Предметная олимпиада по математике 5 класс

Олимпиада по математике «Созвездие предметов»  5 класс апрель 2018 1. В Марсианском заповеднике живут драконы с тремя головами и четырьмя лапами и чучундры с пятью лапами и шестью головами. Алиса сосчитала, что всего у них 126 голов и 123 лапы. Сколько драконов и сколько чучундр живет в марсианском зоопарке? Ответ: 12 драконов и 15 чучундр Решение:  Заметим,   что   у   дракона   лап   на   1   больше,   чем   голов,   а   у   чучундры наоборот – голов на 1 больше, чем лап. Поскольку в результате голов на 3 больше, то   чучундр   на   3   больше,   чем   драконов.   Вычтем   3   чучундр   и   получим,   что   у остальных 108 голов и 108 лап. Так как в паре дракон­ чучундра 9 голов и 9 лап, то таких пар 12. 2. Ослику Иа­Иа на День Рождения подарили математический кубик, на каждой грани которого написано или «2», или «2×2», или «2×2×2». Иа бросил кубик на стол и подсчитал сумму значений  на всех видимых гранях, получилось 16. Когда   свой   ход   сделала   Сова,   получилась   сумма,   равная   20.   На   скольких гранях кубика написано 22? Ответ: на трёх.  Решение:  Как бы кубик не бросали, видимы всегда какие­то 5 граней из шести. Значит, в случае бросков Иа и Совы, 4 грани были одни и те же. Изменилась только одна грань (одна заменилась на другую). При этом сумма увеличилась на 4. Такое возможно только, если 4 (2х2) заменили на 8 (2х2х2). Значит при броске Иа была невидима   грань   2х2х2,   а   видима   одна   из   граней   2х2.   Рассмотрим   оставшиеся   4 грани. Сумма выражений на них равна 12. Это достигается только в случае 2 + 2 + 2х2 + 2х2. 3. Упорный Вася хочет   из клетчатой доски 8×8 вырезать 12 прямоугольников 1×2   так,   чтобы   из   оставшейся   части   доски   невозможно   было   вырезать прямоугольник   1×3.   (Резать   можно   только   по   линиям   сетки).   И   у   него   это получилось! Покажите на рисунке, как он мог это сделать. Решение: 4. На день рождения Карлсон получил коробку шоколадных конфет. Кристер съел меньше всех конфет, а Гунилла – больше всех. Малыш съел чётное число конфет,   в   3   раза   больше,   чем   Кристер   и   в   2   раза   меньше   Гуниллы.   Все остальные   конфеты   съел   Карлсон.   Могло   ли   в   коробке   быть   65   конфет? Ответ: не могло.  Решение: Пусть Кристер съел какую­то часть конфет, тогда Малыш съел в 3 раза больше, чем Кристер. То есть три таких части. Так как по условию Малыш съел чётное число конфет, то будем считать, что он съел 6х, тогда Кристер 2х, а Гунилла – 12х. Тогда все вместе они съели 20х конфет. А Карлсон съел все остальное, то есть 65 – 20х. При этом Карлсон должен был съесть меньше Гуниллы и больше Кристера. То есть меньше 20х и больше 2х:  2х < 65 – 20x < 12x.  Остальные случаи невозможны. Но и эти случаи не подходят, поскольку в первых двух Карлсон съел больше Гуниллы, а в последнем – меньше Кристера. 5. Маша и Катя играют в такую игру: по очереди обрывают лепестки у ромашки с 64 лепестками. Зад один ход разрешается сорвать любое нечетное количество лепестков, меньшее 16, причем запрещается повторять уже сделанные ходы. (Например, если Катя при своем ходе сорвет 3 лепестка, то в дальнейшем ни Маша, ни Катя сорвать 3 лепестка не имеют права.) Выигрывает тот, кто сорвет последний лепесток. Начинает Маша. Кто из них выиграет, как бы ни играл соперник? Ответ: выиграет Катя Решение:  По условию в игре есть ровно 8 разрешенных ходов: 1,3,5,7,9,11,13,15. Заметим, что 1+3+5+7+9+11+13+15=64. Поэтому, независимо от того, как сложится игра, она закончится тогда, когда будут сделаны по разу  все 8 разрешенных ходов.