Презентации на тему: "Геометрия (повторение)"

Подготовка к ОГЭ ПОВТОРЕНИЕ

геометрические задачи  геометрические задачи                      на доказательство на доказательство

Докажите, что биссектрисы Докажите, что биссектрисы смежных углов смежных углов перпендикулярны перпендикулярны 2 4 1 3 Доказательство. Доказательство. ‹1+ ‹2 + ‹3 + ‹4=180º т.к. ‹1=‹2, а ‹3=‹4, то 2(‹2)+2(‹4)=180º 2(‹2+‹4)=180º ‹2+‹4 = 90º Значит биссектрисы :2 перпендикулярны.

точки E, F, KE, F, K и В параллелограмме АВСDАВСD точки В параллелограмме лежат на его сторонах, как показано на лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM АЕ = CK, BF = DM. . рисунке, причём Докажите, что EFKMEFKM — параллелограмм. — параллелограмм. Докажите, что и ММ то BЕ = KD, CF = AM. В параллелограмме противоположные углы равны, то треугольники EBF и KDM, FCK и MAE равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что EF=MK, EM=FK. Так как противоположные стороны четырехугольника EFKM равны, то по признаку параллелограмма данный четырехугольник является параллелограммом. Доказательство :  Доказательство :  Так как в  параллелограмме  противоположные  стороны равны и по  условию известно, что  АЕ = CK, BF = DM,

Докажите, что медиана, Докажите, что медиана, проведенная к основанию проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равнобедренного треугольника, является биссектрисой угла, является биссектрисой угла, противолежащего основанию. противолежащего основанию. Доказательство: Доказательство: ∆АВК=∆СВК по двум сторонам и углу между ними. Значит ‹3=‹4, т.к. лежат в равных треугольниках против равных сторон т.е. ВК является биссектрисой. 34 С 1 А В 2 К

В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны. Доказательство : 2) AO = BO = CO = DO как радиусы окружности, 3) ‹AOB = ‹COD - по условию. Следовательно, высоты OK и OL равны как соответственные элементы равных треугольников. 1) ∆ АОВ = ∆ СОD по двум сторонам и углу между ними

Докажите, что медианы, Докажите, что медианы, проведенные к боковым сторонам проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равнобедренного треугольника, равны. равны. ВВ Доказательство. Доказательство. ∆ ∆ АВЕ = ∆ СВК АВЕ = ∆ СВК по двум сторонам и углу между по двум сторонам и углу между ними. ними. Значит АЕ = СК Значит АЕ = СК как стороны как стороны лежащие в равных лежащие в равных треугольниках против равных треугольниках против равных углов углов КК ЕЕ АА СС

Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат. Таким образом, угол 8- Если вершины миугольника равен 135º последовательно соединить отрезками через одну, то образуются четыре равных равнобедренных треугольника, углы при основании которых равны: (180º-135º) :2 = 22,5º. Тогда угол между двумя отрезками, которые соединяют вершины равен: 135º-22,5º·2=135º-45º= 90º. Таким образом, если вершины восьмиугольника последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат. Решение: Решение: Вычислим угол  восьмиугольника по  )2 формуле:  180  n ( n

Докажите, что длина отрезка, Докажите, что длина отрезка, соединяющего середины двух соединяющего середины двух сторон треугольника, равна сторон треугольника, равна половине длины третьей стороны. половине длины третьей стороны. 2) ∆ ВМN ~ ∆ ВАС, по второму признаку подобия, т.е. ‹В – общий и ВМ:ВА= = ВN:ВС=1:2 Значит к = ½(коэффициент 3) Из подобия треугольников следует, что ‹1=‹2 и МN:АС=1/2. Значит МN=1/2 АС подобия) В 1 M N 2 А С Доказательство. Доказательство. 1) MN – средняя линия (по условию задачи)

Докажите, что если две хорды АВ и Докажите, что если две хорды АВ и ССDD пересекаются в т.Е, то пересекаются в т.Е, то произведение длин отрезков одной произведение длин отрезков одной хорды равно произведению хорды равно произведению отрезков другой хорды: АЕ··ЕВ = ЕВ = отрезков другой хорды: АЕ СЕСЕ··ЕЕDD Доказательство. Доказательство. СС В треугольниках АDЕ и СВЕ: 22 а) ‹1 = ‹2 (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВD) ЕЕ ВВ АА 11 3 б) ‹3=‹4 (как вертикальные) Т.е. ∆АDЕ~∆СВЕ(по двум углам) Значит: АЕ:СЕ=DЕ:ВЕ, или АЕАЕ··ЕВ = СЕ DD ЕВ = СЕ··ЕЕDD 4 ОО

В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний. Доказательство: т.к. точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно, то: MN- средняя линия и равна ½ АС МК - средняя линия и равна ½ ВС NK- средняя линия и равна ½ АВ, но т.к. ∆АВС – равносторонний, то и ∆MNK — равносторонний.

