Поделиться
предмет стереометрии.pptx
Предмет стереометрии
Аксиомы стереометрии
Стереометрия — раздел геометрии, изучающий фигуры в трёхмерном пространстве. (греч. stereos — твёрдый, metreo — измеряю)
Изучает:
Расположение точек, прямых, плоскостей
Тела: куб, шар, цилиндр, пирамида
Объёмы, площади, углы в пространстве
Основные понятия
Примеры фигур
Куб
Пирамида
Цилиндр
Конус
Шар
Назовите какие геометрические тела вам напоминают предметы, изображенные на этих рисунках:
Назовите предметы из окружающей вас обстановки ( нашей классной комнаты) напоминающие вам геометрические тела.
1. Изобразите в тетради куб (видимые линии – сплошной линией, невидимые – пунктиром).
2. Обозначьте вершины куба заглавными буквами АВСДА1В1С1Д1
3. Выделите цветным карандашом:
вершины А, С, В1, Д1
отрезки АВ, СД, В1С, Д1С
диагонали квадрата АА1В1В
Что такое аксиома?
Аксиома — истина, принимаемая без доказательства.
Лежит в основе всей геометрии.
В стереометрии — 3 основные аксиомы.
На их основе доказываются теоремы и решаются задачи.
Аксиома 1 (А₁)
«Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.»
Аксиома 2 (А₂)
Если две точки прямой лежат в плоскости, то ВСЕ точки прямой лежат в этой плоскости.
Прямая не может “частично” лежать в плоскости.
Аксиома 3 (А₃)
Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Плоскости не могут пересекаться в одной точке — только по прямой!
Аксиома 1 (А₁)
Примеры
🔹🔹 Стул на трёх ножках Трёхногий стул всегда устойчив на любой поверхности — потому что три его опорные точки (концы ножек) всегда лежат в одной плоскости (пола). → Почему? Потому что три точки (не на одной прямой) определяют плоскость — и стул "подстраивается" под неё.
Фотоштатив с тремя ножками Фотографический штатив устойчив на любой поверхности — неровной земле, склоне, песке — именно потому, что три точки опоры всегда задают одну плоскость. → Четырёхногий стол может шататься — потому что 4 точки могут не лежать в одной плоскости!
Палатка с тремя колышками Если вбить три колышка (не на одной линии), брезент натянется ровно — он ляжет на плоскость, заданную этими точками.
Три точки — минимальное и достаточное условие для задания плоскости. В жизни это обеспечивает устойчивость и предсказуемость.
Аксиома 2 (А₂)
🔹🔹 Линейка на столе Положите линейку на стол так, чтобы два её края (две точки) касались стола. Вся линейка ляжет плашмя — потому что если две точки прямой (линейки) лежат в плоскости (стола), то и вся прямая (линейка) лежит в ней.
🔹🔹 Дверь в дверном проёме Петли двери — это как две точки на прямой (оси вращения). Если обе петли закреплены в плоскости стены — то и вся ось двери лежит в этой плоскости → дверь открывается ровно в плоскости стены.
🔹🔹 Железнодорожные рельсы на мосту Если два участка рельса лежат на плоской поверхности моста — весь рельс будет лежать на ней (если он прямой!). Если рельс изогнут — он уже не прямая → аксиома не применяется.
Аксиома 3 (А₃)
🔹 Стена и пол в комнате Пол — одна плоскость, стена — другая. Они пересекаются не в одной точке, а по линии — плинтусу. Это и есть их линия пересечения — прямая.
Примеры из жизни:
Две страницы раскрытой книги Каждая страница — почти плоскость. Место их соприкосновения — корешок (линия переплёта). Это и есть общая прямая двух плоскостей.
Нож, разрезающий батон хлеба Лезвие ножа — часть плоскости, батон — тоже можно представить как часть другой плоскости (или тело, ограниченное плоскостями). Линия разреза — это прямая, по которой «пересеклись» плоскости.
Пересечение двух стен в углу комнаты Две стены — две плоскости. Их пересечение — вертикальный угол (прямая линия от пола до потолка).
Сколько общих точек имеют прямая и плоскость?
Прямая лежит в плоскости
а
М
Прямая пересекает плоскость
Следствия из аксиом
Через прямую и точку вне её — одна плоскость.
Через две пересекающиеся прямые — одна плоскость.
Зачем нужны аксиомы?
✅ Строгая логическая основа ✅ Позволяют доказывать теоремы ✅ Помогают решать задачи на взаимное расположение ✅ Без них — путаница в пространстве!
