Презентация-практикум по решению стереометрических задач для подготовки к ЕГЭ по математике (профиль). В практикум включены все типовые задачи на шар ( площадь сферы, объем шара, объемы многогранников вписанных в сферу и описанных около нее и т.д.). Решены 20 заданий и даны задачи для самостоятельного решения.
Практикум
по решению
стереометрических задач
Задача №1
Площадь большого круга шара равна 3.
Найдите площадь поверхности шара
Радиус большого круга является радиусом шара.
Площадь первого выражается через радиус
как Skp.=πR², а площадь поверхности
сферы – как Sш.= 4πR². Видно, что площадь
поверхности шара в 4 раза больше площади
поверхности большого круга. Значит
Sш.= 4∙3 = 12
Задача №2
Во сколько раз увеличится площадь
поверхности шара, если радиус шара
увеличить в 2 раза?
поверхности
его
через
шара
Площадь
радиус
выражается
формулой Sш.= 4πR², поэтому при
увеличении радиуса вдвое площадь
увеличится в 22 = 4 раза.
Задача №3
Во сколько раз увеличится объем шара,
если его радиус увеличить в три раза?
Т.к. объём шара вычисляется по формуле:
V = 4/3∙π∙r³, то
увеличении радиуса
при
объем шара увеличится в 27 раз.
втрое,
Задача №4
Объем одного шара в 27 раз больше объема
второго. Во сколько раз площадь поверхности
первого шара больше площади поверхности
второго?
Решение. 1) Объемы шаров соотносятся как
V1:V2= R1³: R2³= (R1/R2)³=27 =>
R1/R2 =3
2) Площади их поверхностей соотносятся как
S1:S2= R1²: R2²= (R1/R2)²=3²=9
Задача №5
Даны два шара. Диаметр первого шара в 8
раз больше диаметра второго. Во сколько
раз площадь поверхности первого шара
больше площади поверхности второго?
S1:S2= R1²: R2²= (R1/R2)²=(d1/d2)²=8²=64
Задача №6
Однородный шар диаметром 3 см имеет
массу 162 грамма. Чему равна масса шара,
изготовленного из того же материала, с
диаметром 2 см? Ответ дайте в граммах.
Масса шара прямо пропорциональна
его объёму. Объёмы шаров относятся
как кубы их радиусов:
V1:V2= R1³: R2³= (R1/R2)³=
(d1/d2)²=(2/3)³=8/27 = m1/m2
Следовательно, масса второго, меньшего шара равна
168∙(8/27)= 48 грамм.
Задача №7
Задача №7
Даны два шара с радиусами 8 и 4. Во сколько раз
площадь поверхности первого шара больше
площади поверхности второго?
Решение. Т.к. Площадь поверхности шара вычисляется
по формуле: S = 4π·r², то
1) Найдём площадь поверхности первого шара: 256π
2) Найдём площадь поверхности второго шара: 64π
3) Найдём отношение площадей: 256π : 64π = 4
Задача №8
Даны два шара с радиусами 2 и 1. Во сколько
раз объём первого шара больше объёма
второго?
Решение. Т.к. объём шара вычисляется по формуле:
V = 4/3·π·r³, то
1) Найдём объём первого шара: 4/3·8π
2) Найдём объём второго шара: 4/3·π
3) Найдём отношение объёмов: 4/3·8π : 4/3·π = 8
Задача №9
Шар, объём которого равен 6π, вписан в
куб. Найдите объём куба.
равно
двум
куба
Ребро
радиусам
вписанного в куб шара, поэтому объем куба,
выраженный через радиус вписанного в
него шара,
по формуле
Vk.=(2R)³= 8R³
Объём шара вычисляется по формуле
V= 4/3·πR³ и это равно 6π.
Значит 4/3∙πR³= 6π => R³=18π/4π =9/2.
Тогда Vk.= 8R³= 8∙(9/2)=36
находится
Задача №10
В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите
объем этого шара, деленный на π .
Радиус вписанного в куб шара равен
половине длины ребра:
R=a:2=3:2=1,5
V
R
4
3
3
4
3
3
2
3
27
8
4
3
5,4
9
2
Задача №11
Объем шара равен 288π. Найдите площадь
его поверхности, деленную на π .
Из формулы объёма шара V = 4/3∙π∙r³ выразим
радиус и вычислим его:
R
3
3
V
4
3
3
288
4
6
Тогда площадь поверхности шара будет равна
S = 4π∙r² = 4π∙36=144π
Задача №12
Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10.
Найдите радиус шара, объем которого
равен сумме их объемов.
Объёма шара V = 4/3∙π∙r³
Поэтому cумма объёмов трёх шаров
равна
4
4
3
6
3
3
4
3
10
4
3
8
3
)10
6(
3
3
3
3
8
3
3
4
3
3(2
4
3
Значит искомый радиус равен 12.
