Преобразование тригонометрических выражений

«Преобразования тригонометрических выражений»  (профильный уровень, 10 класс). В основу требований к знаниям и умениям  учащегося в результате освоения модуля  №1 положены требования государственного образовательного стандарта 2004 года  профильного уровня.  В данном модуле планируется к применению три объекта оценивания: 1. теоретический коллоквиум – максимальное количество баллов 5;  2. тест, состоящий из двадцати заданий с кратким ответом (типа В);  максимальное количество баллов – 5; 3. математическая мини – олимпиада – максимальное количество баллов 10. Вопросы к теоретическому коллоквиуму Определения: 1. синус, косинус, тангенс, котангенс через отношения сторон прямоугольного треугольника; 2. радианная мера угла; 3. тригонометрическая окружность; 4. свойства тригонометрической окружности; 5. синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла; 6. синус, косинус, тангенс, котангенс числа; Формулы: 1. связь радианной и градусной мер угла (2 формулы); 2. основные тригонометрические тождества (5 формул) 3. формулы приведения (24 формулы или 2 принципа: определение вида  функции с правой стороны формулы, определение знака правой части  формулы); 4. синус, косинус, тангенс суммы и разности двух углов (6 формул); 5. синус, косинус, тангенс двойного угла; 6. табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса; 7. синус, косинус, тангенс половинного угла; 8. произведение синусов; 9. произведение косинусов. Вывод формул: 1. связь радианной и градусной мер угла (2 формулы); 2. связь тригонометрических функций и координат точки на  тригонометрической окружности (2 формулы); 3. основные тригонометрические тождества (5 формул) 4. теорема сложения для косинуса, синуса, тангенса; 5. формулы двойного угла через формулы сложения для синуса, косинуса,  тангенса; 1 6. формулы понижения степени для синуса, косинуса, тангенса. Рисунки, графики: 1. рисунок тригонометрической окружности с изображением точки, ее  координат и угла прямоугольного треугольника, иллюстрирующий связь  тригонометрических и декартовых координат точки на окружности; 2. рисунок тригонометрической окружности, иллюстрирующий области  знакопостоянства синуса, косинуса, тангенса, котангенса. В каждой карточке теоретического коллоквиума должны быть следующие  задания:  5 определений (по 0,2 балла за каждое правильное);  5 формул (по 0,2 балла за каждую правильную);  выводы двух формул (по 1 баллу за каждый исчерпывающий);  1 рисунок (1 балл). Критерии оценивания заданий теоретического коллоквиума №  задания 1 2 3 4 Количество  баллов 0,2 0 0,2 0 1 0,6 0,2 0 1 0 Степень выполнения задания теоретического коллоквиума Определение приведено полностью и не содержит ошибок Определение содержит ошибки или приведено не полностью Формула приведена полностью и не содержит ошибок Формула содержит ошибки или приведена не полностью Вывод формулы верный, содержит все существенные  логические звенья Вывод формулы в целом верный, отсутствует одно  существенное логическое звено В выводе формулы приведено только основание Все прочие случаи Приведены все существенные элементы рисунка  Все прочие случаи Пример карточки теоретического коллоквиума по модулю «Преобразования  тригонометрических выражений»  1. Приведите определение: а) косинуса произвольного угла; б) тригонометрической окружности; в) радианной меры угла; г) котангенса через соотношения сторон прямоугольного треугольника; д) синуса числа. 2. Запишите формулы 2 е) приведения  ;  сos  (  ) 2  ж) косинуса суммы; з) тангенса двойного угла; и) понижения степени для синуса; к) преобразования произведения синусов в сумму. 3. Приведите вывод: л) формулы связи радианной и градусной мер угла; м) теоремы сложения для косинуса. 4. Сделайте рисунок тригонометрической окружности, иллюстрирующий области  знакопостоянства тангенса. Теоретический коллоквиум проводится письменно; продолжительность ­  45  минут. Тест в формате ЕГЭ, составленный из заданий первой части КИМов ЕГЭ,  соответствующих тематике модуля «Преобразования тригонометрических  выражений».  По плану работы ЕГЭ 2014 года по математике требования к выпускникам ОУ и  элементы содержания, касающиеся тригонометрии, проверяются в заданиях В7  (тригонометрические уравнения) и В8 (основы тригонометрии, метрические  соотношения в треугольнике) первой части работы и в заданиях В11 (преобразования  тригонометрических выражений) и В12 (тригонометрические уравнения, задачи с  физической формулировкой) второй части работы.   В тест по тематике модуля «Преобразования тригонометрических выражений»  включены задания, соответствующие заданиям В8 и В11 плана ЕГЭ 2014 года, всего 10 заданий. За правильное выполнение каждого задания теста можно получить 0,5 балла  (всего за весь правильно выполненный тест 5 баллов).  