Практическое занятие по началам анализа "Геометрический смысл производной" ( 11 класс)

ГУСЕВСКИЙ  АГРОПРОМЫШЛЕННЫЙ  КОЛЛЕДЖ ПЛАН ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ №15 по дисциплине: Математика Тема: «Геометрический смысл производной» Цели:  Дидактическая (образовательная) обобщить и закрепить определение углового  коэффициента прямой; определение угла между прямой и осью Ох; геометрический смысл  производной; уравнение касательной к графику функции. Воспитательная  и развивающая: развивать умения применять знания на практике,  способствовать развитию логического мышления, воли и самостоятельности, развитие умений учебного труда (умение работать в темпе); создавать условия для воспитания интереса к  изучаемой теме, воспитания мотивов учения, положительного отношения к знаниям,  воспитания дисциплинированности, обеспечивать условия успешной работы в коллективе.  развивать вычислительные навыки, устную и письменную математическую речь, а так же  внимание и личностные качества (целеустремленность, настойчивость); воспитывать чувство  ответственности за качество и результат выполняемой работы; формировать умение  осуществлять взаимоконтроль и самоконтроль. Тип занятия: закрепление изученного материала Вид занятия: практическое занятие Приобретаемые умения и навыки: Студент должен знать: определение углового  коэффициента прямой; определение угла между прямой и осью Ох; геометрический смысл  производной; уравнение касательной к графику функции. Студент должен уметь: применять теоретические знания на практике. Междисциплинарные связи: алгебра, геометрия Форма организации работы: индивидуальная Место проведения занятия: кабинет математики Наглядные пособия, оборудование занятия: инструкционные карты, тетради,  раздаточный материал, учебник «Алгебра и начала анализа»: учебник для 10­11 кл.  общеобразоват. учреждений  / [Ш.А.Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В.сидоров и др.]. – 15­е изд. – М. : Просвещение, 2007. – 384 с.  Ход занятия ОРГАНИЗАЦИОННАЯ ЧАСТЬ 1. Проверка теоретической подготовленности к занятию: Для любых двух точек  A(x0; f(x0))  и  B(x0+Δx; f(x0 + Δx))  графика функции y=f(x)  имеет место tg  α =  f(x0+Δx) −  f(x0)Δx,   где   α   ­  угол  наклона секущей  AB.  Таким  образом,  разностное отношение равно угловому коэффициенту (k) секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку  B, то Δx   неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Производная f (′ x0)  функции y = f(x)  в точке x0  равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции в этой точке. f (′ x0) = tg  α = k Уравнение касательной к графику дифференцируемой функции у = f′(x0)(x−x0) + f(x0) Примеры: 1 Найти угол наклона касательной к графику функции y = f (x) в точке х0, если  f '(х0)  = 1 Решение. Значение производной в точке касания х0 и есть значение тангенса угла наклона касательной  (геометрический смысл производной). Имеем: f '(х0) = tg  = 1    так как  tg45°=1. α  = 45°,  α  →  Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45°. 2 Написать уравнение касательной к графику функции y = 3x² − x, в точке x0=1. Решение. y' = 6x − 1                                        y'(1) = 6 −1= 5                                 y(1) = 3∙1² −1= 2                              y = f(x0) + f '(x0)(x − x0) y = 2 + 5(x−1) = 2 + 5x −5 y = 5x −3 ­ уравнение касательной Ответ: y = 5x −3 3 Написать уравнение касательной к графику функции y = sinx − 3x + 2, x0= 0. Решение. y' = cosx −3                                      y'(0) = cos0 −3 = 1− 3 = −2,            y'(0) = sin0 − 0 + 2 = 2 y = 2 −2(x −0) y = −2x + 2 ­ уравнение касательной Ответ: y = −2x + 2 2. Выдача студентам методических пособий, инструментов, оборудования и т.п. (инструкционные карты, справочные таблицы) ПРОВЕДЕНИЕ  ВВОДНЫХ  ИНСТРУКТАЖЕЙ по теме «Геометрический смысл производной, уравнение касательной» инструкции Карточка 1. Запишите уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой x0.  Определите тангенс угла наклона касательной. План решения. Уравнение касательной    y = f(x0)  + f  (΄ x0) (x – x0) 1 Найдите  f  (΄ x) 2 Вычислите  f  (΄ x0) 3 Подставьте значение х0 в формулу, задающую данную функцию, т.е. найдите  f(x0)   4 Значения    х0,  f  (΄ x0)  и  f(x0)  подставьте в уравнение касательной 5 Общий вид уравнения прямой (касательной)  y = kx + b,                 где   k = tg   = α f  (΄ x0)  6 Запишите ответ на второй вопрос. Карточка 2           В какой точке касательная к параболе    f(x)    параллельна оси  Ох?                                    Запишите  уравнение этой касательной.  План решения. 1 Найдите  f  (΄ x) 2 Вспомните, что угловой коэффициент искомой касательной, исходя из условия ее  параллельности оси Ох, равен 0 + f  (΄ x0) (x – x0) 5 Запишите ответ. 