Практико-ориентированные задачи по теме "Неравенство треугольника" для 7 класса

Практико-ориентированные задачи по теме "Неравенство треугольника" для 7 класса

1.     Задача: Художник хочет нарисовать треугольник. Две стороны он уже нарисовал: одна длиной 6 см, другая 8 см. Может ли он нарисовать третью сторону длиной 15 см?

2.     Задача: Дизайнер создает узор из треугольников. Он хочет, чтобы один из треугольников имел стороны 3 см, 4 см и 8 см. Возможно ли это?

3.     Задача: Можно ли выложить паркет треугольной формы, используя треугольники со сторонами 10 см, 10 см и 25 см?

4.     Задача: В ювелирном изделии используется треугольный элемент. Две стороны треугольника равны 5 мм и 7 мм. Может ли третья сторона быть равной 1 мм?

5.     Задача: Можно ли сшить лоскутное одеяло, используя только треугольные лоскутки со сторонами 1 дм, 1 дм и 3 дм?

6.     Задача: Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

7.     Задача: Может ли сумма двух сторон треугольника быть равна третьей стороне? Что это означает?

8.     Задача: Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин больше полупериметра треугольника. (Подсказка: используйте неравенство треугольника несколько раз).

9.     Задача: Одна сторона треугольника равна 5 см, другая 8 см. Известно, что третья сторона - целое число сантиметров. Сколько различных треугольников можно построить с такими условиями?

10. Задача: Две стороны треугольника равны a и b. Докажите, что третья сторона c удовлетворяет условию |a - b| < c < a +b.

Решение:

1.     Решение: Нет. 6+8=14<15. Неравенство треугольника не выполняется.

2.     Решение: Нет. 3+4=7 < 8. Неравенство треугольника не выполняется.

3.     Решение: Нет. 10+10=20<25. Неравенство треугольника не выполняется. Треугольники не существуют.

4.     Решение: Нет. 5+1=6 < 7. Неравенство треугольника не выполняется.

5.     Решение: Нет. 1+1=2 < 3. Неравенство треугольника не выполняется.

6.     Решение: Это и есть формулировка неравенства треугольника.

7.     Решение: Нет. В этом случае треугольник вырождается в отрезок.

8.     Решение: Пусть O - точка внутри треугольника ABC. Тогда AO +BO > AB, BO +CO > BC, CO +AO > AC. Сложив эти неравенства, получим 2(AO +BO +CO) > AB +BC +AC = P, где P - периметр треугольника. Следовательно, AO +BO +CO > P/2.

9.     Решение: Третья сторона должна быть > 8 - 5 = 3 см и < 8 +5 = 13 см. Возможные значения: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Всего 9 различных треугольников.

10. Решение: Это обобщенная форма неравенства треугольника, полученная из условий a < b +c и b < a +c. Из первого неравенства: a - b < c. Из второго неравенства: b - a < c. Значит, |a - b| < c. и c < a +b по стандартному неравенству треугольника.

11.