Пример теста по модулю «Преобразования тригонометрических выражений» В1. В треугольнике ABC угол С равен 90º, СН – высота, ВС=5, ВН=√21. Найдите  косинус угла А.  В2. В треугольнике ABC угол С равен 90º, косинус угла А равен 0,8, АС=6, СН ­  высота. Найдите отрезок ВН.  В3. В треугольнике ABC угол C равен 90º, СН – высота, АН=9,  . Найдите   2tgA 3 отрезок ВН.  В4. В треугольнике ABC угол C равен 90º, АВ=25,  . Найдите сторону АС. 4tgA 3 3 В5. В треугольнике ABC  AB  BC  ,44 cos B  7,0 . АН – высота. Найдите отрезок СН.  В6. Найдите  tg 232  x , если  .  cos2 x 6,0 В7. Найдите  , если  tgx  x )2;( ,5 .  2 cos x 13 В8. Найдите  100 sin(   5 ) 4 cos(   11 ) 4 .  В9. Найдите  2 sin cos  35  100 . cos cos 2  145  350 В10. Найдите  , если  x2sin .  sin5 sin6 x x   6 10 cos x x cos  tgx Время выполнения теста – 1 академический час.  Номера В1­В5 соответствуют пункту В8 плана ЕГЭ по математике 2014 года, В6­В10  соответствуют пункту В11.  Задания В1­В5 являются продуктивными, так как требуют умения применять знания  по тригонометрии в иной области (геометрии). Математическая мини ­ олимпиада, составленная из заданий, соответствующих  тематике модуля «Преобразования тригонометрических выражений» Цель мини­олимпиады оценить сформированность универсальных учебных действий  учащихся: • умение анализировать суть проблемы,  • умение строить логические умозаключения,  • умение находить причинно­следственные связи,  • умение доказывать свою точку зрения и другие УУД. Мини­олимпиаду по модулю «Преобразования тригонометрических выражений»  необходимо проводить в 2 тура. На первом туре задания несложные, максимальное  количество баллов за первый тур – 2 балла, что составляет 20 % от максимального  количества баллов за мини – олимпиаду. Во второй тур проходят только те учащиеся,  которые решили все задания 1 тура верно и набрали максимальное количество баллов, то есть 2 балла, за 1 тур. Задания 2 тура являются олимпиадными, баллы за каждое  задание зависят от уровня сложности, в сумме количество баллов за второй тур мини  – олимпиады  ­ 8 баллов, что составляет 80 % от максимума за мини – олимпиаду.  Таким образом, каждый учащийся получает за мини­олимпиаду балл в соответствии с  количеством и уровнем сложности решенных задач. 4 Пример мини ­ олимпиады по модулю «Преобразования тригонометрических  выражений» Задания для 1 тура: 1. 2. 3. Косинус угла ромба равен   23 25 . Найти синус и косинус углов,  образуемых диагоналями ромба с его сторонами. Доказать тождество  2 sin x  sin 2 y  sin2 x sin y cos( x  y ) sin . 2 ( x  y ) Вычислить значение выражения  M  sin 2 x  sin x cos x , если известно, что . 3ctgx 4 4. Преобразовать сумму числителя и знаменателя в произведение .  21  21 сosx x cos   cos 2 x cos 2 x Задания для 2 тура: 1. 2. 3. Всем старшеклассникам известны значения тригонометрических функций некоторых углов, например  и так далее. В 19 sin 30  , cos 45  sin 45  1 2 2 2 веке было доказано, что значения тригонометрических функций можно  выразить с помощью радикалов далеко не всегда. Например, невозможно  выразить  . Невозможно выразить и косинусы этих углов.   2sin,1sin  Однако для некоторых углов, это все­таки возможно. Найдите значение  тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс) для угла 22,5º. Вычислите  cos 20  cos 40  ... cos 160  cos 180  . Упростите  (sin3 4 x  4 cos x  (sin2) 6 x  6 cos x ) . 5 4. Представьте  sin x5  в виде многочлена первой степени от  тригонометрических функций углов, кратных  x . Критерии оценивания заданий мини – олимпиады 1, 2 тура №  задания/ тур 1/1 2/1 3/1 4/1 1/2 2/2 3/2 4/2 Количество  баллов Степень выполнения задания математической мини ­  олимпиады 0,5 0 0,5 0 0,5 0 0,5 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 Решение приведено полностью и не содержит ошибок Все прочие случаи Тождество доказано полностью и не содержит ошибок Все прочие случаи Решение приведено полностью и не содержит ошибок Все прочие случаи Преобразование полное и не содержит ошибок Все прочие случаи Решение приведено полностью, не содержит ошибок Ход решения верный, отсутствует одно существенное  логическое звено или допущена вычислительная ошибка Все прочие случаи Решение приведено полностью, не содержит ошибок Ход решения верный, но не достаточно пояснений или  допущена вычислительная ошибка Все прочие случаи Решение приведено полностью, не содержит ошибок Ход решения верный, но не достаточно пояснений. Все прочие случаи Решение приведено полностью, не содержит ошибок Ход решения верный, но не достаточно пояснений. Все прочие случаи 6