Правильные многогранники, их применение в различных областях.

"Правильных многогранников вызывающе мало, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".Л. Кэрролл.

Многогранники.


Выполнила ученица 10 Б класса
Матерко Ксения

Содержание:

Введение.
Основные понятия.
Исторические сведения.
Многогранники вокруг нас.
Заключение.
Тест.

Введение.

Основные понятия.

Многогранник – это геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями.
Стороны граней – рёбра многогранника, а концы рёбер – вершины многогранника. По числу граней различают четырёхгранники, пятигранники и т. д.
Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости, каждой из его граней.

Правильные многогранники.Тела Платона.

Название «правильный» идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке. Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий ученый Платон.

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – одинаковые правильные  многоугольники, в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер, а соседние грани образуют равные углы.
Существует всего 5 действительно правильных многогранников.

Тетраэдр.

Наиболее простым правильным многогранником является треугольная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники. У тетраэдра 6 рёбер, 4 грани и 4 вершины.
( «тетра» означает 4)

Октаэдр

Многогранник, гранями которого являются 8 правильных треугольников – октаэдр. У него 12 рёбер, 8 граней и 6 вершин.
(«окта» означает
восемь)

Икосаэдр

Многогранник, состоящий из 20 правильных треугольников. У него 30 рёбер, 20 граней и 12 вершин.
(«икоса» -значит 20)

Теорема Эйлера.

Была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением:
В + Г = Р + 2.
Доказал это удивительное соотношение один из величайших математиков Леонард Эйлер (1707 – 1783), поэтому формула названа его именем: формула Эйлера. Этот гениальный учёный, родившийся в Швейцарии, почти всю жизнь прожил в России, и мы с полным основанием и гордостью можем считать его соотечественником.
Самое удивительное в этой формуле, что она верна не только для правильных многогранников, но и для всех многогранников!

Полуправильные многогранники Архимеда

Древнегреческий ученый Архимед обобщил понятие правильного многогранника и открыл новые математические объекты – полуправильные многогранники. ( Так он назвал многогранники, у которых все грани – правильные многоугольники более как одного рода, а все многогранные углы равны.
Только в наше время удалось доказать, что тринадцатью открытыми Архимедом полуправильными многогранниками исчерпывается все множество этих геометрических фигур.

Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют так называемые правильные звездчатые многогранники. Они получаются из правильных многогранников продолжением граней или ребер.

Первые два правильных звездчатых многогранника были открыты И. Кеплером, а два других почти 200 лет спустя Пуансо (французский математик). Именно поэтому их называют Телами Кеплера-Пуансо.

Кроме правильных звездчатых многогранников существуют звездчатые многогранники, полученные из полуправильных многогранников, которые не менее красивы, оригинальны и гармоничны. В настоящее время известны 51 вид таких многогранников.
Вот некоторые из них:

Исторические сведения.

Правильные многогранники с древних времен привлекали к себе внимание ученых, архитекторов, художников. Их поражала красота, гармония, совершенство этих многогранников.
Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.
В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками (начиная с VII до н.э.) Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Иоганн Кеплер

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками.
В книге «Тайна мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы . В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера — Пуансо).

Искусство и многогранники.Леонардо Да Винчи.

«Витрувианский человек» — рисунок из серии графических студий Леонардо да Винчи на тему пропорций и устройства человеческого тела, созданных на рубеже 1480–1490-х годов. Убежденный, что искусство должно опираться на научное знание, художник увлеченно постигал в этот период анатомию, а также зодчество — ведь он работал на правителя Милана Лодовико Сфорца не только как живописец, но и как инженер и архитектор. Штудировал бестселлер Ренессанса — «Десять книг об архитектуре» римлянина Витрувия, жившего в I веке до н. э.

Где в природе встречаются правильные многогранники?
Самая известная гексагональная архитектура создается пчелами, осами и шершнями.

Шесть молекул воды формируют ядро ​​каждого кристалла снега. Так получается снежинка. Грани глазка мухи образуют плотно упакованное шестиугольное расположение. Какие еще есть правильные многогранники в природе? Это кристаллы воды и алмаза, базальтовые колонны, эпителиальные клетки в глазу, некоторые растительные клетки и многое другое. Таким образом, многогранники, созданные природой, как живой, так и неживой, присутствуют в жизни человека в огромном количестве и многообразии.

Многогранники вокруг нас.

В архитектуре.
Архитектурные шедевры находятся в разных уголках земного шара и отражают особенности человеческой души. Тайные людские желания воплощаются в форме необыкновенных зданий.
Мавзолей в Галикарнасе (сегодня — Бодрум, Турция) — одно из Семи античных чудес света, которое просуществовало почти 19 столетий и было разрушено лишь в XV веке нашей эры. Представляет интерес в качестве образца древнегреческой архитектуры и объекта археологических исследований. На месте когда-то величественного мавзолея остался лишь фундамент и скромный музей под открытым небом.
Он представлял собой слегка вытянутый прямоугольник со сторонами 66 и 77,5 м, высота составляла 45-46 м.
Усыпальница в Галикарнасе четко разделена на несколько ярусов по высоте:
первый ярус — массивный фундамент из кирпича-сырца и высокий цоколь, облицованный мраморной плиткой;
второй ярус — храм с колоннадой по периметру, высота колонн составляла 11 м;
третий ярус — 24-ступенчатая пирамидальная крыша, которую венчала квадрига со скульптурами Мавсола и Артемисии.




Тест

В честь кого получили своё второе название правильные многогранники:
А) Архимед
Б) Платон
В) Леонардо Да Винчи

2. Сколько всего существует правильных многогранников:
А) 3
Б) 5
В) 7

3. В чью честь были названы полуправильные многогранники:
А) Кеплер
Б) Платон
В) Архимед
Г) Эйлер

4. Какое количество полуправильных многогранников существует:
А) 5
Б) 10
В) 13
Г) 51

5. Как называется правильный многогранник в виде пирамиды:
А) Икосаэдр
Б) Тетраэдр
В) Курносый куб
Г) Додекаэдр

6. Какое условие должно быть у многогранника, чтобы он был правильным:
А) Он должен быть выпуклым
Б) Он должен быть вогнутым
7. Перечислите названия правильных многогранников.

8. Какие три основных элемента существуют у любого правильного многогранника?

9. Какой формулой связаны три основных элемента правильного многоугольника?
А) В + Р = Г +2
Б) Г + Р = В +2
В) В + Г = Р +2
10. Кто вывел эту формулу?
А) Архимед
Б) Эйлер;
В) Кеплер
11. Сколько граней имеет гексаэдр и как мы его обычно называем в геометрии?
12. Какой правильный многогранник имеет наибольшее количество граней и сколько?
13. Какой правильный многогранник имеет наименьшее количество граней и сколько?
14. Кто впервые дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам?
А) Теэтет
Б) Пифагорв) Архимедг) Платон