Правильные многогранники

ГБОУ СО ЦППМСП “Ресурс”
педагог дополнительного образования Задумина Т.М.



Екатеринбург, 2022 г.

Цель работы: познакомить с видами правильных многогранников.

Задачи:
найти и отобрать нужную информацию;
познакомить с видами правильных многогранников;
познакомить с названиями правильных многогранников;
познакомить с историей изучения правильных многогранников.

Определение

Правильный многогранник или платоново тело - это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.
Многогранник называется правильным если:
он выпуклый;
все его грани являются равными правильными
многоугольниками;
в каждой его вершине сходится одинаковое
число рёбер.

Названия правильных многогранников

История

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.
В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

История

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику.
Земля сопоставлялась кубу,
воздух — октаэдру,
вода — икосаэдру,
огонь — тетраэдру.
Плато́н (др.-греч. Πλάτων, между 429 и 427 до н. э., Афины — 347 до н. э., там же) — древнегреческий философ, ученик Сократа, учитель Аристотеля

История

Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке.
Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников.

Евкли́д или Эвкли́д (др.-греч. Εὐκλείδης, от «добрая слава», время расцвета — около 300 года до н. э.) — древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике.

Комбинаторные свойства

Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением:
В + Г = Р + 2.

Леона́рд Э́йлер (нем. Leonhard Euler; 15 апреля 1707, Базель, Швейцария — 7 (18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя).
Швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук. Эйлер - автор более чем 850 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и другим областям.

Комбинаторные свойства

Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.
Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где:
p — число рёбер в каждой грани;
q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине
.
Людвиг Шлефли (нем. Ludwig Schläfli; 15 января 1814, Грасвиль, нынешний Зеберг — 20 марта 1895, Берн) — швейцарский математик, специалист в области многомерной геометрии и комплексного анализа.

Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:

Выводы:

В результате работы:
узнали про историю изучения правильных многогранников и их названий;
рассмотрели происхождение названий и некоторые свойства правильных многогранников;
познакомились с жизнедеятельностью ученых-математиков
.

Источники информации:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BD
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4
https://yandex.ru/search/?clid=2186620&text=%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%20%D0%BB%D0%B5%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B4&lr=54&redircnt=1522047434.1
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D0%BB%D0%B5%D1%84%D0%BB%D0%B8,_%D0%9B%D1%8E%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B3
https://yandex.ru/images/search?p=1&text=%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8&img_url=https%3A%2F%2Fcf.ppt-online.org%2Ffiles%2Fslide%2Fw%2Fw6VGqBrouMR2WPzcHpNf4dTaj9s50yAkYhFZ8X%2Fslide-2.jpg&pos=40&rpt=simage