Презентации на тему: "Разложение на множители"( 7класс)

УЧЕБНАЯ ПРЕЗЕНТАЦИЯ К УРОКУ АЛГЕБРЫ В 7 КЛАССЕ

 Разложить многочлен на множители значит представить его в виде произведения более простых многочленов.  Существует несколько способов(приемов) разложения на множители, вспомним их.

 Алгоритм отыскания общего множителя для нескольких одночленов.  1. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, он и будет общим числовым множителем (в случае целочисленных коэффициентов)  2.Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена и выбрать из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.  3.Произведение коэффициента, найденного на 1 шаге и переменных на 2, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

1.В выражении 14х+6у-12ху-2у а)назвать коэффициенты б)выбрать наибольший общий делитель . 2. а) назвать переменные и их меньшую степень б) выбрать общие переменные для всех членов данного многочлена. 3.Разложить на множители: а) 2x6a-4a4x б) x4y+2x2a2y-x2a4y в) x2y3+2xy2-5xy г) 32n2+16n+8nk

Воспользуемся сформулированным алгоритмом. 1.Наибольший общий делитель коэффициентов –1, -2 и 5 равен 1(в данном случае удобнее вынести за скобки -1). 2.Переменная x входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки x2. 3.Переменная y входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки. Вывод: за скобки можно вынести -x2. Получим: -x4y3-2x3y2+5x2=-x2(x2y3+2xy2-5).

 Алгоритм применения данного способа.  1.Многочлен разбиваем на группы с одинаковым количеством слагаемых.  2.В каждой группе находим её общей множитель и выносим его за скобки.  3.Рассмотрим полученный результат -если в каждой группе образовался множитель общий для всех групп, то группировка удачна и этот множитель выносим за скобки -если нет, то повторяем попытку

Многочлен n2+2n+n+2 а) разбить на группы удобные для последующего разложения на множители б) найти общий множитель для каждой из групп в) определить, как выглядит получившийся общий множитель каждого слагаемого г)разложить на множители многочлен.

Первый способ группировки: Группировка неудачна. Второй способ группировки: xy-6+3x-2y=(xy-6)+(3x-2y). xy-6+3x-2y=(xy+3x)+(-6-2y)= =x(y+3)-2(y+3)=(y+3)(x-2). Ответ: xy-6+3x-2y=(x-2)(y+3). Как видите, не всегда с первого раза группировка оказывается удачной. По мере приобретения опыта, вы будете быстро находить удачную группировку (опираться следует на наличие общего множителя в группе). Третий способ группировки: xy-6+3x-2y=(xy-2y)+(-6+3x)=y(x-2)+3(x-2)= =(x-2)(y+3).

a2-b2=(a-b)(a+b); a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2); a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2. Первую из этих формул можно применять к выражению, представляющему собой разность квадратов (безразлично чего – чисел, одночленов, многочленов), вторую и третью – к выражению, представляющему собой разность (или сумму) кубов; последние две формулы применяются к трехчлену, представляющему собой полный квадрат, т.е. содержащему сумму квадратов двух выражений и + или - удвоенное произведение тех же выражений.

1.Прочитать следующие выражения: а) (7y)3-(8x)3 б) (5x)2-(6y)2 в) (13a-4b)2 г) (9a+5b)2 2.Какой из известных вам формул сокращенного умножения следует воспользоваться при разложении на множители следующих многочленов: а) 27y3-8x3 б) x4-16y2 в) a2-4ab+4b2 г) 9a2+6ab+b2

1) x6-4a4. Воспользуемся первой формулой (разность квадратов): x6-4a4=(x3)2-(2a2)2=(x3-2a2)(x3+2a2). 2) a6+27b3. Воспользуемся третьей формулой (сумма кубов): a6+27b3=(a2)3+(3b)3=(a2+3b)((a2)2-a2·3b+(3b)2)= =(a2+3b)(a4-3a2b+9b4). 3) a2-4ab+4b2. В этом примере дан трехчлен, для его разложения на множители будем пользоваться пятой формулой, если, конечно, убедимся в том, что трехчлен является полным квадратом: a2-4ab+4b2=a2-2·a·2b+(2b)2=(a-2b)2. Мы убедились, что трехчлен содержит сумму квадратов одночленов a и 2b, а также удвоенное произведение этих одночленов. Значит, это полный квадрат, причем квадрат разности.

 В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим.