3
62
3
)5
4
3
4
3
3
12
3
Задача №13
Около куба с ребром √3 описан шар.
Найдите объем этого шара, деленный
на π .
Пусть длина ребра куба равна а, а его
диагональ равна d. Радиус описанного
шара R равен половине диагонали куба:
R
V
d
1
2
R
3
4
3
1
a
2
4
3
1
2
3
9
2
3
3
2
33
3
2
Ответ: 4,5
Задача №14
Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите
радиус шара, площадь поверхности
которого равна сумме площадей их
поверхностей. Из условия S3=S1+S2 и S = 4π∙r²
найдём
2
4
R
3
2
4
R
1
4
R
2
2
R
3
2
R
1
R
2
2
36
64
10
Задача №15
Вершина А куба ABCDA1B1C1D1 со стороной
1,6 является центром сферы, проходящей
через точку A1. Найдите площадь S части
сферы, содержащейся внутри куба. В ответе
запишите величину S/π .
Решение. Так как одна из вершин куба является
центром сферы с радиусом, меньшим либо
равным стороне куба, в кубе содержится 1/8
сферы и, соответственно, 1/8 ее поверхности,
2
6,1
равная
4
R
S
2
2
1
8
1
8
28,1
Задача №16
Середина ребра куба со стороной 1,9
является центром шара радиуса 0,95.
Найдите площадь S части поверхности
шара, лежащей внутри куба. В ответе
запишите S/π .
Решение.
Так как середина ребер куба является центром сферы,
диаметр которой равен ребру куба, в кубе содержится 1/4
сферы и, соответственно, 1/4 ее поверхности.
1
4
S
4
R
1
4
2
95,0
2
,0
9025
Задача №17
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса
равен радиусу шара. Объем конуса равен 6.
Найдите объем шара.
Soc
.
RR
2
h
Vk
.
6
1
3
Vш
.
R
4
3
1
3
3
24
Задача №18
Куб вписан в шар радиуса √3 .
Найдите объем куба.
куба
Диаметр шара, описанного вокруг куба,
совпадает с его диагональю и вдвое
больше радиуса. Поэтому диагональ куба
равна 2√3. Если ребро куба равно а, то
диагональ
по
формуле d=a√3. Следовательно, ребро
куба равно 2, а его объем равен 8.
вычисляется
для самостоятельного
для самостоятельного
Задачи
Задачи
решения
решения
Задача №1 Решите
Задача №1
Решите
самостоятельно
самостоятельно
Найдите площадь поверхности шара.
Ответ: 164
1) Площадь большого круга шара равна 41.
3) Площадь большого круга шара равна 26.
Найдите площадь поверхности шара
2) Площадь большого круга шара равна 10.
Найдите площадь поверхности шара
Задача №2 Решите
Задача №2
Решите
самостоятельно
самостоятельно
шара, если радиус шара увеличить в 45 раз?
1) Во сколько раз увеличится площадь поверхности
3) Во сколько раз увеличится площадь поверхности
шара, если радиус шара увеличить в 1,5 раза?
Ответ: 2025
2) Во сколько раз увеличится площадь поверхности
шара, если радиус шара увеличить в 16 раз?
Задача №3 Решите
Задача №3
Решите
самостоятельно
самостоятельно
если его радиус увеличить в 10 раз?
1) Во сколько раз увеличится объем шара,
2) Во сколько раз увеличится объем шара,
если его радиус увеличить в 4 раза?
3) Во сколько раз увеличится объем шара,
если его радиус увеличить в 15 раз?
Задача №4 Решите
Задача №4
Решите
самостоятельно
самостоятельно
1) Объем одного шара в 2197 раз больше объема
второго. Во сколько раз площадь поверхности
первого шара больше площади поверхности второго?
Ответ: 169
2) Объем одного шара в 1331 раз больше объема
второго. Во сколько раз площадь поверхности
первого шара больше площади поверхности второго?
3) Объем одного шара в 1000 раз больше объема
второго. Во сколько раз площадь поверхности
первого шара больше площади поверхности второго?
Задача №6 Решите
Задача №6
Решите
самостоятельно
самостоятельно
1) Однородный шар диаметром 3 см имеет
массу 81 грамма. Чему равна масса шара,
изготовленного из того же материала, с
диаметром 5 см? Ответ дайте в граммах.
Ответ:375
Задача №7 Решите
Задача №7
Решите
самостоятельно
самостоятельно
1) Даны два шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз
площадь поверхности первого шара больше площади
поверхности второго? Ответ: 25
2) Даны два шара с радиусами 3 и 1. Во сколько раз
площадь поверхности первого шара больше площади
поверхности второго? Ответ: 9
3) Даны два шара с радиусами 14 и 2. Во сколько раз
площадь поверхности первого шара больше площади
поверхности второго? Ответ: 49
Задача №8 Решите
Задача №8
Решите
самостоятельно
самостоятельно
сколько раз объём первого шара больше
объёма второго?
1) Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во
Ответ: 64
Задача №1010 Решите
Задача №
Решите
самостоятельно
самостоятельно
объем этого шара, деленный на π .
1) В куб с ребром 21 вписан шар. Найдите
2) В куб с ребром 9 вписан шар. Найдите
объем этого шара, деленный на π .
3) В куб с ребром 18 вписан шар. Найдите
объем этого шара, деленный на π .
Задача №1111 Решите
Задача №
Решите
самостоятельно
самостоятельно
площадь его поверхности, деленную на π .
1) Объем шара равен 18 432 π. Найдите
2) Объем шара равен 12 348π. Найдите
площадь его поверхности, деленную на π .
3) Объем шара равен 26.244π. Найдите
площадь его поверхности, деленную на π .
4) Объем шара равен 972π. Найдите площадь
его поверхности, деленную на π .
Задача №112 2 Решите
Задача №
Решите
самостоятельно
самостоятельно
1) Радиусы трех шаров равны 2, 12 и 16. Найдите
радиус шара, объем которого равен сумме их
объемов.
радиус шара, объем которого равен сумме их
объемов.
Ответ:18
2) Радиусы трех шаров равны 1, 6 и 8. Найдите радиус
шара, объем которого равен сумме их объемов.
3) Радиусы трех шаров равны 15, 20 и 25. Найдите
Задача №113 3 Решите
Задача №
Решите
самостоятельно
самостоятельно
Найдите объем этого шара, деленный на π .
Ответ:
1)Около куба с ребром √243 описан шар.
2)Около куба с ребром √300 описан шар.
Найдите объем этого шара, деленный на π .
3)Около куба с ребром √507 описан шар.
Найдите объем этого шара, деленный на π .
1) Радиусы двух шаров равны 21, 72. Найдите
Задача №114 4 Решите
Задача №
Решите
самостоятельно
самостоятельно
радиус шара, площадь поверхности которого
равна сумме площадей их поверхностей.
Ответ: 75
3) Радиусы двух шаров равны 32, 60. Найдите
радиус шара, площадь поверхности которого
равна сумме площадей их поверхностей.
2) Радиусы двух шаров равны 8, 15. Найдите
радиус шара, площадь поверхности которого
равна сумме площадей их поверхностей.
Задача №115 5 Решите
Задача №
Решите
самостоятельно
самостоятельно
1) Вершина А куба ABCDA1B1C1D1 со стороной 1,2
является центром сферы, проходящей через точку A1.
Найдите площадь S части сферы, содержащейся
внутри куба. В ответе запишите величину S/π .
2) Вершина А куба ABCDA1B1C1D1 со стороной 0,7
является центром сферы, проходящей через точку A1.
Найдите площадь S части сферы, содержащейся
внутри куба. В ответе запишите величину S/π .
3) Вершина А куба ABCDA1B1C1D1 со стороной 0,9
является центром сферы, проходящей через точку A1.
Найдите площадь S части сферы, содержащейся
внутри куба. В ответе запишите величину S/π .
Задача №116 6 Решите
Задача №
Решите
самостоятельно
самостоятельно
1) Середина ребра куба со стороной 1,8 является
центром шара радиуса 0,8. Найдите площадь
S части поверхности шара, лежащей внутри
куба. В ответе запишите S/π .
2) Середина ребра куба со стороной 2,4
является центром шара радиуса 1,2. Найдите
площадь S части поверхности шара, лежащей
внутри куба. В ответе запишите S/π .
Задача №177 Решите
Задача №1
Решите
самостоятельно
самостоятельно
конуса равен радиусу шара. Объем конуса
равен 27. Найдите объем шара.
1) Конус вписан в шар. Радиус основания
2) Конус вписан в шар. Радиус основания
конуса равен радиусу шара. Объем конуса
равен 45. Найдите объем шара.
3) Конус вписан в шар. Радиус основания
конуса равен радиусу шара. Объем конуса
равен 12√3. Найдите объем шара.
Задача №188 Решите
Задача №1
Решите
самостоятельно
самостоятельно
1)Куб вписан в шар радиуса 0,5√3 .
Найдите объем куба. Ответ:
1
Найдите объем куба.
объем куба.
Найдите объем куба.
2)Куб вписан в шар радиуса 10,5√3 .
3)Куб вписан в шар радиуса 8√3 . Найдите
4)Куб вписан в шар радиуса 15,5√3 .
Практикум №9 (с шаром).ppt
