Представление вещественных чисел

Представление вещественных чисел

Для представления вещественных чисел используется формат с пла- вающей точкой. Вещественные числа всегда рассматриваются как числа со знаком. Разрядная сетка имеет строго фиксированное число разрядов.

В основе формата лежит представление чисел в экспоненциальной (научной) форме. Число в этой форме записывается в виде мантиссы и порядка:

A = ± M·S ^{± P},

где M – мантисса,

S – основание системы счисления,

p – порядок.

Пример. A_[10] = 0.0225·10³ = 0.225·10² = 2.25·10¹ = 22.5·10⁰ =225·10^{- 1} = 22.5

В формате с плавающей точкой кодируется: мантисса, порядок, знак числа и знак порядка. На каждую из кодируемых компонент отводится строго фиксированное число разрядов. Основание системы счисления заранее оговаривается и не кодируется.

Фиксированная по длине мантисса позволяет закодировать ограни- ченное количество значащих цифр. Поэтому вещественные числа в об- щем случае хранятся и обрабатываются с определенной степенью точно- сти. Точность определяется способом кодировки мантиссы, а диапазон чисел – способом кодировки порядка.

Способ кодировки мантиссы и порядка в различных ЭВМ может быть разным. Отметим общие подходы при кодировании вещественных чисел.

Кодируемое число предварительно нормализуется. За счет сдвига мантиссы и изменения порядка добиваются выполнения условия

S^-1£|M|<1.                          ( 1)

В рассмотренном примере этому условию соответствует запись числа в виде A_[10] = 0.225·10².

В нормализованном числе целая часть мантиссы будет нулем, а стар- шая цифра дробной части будет отличной от нуля. Этот прием позволяет отказаться от хранения целой части и закодировать в мантиссе макси- мально возможное количество значащих цифр, то есть добиться макси- мальной точности. Мантисса записывается в прямом коде, причем знак мантиссы (он же знак числа) заносится в старший разряд. Знак положи- тельного числа кодируется как 0, а знак отрицательного – как 1.

Порядок кодируется в виде так называемой характеристики. Харак- теристика Z представляет собой смещенный порядок: Z = P + D. Вели- чина смещения D подбирается так, чтобы характеристика для минималь- ного порядка была равна нулю. Этот прием позволяет использовать в качестве характеристики число без знака и не кодировать специально знак порядка. Обобщенный вид формата с плавающей точкой показан на рисунке:

n-1                           0 m-1                                                        0

Типичные для персональных ЭВМ варианты формата с плавающей точкой приведены в таблице 3.

Таблица 3

Отличия в кодировании вещественных чисел для разных ЭВМ носят количественный и качественный характер. Отличия количественного ха- рактера проявляются в различной длине мантиссы и порядка, а качест- венные – в системе счисления, в которой выполняется нормализация и определение порядка. Чаще всего применяется шестнадцатеричная или двоичная нормализация.

Шестнадцатеричная нормализация. Число нормализуется по рассмот- ренному выше общему правилу (1), чтобы 16^-1£|M|<1. В этом случае старшая шестнадцатеричная цифра мантиссы отлична от нуля. Шестна- дцатеричная нормализация обычно используется в универсальных ЭВМ.

Рассмотрим типичный вариант формата.

Длина формата – 32 разряда. Длина мантиссы m=24.

Длина характеристики n=7.

Знак – 1 разряд.

Правила формирования характеристики: Z_[16] = 40_[16] + P_[16].

Пример: A_[10] = 5.5 Þ A_[16] =5.8·16⁰

Нормализуем А_[16] =0.58·16¹.

Получаем   Z_[16] = 40+1 = 41

M_[16] = 0.58

Знак = 0 (+)

Пример: A_[10] = -32.5 Þ A_[16] = -20.8·16⁰

Нормализуем А_[16] = - 0.208·16²

Получаем   Z_[16] = 40 +2 = 42

M_[16] =0.208

Знак = 1 (-)

Двоичная нормализация. Нормализация выполняется по правилу, не- сколько отличающемуся от общего: за счет сдвига мантиссы и изменения

порядка двоичного числа добиваются выполнения условия 1£|M|<2. В этом случае целая часть мантиссы будет содержать одну двоичную цифру, причем она будет равна единице. Обязательную единицу можно отбросить и в коде не хранить. Это позволяет использовать дополнительный разряд для хранения дробной части и тем самым увеличить точность представления числа. Двоичная нормализация обычно используется в мини и микро- ЭВМ. Рассмотрим типичный вариант формата.

Длина формата – 32 разряда. Число разрядов мантиссы m=23.

Число разрядов характеристики n=8.

Знак – 1 разряд.

Правила формирования характеристики: Z_[2] = 2⁷ – 1 + P_[2] или   Z_[10] = 127[10] + P[10].

Пример: A_[10] = 0.75 Þ A_[2] =0.11·2⁰

Нормализуем А_[2] =1.1·2^-1 и отбрасываем старшую единицу. Получаем   Z_[10] = 127-1 = 126

M_[2] = .10000000000000000000000

Знак = 0 (+)

3           F          4         0        0        0       0        0[16]

При одинаковых количественных характеристиках (длине мантиссы и длине характеристики) шестнадцатеричная нормализация позволяет получить больший диапазон чисел, но имеет меньшую точность.