3 Вспомните, что угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой    х0   равен   f  (΄ x0) и найдите значение абсциссы  х0 точки касания, в которой касательная к  параболе  параллельна оси  Ох 4 Подсчитав значения  f  (΄ x0) и f(x0), подставьте их в  уравнение касательной  y = f(x0) САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ  РАБОТА  СТУДЕНТОВ 1 Выполните самостоятельно задания. Вариант 1   Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции  через точки с абсциссами х1, х2, х3, х4 (если касательная существует). Какой угол (острый или  тупой) образует эта касательная с осью абсцисс? В окрестности, каких точек графика  функция дифференцируема?  Пользуясь определением производной, найдите производную функции в точке х, если: а) f(х) = 4 –7х, б) f(х) =  . (3 балла)  Вариант 2 Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции через точки с абсциссами х1, х2, х3, х4 (если касательная существует). Какой угол (острый или тупой)  образует эта касательная с осью абсцисс? В окрестности, каких точек графика функция  дифференцируема?  2 Тест  1 Вариант 1.  1 Найдите производную функции  f(x) =х8­3х4­х+5.     А) 8х7­12х3­х+5;     Б) 8х7­12х3­х;         В) 8х7­12х3­1;             Г) 8х8­3х3       2. Найдите значение производной  функции  f(x) =  2 х−1  в точке х = ­ 1.     А) 0,5;    Б) ­0,5;      В)  1;          Г) ­1;       3. Составьте уравнение касательной к графику функции  f(x) =  2х2+1 3 х0 = ­ 3.     А)  у = 3х;      Б) у = ­3х;       В) у = 3х+2;        Г) у = ­11х+9; 2t+1      4. Точка движется прямолинейно по закону   х =  х3   в  точке   , где х – координата,   t­ время.  3 Чему равна скорость в момент времени  t=1?        А) 2;      Б)  1;      В)  1 3 ;      Г)  2 3 ; 1 3 х3−2х2   в  точке х0 =  3.   , где х – координата,   t­ время. Чему 1 3 ;  Г)  2 3 ;           Вариант 2.  1. Найдите производную функции  f(x) =х7­4х5+2х­1.     А) 7х7­20х5+2х;         Б) 7х6­20х4+2 ;        В) 8х7­12х3­1;          Г) 8х8­3х3 2. Найдите значение производной  функции  f(x) =  А)   0,5;        Б) ­0,5;     В) 1;         Г) ­1; 3. Составьте уравнение касательной к графику функции  f(x) =  2 1−х  в точке х = ­ 1.     А) у = 3х;  Б) у = ­3х;  В) у = 3х­1;  Г) у = ­9х+2; 4. Точка движется прямолинейно по закону   х =  t+2 3 равна скорость в момент времени  t=1?       А) 2;  Б)1;  В)  3 Выполни задания:   Оценивается А на «3»,  В на «4». A :                                                                                           1 2  xf   xf  ,  х  2 x  2 x 0 = ­1, ­?                                                                                              1 x  2 3 x  1 3   x 3    xg   xg  sin .0                                                  x  sin5,0 x B : 1 2 3                                                              xf   3  x 2 x                                                      x                                                       xf    2 x 2  1 21   xf   1 2  3 cos 2 2 x  3 4 Тест 2 1 Через точку графика функции у = ­ 0,5 х2 +4х + 7 с абсциссой х0 =2 проведена  касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс. ­1                2) 2               3) 6                  4) 17 2) Определите угол, который образует касательная, проведенная к графику функции  y = 4 x   с осью ОХ, в точке с абсциссой х0 = ­2. 1 450             2) 300            3)  600           4) 1350 3) Определите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции у(х)=4х2­8х+4  параллельна оси абсцисс. 1) ­8     2) 1    3) 0     4) 4 4) Определите угол, который образует касательная, проведенная к графику функции  у=2х2+4х­3 с осью ОХ, в точке с абсциссой  . 1) 450      2) 300    3) 600    4) 1350 х 0 3 4 5) На кривой у=х2­х+1 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой у=3х­1. 1) ­2     2) 1     3) 2     4) 3 6) Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у=­2х4+3х+5  в его точке с абсциссой  . х 0 1) 67   2) ­61     3) 19    4) 72 2 7 Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции       у = х6 — 2х5 + Зх4 + х2 + 4х + 5 в точке х0 = — 1. 8 Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = х5+ 2х4 + х3, + 12 в  точке х0 = 1. 9 5 Выбери правильный ответ. Задание Ответ Вариант 1 Найти угловой  коэффициент  касательной к  графику функции  f(x)=SinХ  в точке  Х= ­ П 4   xf x 5 Найдите   5 8  8 x 1f  Вариант 2 Найти угловой  коэффициент  касательной к графику функции f(x)=CosХ  в  точке  Х=  П 4   xf x 9 Найдите   1 ­  2 2 2 1 3 ­1 4 2 2 6  9 6 x 1f  ­80 80 108 ­108 Найти  угол между  касательной к графику функции  у= lnх  в точке х =­1 0 ­45 0 ­60 0 45 0 60 0 Найти  угол между  касательной к  графику функции  у=  в точке  х 5 1 5 =  3 х 0 ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ  ЧАСТЬ 1. Прием выполненных заданий 2. Оценка приобретенных умений и навыков 3. Подведение итогов проведенного занятия 4. Задание для самостоятельной работы студентов во внеурочное время 1. Выполните задание: Преподаватель ____________________________________