1) Сначала займемся вынесением общего множителя за скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4, причем это – наибольший общий делитель, вынесем его за скобки. Во все члены многочлена входит переменная a (соответственно a6, a4, a2), поэтому за скобки можно вынести a2. Точно так же во все члены многочлена входит переменная b (соответственно b3, b4, b5) – за скобки можно вынести b3. = =4a2b3(3a2-4b)2. Итак, за скобки вынесем 4a2b3. Тогда получим: 36a6b3-96a4b4+64a2b5=4a2b3(9a4-24a2b+16b2). 2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a4-24a2b+16b2. Выясним, не является ли он полным квадратом. Имеем: 9a4-24a2b+16b2=(3a2)2+(4b)2-2·3a2·4b. Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно, 3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат: 36a6b3-96a4b4+64a2b5 =4a2b3(9a4-24a2b+16b2 ) 9a4-24a2b+16b2=(3a2-4b)2.

x4+x2a2+a4=x4+2x2a2-x2a2+a4= =(x4+2x2a2+a4)-x2a2=(x2+a2)2-(xa)2  2.Используем формулу разности квадратов: (x2+a2)2-(xa)2=(x2+a2 –xa)(x2+a2 +xa).  3.Окончательный результат 1.Применим метод полного квадрата. Для этого представим x2a2 в виде 2x2a2-x2a2. Получим: выделения x4+x2a2+a4=(x4+2x2a2+a4)-x2a2= =(x2+a2)2-(xa)2 = =(x2+a2 –xa)(x2+a2 +xa).

1.Сначала воспользуемся тем, что n можно вынести за скобки: n(n2+3n+2). 2.Теперь к трехчлену n2+3n+2 применим способ группировки, предварительно представив 3n в виде 2n+n. Получим: n2+3n+2=n2+2n+n+2=(n2+2n)+(n+2)= 3.Окончательный результат: n3+3n2+2n= =n(n+2)+(n+2)=(n+2)(n+1). =n(n2+3n+2)=n(n2+2n+n+2)= = n((n2+2n)+(n+2))= =n(n(n+2)+ (n+2)) =n(n+1)(n+2).

Вам предлагают решить уравнение xx22-6x+5=0 -6x+5=0 Для таких уравнений имеется специальное правило решения, но вы его пока еще не знаете. Как быть?

 Первый способ. Представим –6x в виде суммы –x-5x, а затем применим способ группировки: x2-6x+5=x2 –x-  -5x+5=(x2-x)+  +(-5x+5)=x(x-1)-  -5(x-1)= =(x-1)(x-5). Тогда заданное уравнение примет вид: (x-1)(x-5)=0, откуда находим, что либо x=1, либо x=5.  Второй способ. Применим метод выделения полного квадрата, для чего представим слагаемое 5 в виде 9-4. Получим: x2-6x+5=x2-6x+9-4=  =(x2-2*3x+9)-4= =(x-3)2-22=(x-3-2)*  *(x-3+2)=(x-5)(x-1). Снова пришли к уравнению  (x-1)(x-5)=0, имеющему корни 1 и 5. Ответ: 1, 5.

Пусть выражения нужно найти значение числового 532-472 612-392 Самое эффективное решение – дважды воспользоваться формулой разности квадратов: 532-472 = (53-47)(53+47) = 6•100 = 6 = 3 612-392 (61-39)(61+39) 22•100 22 11 Разложение на множители позволило нам быстро сократить дробь. Позднее мы оценим это и при выполнении действий с алгебраическими дробями.

Пусть p(n) = n3+3n2+2n. Если n=1, то p(1)=1+3+2=6. Значит, p(1) делится на 6 без остатка. Если n=2, то p(2)=23+3·22+2·2=8+12+4=24. Следовательно, и p(2) делится на 6 без остатка. Если n=3, то p(3)=33+3·32+2·3=27+27+6=60. Поэтому и p(3) делится на 6 без остатка. Но вы же понимаете, что перебрать так все натуральные числа нам не удастся. Как быть? На помощь приходят алгебраические методы. n3+3n2+2n=n(n+1)(n+2). n(n+1)= n2+ n, а (n2+n)(n+2)=n3+2n2+n2+2n=n3+3n2+2n. подряд натуральных чисел n, n+1, n+2. произведение делится на 3. делится на 2. Имеем: В самом деле Итак, p(n) = n(n+1)(n+2), т.е. p(n) есть произведение трех идущих Но из трех таких чисел одно обязательно делится на 3, значит и их Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел – четное, т.е. Итак, p(n) делится и на 2, и на 3, т.е. делится на 6. Все прекрасно, скажите вы, но как догадаться, что n3+3n2+2n= Ответ очевиден: надо учиться разложению многочленов на n(n+1)(n+2)? множители.

Мы вспомнили:  1. Понятие математического языка -  2. Приемы разложения на множители: разложение многочлена на множители; вынесение общего множителя за скобки; группировка; использование формул умножения; выделение полного квадрата. решении некоторых примеров. множители. Применили комбинацию различных приемов при Убедились в пользе применения разложения на сокращенного

В итоге вам предлагается выполнить тест, который содержит задания на тему: « Разложение многочлена на множители»