Презентация " Ортогональная проекция"

Площадь ортогональной проекции

Геометрия 10 класс

Понятие ортогональной проекции

Чтобы найти ортогональную проекцию
точки на плоскость, надо из этой точки
опустить на плоскость перпендикуляр

α

Основание перпендикуляра О
ортогональная проекция
точки А на плоскость α

Ортогональная проекция треугольника на плоскость

Если треугольник АВС
параллелен плоскости α,
то его ортогональной
проекцией на плоскость
является треугольник А 1 А А 1 1 А 1 В 1 В В 1 1 В 1 С 1 С С 1 1 С 1
равный данному

Ортогональная проекция треугольника на плоскость

Пусть сторона АВ треугольника
АВС лежит в плоскости α

Тогда ортогональной
проекцией точки С на
плоскость α является точка О.

Т.к. точки А и В лежат в
плоскости α, то их
ортогональной проекцией на
плоскость есть точки А и В

Тогда ⊿АВО-проекция ⊿ АВС на α

Площадь ортогональной проекции многоугольника

Площадь ортогональной
проекции⊿АВО равна
произведению площади ⊿ АВС
на косинус угла между
плоскостью ⊿АВО и плоскостью
⊿АВС

𝑆 ⊿АВО 𝑆𝑆 𝑆 ⊿АВО ⊿АВО 𝑆 ⊿АВО = 𝑆 ⊿АВС 𝑆𝑆 𝑆 ⊿АВС ⊿АВС 𝑆 ⊿АВС ∙𝑐𝑐о𝑠𝑠∠( АВС АВС АВС ; АВО АВО АВО )

Доказательство формулы

𝑆 ⊿АВО 𝑆𝑆 𝑆 ⊿АВО ⊿АВО 𝑆 ⊿АВО = 𝑆 ⊿АВС 𝑆𝑆 𝑆 ⊿АВС ⊿АВС 𝑆 ⊿АВС ∙𝑐𝑐о𝑠𝑠∠( АВС АВС АВС ; АВО АВО АВО )

Проведем СК ⊥АВ и КО

АВ⊥КО ТТП

СК⊂(АВС)

СО-перпендикуляр

СК-наклонная

КО-проекция

АВ⊂α

Итак: СК⊥АВ

КО⊥АВ

СК⊂(АВС)

КО⊂(АВО)

∠СКО-линейный угол

Доказательство формулы

𝑆 ⊿АВО 𝑆𝑆 𝑆 ⊿АВО ⊿АВО 𝑆 ⊿АВО = 𝑆 ⊿АВС 𝑆𝑆 𝑆 ⊿АВС ⊿АВС 𝑆 ⊿АВС ∙𝑐𝑐о𝑠𝑠∠( АВС АВС АВС ; АВО АВО АВО )

⊿АВО

𝑆 ⊿АВО 𝑆𝑆 𝑆 ⊿АВО ⊿АВО 𝑆 ⊿АВО = 1 2 1 1 2 2 1 2 АВ∙КО

⊿КСО

КО СК КО КО СК СК КО СК = cos α cos cos α α cos α

КО=СК∙cos⁡α

𝑆 ⊿АВО 𝑆𝑆 𝑆 ⊿АВО ⊿АВО 𝑆 ⊿АВО = 1 2 1 1 2 2 1 2 АВ∙КО= 1 2 1 1 2 2 1 2 АВ∙СКcos⁡α

= 𝑆 АВС 𝑆𝑆 𝑆 АВС АВС 𝑆 АВС ∙cos⁡α

=

Решить №213

Домашнее задание №214