Найдя по таблице lg1,5 и lg1,004 , получим     x=0,18/0,002≈90.

Ответ : примерно через 90 лет.

Задача       4

Высота над уровнем моря вычисляется по формуле h=(8000/0,4343)lg(p₀ /p),

где p₀ =760 мм рт.ст., р - давление на высоте h м.
Давление в городе Старый Оскол на 15 апреля 2011 года равно 738 мм рт. ст. Вычислим, на какой высоте находится наш город.

Решение. Найдем высоту, на которой находится наш город:
h=(8000/0,4343)lg(760/738) ≈235 м

Ответ: 235м.

Задача       5

В начальный момент времени было 8 бактерий. Через 2 часа после помещения бактерий в питательную среду, их число возросло до 100. Через сколько времени с момента размещения в питательную среду следует ожидать появления 500 бактерий?

Решение.

Для решения данной задачи, необходимо вспомнить понятия скорости и ускорения.

=>  конечное значение скорости распространения бактерий при первом изменении - 

=> конечное значение скорости распространения бактерий при втором изменении - .

Составим формулу для ускорения, учитывая, что начальная скорость  (т.е. было -8, стало -8):

 = 

 = 

Т.к. ускорение постоянно =>  =>

Перейдем к натуральному основанию логарифмов, для того, чтобы можно было воспользоваться табличными значениями:

Ответ: приблизительно 3часа 15 минут.

3)А)Решить задание  ( по примерам):

1.    Вычислите а)  log₃ 27, б) log₄ 1,в) log_1/2 4,

2.    Вычислите а) log₂ 32, б) log₃ 9, в)  , г) ,

            д) log₃ 3· log₂ 8, е) lg 5 + lg 2,  ж) log₃ 15 – log₃ 5.

3.    Найдите х, если log₂ 4 = x и  log₆ x = 2.

4.    Вычислить   а) б)  

в) .

5.    а)

 б)

 в)

г)   

д)

е)

Б)    1)log₉ 81 ;   2)     3) log₃ 1;    4) log₅  5  ;  5)

6)  7) log₂  log₃  9;  8) lg100;   9)  ₉^{2 log}9 ⁵ _;   10) log₆₄  8

Ответы: вставьте номер задания

В) 1.Сравнить   и  _,

2.  Сравнить  и      

3. Сравнить   и   .

4. Прологарифмируйте  по  основанию  10  (a > 0,b > 0),  x = a²b³.

5. Прологарифмируйте  по  основанию 3  (a > 0,b > 0),  x = 7a³b.

6.Найдите x, если

7. Найдите x, если .

С) Задания для практической работы:

1-2.

3-4.

5.Для обогрева помещения, температура в котором равна Т_п = 20⁰С, через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой  Т_в = 100⁰С. Расход проходящей через трубу воды m = 0,2 кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры Т⁰С, при чём

, где с = 4200Дж/кг*С — теплоемкость воды

 = 42 Вт/м ^{* 0}С— коэффициент теплообмена ,  a = 1,4 — постоянная.

До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 28 м?

4)Решить задание :

1. Вычислите  (по свойству степени):

1) ,   2) ,   3) ,   4) ,   5) ,  

6) ,   7) ,   8) ,9) ,   10) ,   11) ,  

12) ,   13) ,   14) ,   15) ,   16) .   

2. Вычислите (по основному лог. тождеству):

1)  ,   2) ,   3) ,   4) ,   5) ,  6) ;   7) ,  

8) ,   9) ,   10) ,   11) ,   12) ,   13) ,  

14) ,15) ,   16) ,   17) ,   18) , 19) , 20) .

3. Вычислите: а),б) , в) ,

г), д).

4. Упростите выражение : 

а) ;б) ,в);

5.Вычислить логарифмы: log₃81,ln e, lg1000, log₇343,ln7,29, lg0,001.

6.Вычислить логарифмы:  log₄32 + log₄2, log₅5², log₂(8 × 128), log₆54 + log₆4,  log₃108 – log₃4.

7.Вычислить логарифмы:

8.

9. Вычислите:  1) ; 2) ;  3) ; 4) ; 5) ;

6)  , 7) , 8) .

10. Выразите данный логарифм через натуральный и вычислите на микрокалькуляторе с точностью до 0,01   :    1) ; 2) .