Для обозначение точек используем прописные латинские буквы
Для обозначение прямых используем строчные латинские буквы
Или обозначаем прямую двумя прописными латинскими буквами.
Взаимное расположение прямой и плоскости
Прямая лежит в плоскости
Прямая пересекает плоскость
Прямая не пересекает плоскость
Множество общих точек
Единственная общая точка
Нет общих точек
а
а
М
g
а
а
а ∩ = М
а ⊄
A
С
C
B
c
b
a
Пример задачи
При изучении пространственных фигур, в частности геометрических тел пользуются их плоскими изображениями на чертеже. Изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения.
Различные изображения конуса
Геометрические понятия:
Плоскость – грань
Прямая – ребро
Точка – вершина
вершина
грань
ребро
Стереометрия широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники.
При
проектировании
этой машины важно было получить такую форму, чтобы при движении сопротивление воздуха было минимально.
Оперный театр в Сиднее
Датский архитектор Йорн Утцон был вдохновлён видом парусов.
Эйфелева башня
Париж, Марсово поле
Инженер Гюстав Эйфель нашел необычную форму для своего проекта.
Эйфелева башня весьма устройчива: сильный ветер отклоняет ее вершину всего лишь на 10-12 см. В жару от неравномерного нагревания солнечными лучами она может отклониться на 18 см.
18000 железных деталей скрепляются 2500000 заклёпками
Теоретическое отклонение
вершины башни при
максимальных расчетных
скоростях ветра около
12 метров.
Оригинальная идея для строительства башни была найдена архитекторами
Л. Баталовым и Д. Бурдиным при участии конструктора
Н. Никитина. Внутри цилиндрических бетонных блоков натянуты металлические тросы. Такая конструкция необычайно устойчива.
Аксиомы стереометрии
Если теорему так и не смогли доказать, она становится аксиомой
Евклид
Аксиома
(от греч. axíõma – принятие положения)
- исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства -
Основные свойства точек, прямых и плоскостей выражены в аксиомах. Из множества аксиом мы сформулируем только три.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Иллюстрация к аксиоме А1: стеклянная пластинка плотно ляжет на три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой.
A
B
C
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине. Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка (четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
Для видеокамеры, фотосъемки и для других приборов часто используют штатив – треногу. Три ножки штатива устойчиво расположатся на любом полу в помещениях, на асфальте или прямо на газоне на улице, на песке на пляже или в траве в лесу. Три ножки штатива всегда найдут плоскость.
О
А
В
Построение прямых углов на местности с помощью
простейшего прибора,
который называется экер.
Треножник
с
экером.
a
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
B
Свойство, выраженное в аксиоме А2, используется для проверки «ровности» чертежной линейки. Линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный, то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет.
Из аксиомы А2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
a
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.
Наглядной иллюстрацией аксиомы А3
является пересечение двух смежных стен, стены
и потолка классной комнаты.
А1.
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Некоторые следствия из аксиом.
Теорема
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
М
a
Некоторые следствия из аксиом.
Теорема
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна
М
a
b
N
Тренировочные упражнения
Назовите плоскости, в которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
P
E
A
B
C
D
M
K
Тренировочные упражнения
Назовите
точки пересечения прямой DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью АDB.
P
E
A
B
C
D
M
K
Тренировочные упражнения
Назовите точки, лежащие в плоскостях АDB и DBC
P
E
A
B
C
D
M
K
Тренировочные упражнения
Назовите прямые по которым пересекаются плоскости
АВС и DCB
ABD и CDA
PDC и ABC
P
E
A
B
C
D
M
K
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
R
M
K
Q
Тренировочные упражнения
Назовите точки, лежащие в плоскостях DCC1 и BQC
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
R
M
K
Q
Тренировочные упражнения
Назовите плоскости, в которых лежит прямая АА1
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
R
M
K
Q
Тренировочные упражнения
Назовите точки, пересечения прямой МК с плоскостью АВD
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
R
M
K
Q
Тренировочные упражнения
Назовите точки, пересечения прямых DK и ВС с плоскостью А1В1С1
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
R
M
K
Q
Тренировочные упражнения
Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости АА1В1 и АСD
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
R
M
K
Q
Тренировочные упражнения
Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости PВ1C1 и ABC
K
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
R
M
Q
Тренировочные упражнения
Назовите точки пересечения прямых МК и DC,
В1С1 и ВР
С1М и DC
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
