Презентация "Функции многих переменных"

Функции нескольких переменных

Понятие функции одной переменной легко обобщается на случай двух и большего числа аргументов. В случае функции двух переменных будем рассматривать множество упорядоченных пар (x,y), где числовые значения x и y принадлежат множествам x∈X, y∈Y. Если задан закон, согласно которому каждой паре (x,y) соответствует единственное числовое значение z, то говорят, что задана функция двух переменных. Обычно такая функция обозначается в видеz=z(x,y), z=f(x,y), z=F(x,y) и т.д.Аналогичным образом определяется функция n переменных.

Геометрический смысл функции 2-х переменных  .
Если функции одной переменной  соответствует определённая линия на плоскости (например, – всем знакомая школьная парабола), то график функции двух переменных располагается в трёхмерном пространстве.
На практике чаще всего приходится иметь дело с поверхностью , но иногда график функции может представлять собой, например, пространственную прямую (прямые) либо даже единственную точку.

Для функций нескольких переменных вводится понятие частной производной первого порядка, то есть производной функции по одной из переменной при условии, что остальные переменные фиксированы. Например, для функции двух переменных z=f(x,y) рассматриваются частные производные по переменной x и по переменной y. Они обозначаются следующим образом: 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑓𝑓 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑧 𝑥 ′ 𝑧𝑧 𝑧 𝑥 ′ 𝑥𝑥 𝑧 𝑥 ′ ′ 𝑧 𝑥 ′ = 𝑓 𝑥 ′ 𝑓𝑓 𝑓 𝑥 ′ 𝑥𝑥 𝑓 𝑥 ′ ′ 𝑓 𝑥 ′
𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 = 𝑑𝑓 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑓𝑓 𝑑𝑓 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑓 𝑑𝑦 = 𝑧 𝑦 ′ 𝑧𝑧 𝑧 𝑦 ′ 𝑦𝑦 𝑧 𝑦 ′ ′ 𝑧 𝑦 ′ = 𝑓 𝑦 ′ 𝑓𝑓 𝑓 𝑦 ′ 𝑦𝑦 𝑓 𝑦 ′ ′ 𝑓 𝑦 ′

Каждая частная производная (по x и по y) функции двух переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении другой переменной: 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 ′ 𝑓𝑓 𝑓 𝑥 ′ 𝑥𝑥 𝑓 𝑥 ′ ′ 𝑓 𝑥 ′ (𝑥𝑥;𝑦𝑦) ; 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑦 ′ 𝑓𝑓 𝑓 𝑦 ′ 𝑦𝑦 𝑓 𝑦 ′ ′ 𝑓 𝑦 ′ (𝑥𝑥;𝑦𝑦)Поэтому частные производные вычисляют по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной, считая при этом другую переменную постоянной (константой).

Пример 1. Найти частные производные функции
𝑧𝑧=5 𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −𝑥𝑥.
Решение. Находим частную производную по переменной "икс":
𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 =15 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −1 (y фиксировано);
Находим частную производную по переменной "игрек":
𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 =10 𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 𝑦𝑦 (x фиксировано).
Пример 2. Дана функция
𝑧𝑧= 𝑥 𝑦 𝑥𝑥 𝑥 𝑦 𝑦𝑦 𝑥 𝑦 + ln 𝑥 ln ln 𝑥 𝑥𝑥 ln 𝑥
Найти частные производные 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 и 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 и вычислить их значения в точке А (1; 2).
Решение. При фиксированном y производная первого слагаемого находится как производная степенной функции 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 =𝑦𝑦 𝑥 𝑦−1 𝑥𝑥 𝑥 𝑦−1 𝑦𝑦−1 𝑥 𝑦−1 + 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 .
При фиксированном x производная первого слагаемого находится как производная показательной функции, а второго – как производная постоянной: 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑦 𝑥𝑥 𝑥 𝑦 𝑦𝑦 𝑥 𝑦 ln 𝑥. ln ln 𝑥. 𝑥𝑥. ln 𝑥.

Теперь вычислим значения этих частных производных в точке А (1; 2):
𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑥=1 𝑦=2 = 𝑓 𝑥 ′ 1;2 =2∙1+1=3 𝑥=1 𝑦=2 𝑥𝑥=1 𝑥=1 𝑦=2 𝑦𝑦=2 𝑥=1 𝑦=2 = 𝑓 𝑥 ′ 𝑓𝑓 𝑓 𝑥 ′ 𝑥𝑥 𝑓 𝑥 ′ ′ 𝑓 𝑥 ′ 1;2 1;2 1;2 =2∙1+1=3 𝑥=1 𝑦=2 = 𝑓 𝑥 ′ 1;2 =2∙1+1=3
𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑥=1 𝑦=2 = 𝑓 𝑦 ′ 1;2 = 1 2 ∙ ln 1 =0 𝑥=1 𝑦=2 𝑥𝑥=1 𝑥=1 𝑦=2 𝑦𝑦=2 𝑥=1 𝑦=2 = 𝑓 𝑦 ′ 𝑓𝑓 𝑓 𝑦 ′ 𝑦𝑦 𝑓 𝑦 ′ ′ 𝑓 𝑦 ′ 1;2 1;2 1;2 = 1 2 1 1 2 2 1 2 ∙ ln 1 ln ln 1 1 ln 1 =0 𝑥=1 𝑦=2 = 𝑓 𝑦 ′ 1;2 = 1 2 ∙ ln 1 =0