Докажите, что диаметр, Докажите, что диаметр, проходящий через середину проходящий через середину хорды окружности, хорды окружности, перпендикулярен ей. перпендикулярен ей. Доказательство. Доказательство. по чертежу видно, что ∆АВС и ∆АВК – прямоугольные, т.к. ‹АСВ и ‹АКВ – вписанные и опираются на половину окружности и значит равны 90º. А 1 2 ‹1=‹2 как вписанные и опирающиеся на равные дуги. Тогда ∆АВС = ∆АВК (по гипотенузе и острому углу) и значит АС=АК . Тогда ∆АСК – равнобедренный и АВ его медиана, а значит и высота, т.е. АВ перпендикулярен СК С К В О

Докажите, что отрезки Докажите, что отрезки касательных, проведенных к касательных, проведенных к окружности из одной точки, окружности из одной точки, равны. равны. Доказательство: Т.к. АС и СВ касательные, то ОА┴АС и ОВ┴ВС. Тогда ∆ОАС=∆ОВС по гипотенузе ОС(общая) и катету (ОА=ОВ как радиусы одной окружности) Значит АС=ВС, т.к. в равных треугольниках А против равных углов лежат и равные стороны О В С

Докажите что, градусная мера Докажите что, градусная мера вписанного угла равна половине вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он градусной меры дуги, на которую он опирается опирается Доказательство: Проведём диаметр ВК. Тогда ‹1 будет внешним углом ∆АОВ и ‹1= ‹2+‹3, но ‹2= ‹3 как углы при основании равнобедренного ∆АОВ Т.е. ‹1=2·‹3 => ‹3=½·‹1, но т.к. ‹1- центральный, то ‹1=ںАК; ‹3=½·ںАК А Аналогично: ‹6=½·ںСК Значит ‹3+‹6 =½·ںАК+½·ںСК= О 4 К 3 6 С 2 1 5 В ½·(ںАК+ںСК)= = ½·ں АС, т.е вписанный угол АВС= ½·ں АС

Докажите, что если около Докажите, что если около трапеции можно описать трапеции можно описать окружность, то трапеция окружность, то трапеция равнобедренная равнобедренная Доказательство: Т.к. дана трапеция, то ‹1+‹2=180º (односторонние углы) Т.к. около трапеции можно описать окружность, то ‹1+‹3 =‹2+‹4 =180º,т.е. ‹1= 180º- ‹3. Подставим это в первое выражение ‹1+‹2=180º и получим: (180º-‹3) +‹2=180º => ‹2-‹3 =180º- 180º=0, т.е. ‹2=‹3. Тогда и ‹1=‹4, т.е. трапеция равнобедренная 2 3 1 О 4

Докажите, что если две окружности Докажите, что если две окружности имеют общую хорду, то прямая, имеют общую хорду, то прямая, проходящая через центры этих проходящая через центры этих окружностей, перпендикулярна данной окружностей, перпендикулярна данной хорде.Доказательство: хорде. ∆О1АО2=∆О1ВО2 по трем сторонам А К 1 2 О1 О2 В (О1О2 – общая; О1А=О1В как радиусы одной окружности О1; О2А=О2В как радиусы окружностьО2). Значит ‹1=‹2. Тогда биссектриса О1К в равнобедренном треугольнике О1АВ является и высотой, т.е. ОО11ОО22 АВ┴ АВ┴

Докажите, что если биссектриса Докажите, что если биссектриса пересекает основание трапеции, то от пересекает основание трапеции, то от трапеции отсекается равнобедренный трапеции отсекается равнобедренный треугольник треугольник Доказательство: Если АК-биссектриса, то ‹1=‹2, но т.к. АВСD-трапеция, то К С 3 В 2 1 ‹1=‹3 как внутренние накрест лежащие. Значит ‹2=‹3 и тогда ∆АВК-равнобедренный А D

Биссектрисы всех внутренних углов Биссектрисы всех внутренних углов параллелограмма попарно пересекаются. параллелограмма попарно пересекаются. Докажите, что полученный Докажите, что полученный четырехугольник является четырехугольник является прямоугольником. прямоугольником. Доказательство: Т.к. АКАК- биссектриса, то она отсекает от параллелограмма М К В С Т.к. ВОВО – биссектриса, то ВР равнобедренный треугольник АВК, т.е. АВ=ВК. биссектриса в равнобедренном ∆КАВ, опущенная на основание, значит является и высотой, т.е. А ‹1- прямой => и ‹2- прямой. Аналогично (док-те сами) можно доказать, что ‹3 = 90º => ‹4=90º Значит в четырёхугольнике: ‹2+‹4=180º и два оставшихся равных угла тоже остаётся 180º т.е все углы - прямые прямоугольник. прямоугольник. Тогда четырёхугольник – Тогда четырёхугольник – 1 Р 2 4 R 3 Н О D