Пример 3. Найти частные производные функции 𝑧𝑧= sin 𝑥𝑦 sin sin 𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑥𝑦 sin 𝑥𝑦 .
Решение : Находим
𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 =𝑦𝑦 cos 𝑥𝑦 y фиксировано и является в данном случае множителем при x и cos cos 𝑥𝑦 y фиксировано и является в данном случае множителем при x и 𝑥𝑦 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑥𝑦 y фиксировано и является в данном случае множителем при x y фиксировано и является в данном случае множителем при x y фиксировано и является в данном случае множителем при x и cos 𝑥𝑦 y фиксировано и является в данном случае множителем при x и
𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 =𝑥𝑥 cos 𝑥𝑦 cos cos 𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑥𝑦 cos 𝑥𝑦 (x фиксировано и является в данном случае множителем при y.

Аналогично определяются частные производные функции трёх и более переменных.
Если каждому набору значений (x; y; ...; t) независимых переменных из множества D соответствует одно определённое значение u из множества E, то u называют функцией переменных x, y, ..., t и обозначают u = f(x, y, ..., t).
Частные производные функции нескольких переменных определяются и вычисляются также в предположении, что меняется только одна из независимых переменных, а другие при этом фиксированы.
Пример 4. Найти частные производные функции 𝑢𝑢=𝑥𝑥+2 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 + 𝑒 𝑧 𝑒𝑒 𝑒 𝑧 𝑧𝑧 𝑒 𝑧 .
Решение. 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 =1; 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑦 =4y; 𝑑𝑢 𝑑𝑧 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑧 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑢 𝑑𝑧 = 𝑒 𝑧 𝑒𝑒 𝑒 𝑧 𝑧𝑧 𝑒 𝑧 .
Найти частные производные функции:
𝑧𝑧= 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 ∙ sin 𝑦. sin sin 𝑦. 𝑦𝑦. sin 𝑦.
𝑧𝑧= 𝑥 𝑦 𝑥𝑥 𝑥 𝑦 𝑦𝑦 𝑥 𝑦 .
u= 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 +𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑧 3 𝑧𝑧 𝑧 3 3 𝑧 3 .

Полный дифференциал
Произведение частной производной на приращение соответствующей независимой переменной называется частным дифференциалом. Частные дифференциалы обозначаются так:
𝑑 𝑥 𝑑𝑑 𝑑 𝑥 𝑥𝑥 𝑑 𝑥 𝑢𝑢= 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 ∙𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑑 𝑦 𝑑𝑑 𝑑 𝑦 𝑦𝑦 𝑑 𝑦 𝑢𝑢= 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑦 ∙𝑑𝑑𝑦𝑦
Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Для функции двух независимых переменных полный дифференциал выражается равенством 𝑑𝑑𝑢𝑢= 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 ∙𝑑𝑑𝑥𝑥+ 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑦 ∙𝑑𝑑𝑦𝑦.
Пример 6. Найти полный дифференциал функции 𝑧𝑧= ln 𝑥+ 𝑦 2 ln ln 𝑥+ 𝑦 2 𝑥+ 𝑦 2 𝑥𝑥+ 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 𝑥+ 𝑦 2 ln 𝑥+ 𝑦 2 .
Решение. 𝑑𝑑𝑧𝑧= 1 𝑥+ 𝑦 2 1 1 𝑥+ 𝑦 2 𝑥𝑥+ 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 1 𝑥+ 𝑦 2 𝑑𝑑𝑥𝑥+ 2𝑦 𝑥+ 𝑦 2 2𝑦𝑦 2𝑦 𝑥+ 𝑦 2 𝑥𝑥+ 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 2𝑦 𝑥+ 𝑦 2 𝑑𝑑𝑦𝑦.
Функция, имеющая полный дифференциал в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.
Пример 10. Найти полный дифференциал функции 𝑢𝑢= 𝑒 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑒𝑒 𝑒 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 𝑒 𝑥 2 + 𝑦 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑧𝑧 трёх переменных x, y, z.

Понятие производной по направлению рассматривается для функций двух и трёх переменных. 
Определение производной по направлению. Предел отношения ∆𝑧 ∆𝑙 ∆𝑧𝑧 ∆𝑧 ∆𝑙 ∆𝑙𝑙 ∆𝑧 ∆𝑙 при ∆𝑙𝑙→0,если он существует, называется производной функции 𝑢𝑢=𝑓𝑓 𝑀 𝑀𝑀 𝑀 по направлению вектора 𝑙𝑙 и обозначается 𝑑𝑢 𝑑𝑙 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑙 𝑑𝑑𝑙𝑙 𝑑𝑢 𝑑𝑙 , т.е. lim ∆𝑙→0 ∆𝑢 ∆𝑙 = 𝑑𝑢 𝑑𝑙 . lim ∆𝑙→0 lim lim ∆𝑙→0 ∆𝑙𝑙→0 lim ∆𝑙→0 lim ∆𝑙→0 ∆𝑢 ∆𝑙 = 𝑑𝑢 𝑑𝑙 . ∆𝑢 ∆𝑙 ∆𝑢𝑢 ∆𝑢 ∆𝑙 ∆𝑙𝑙 ∆𝑢 ∆𝑙 = 𝑑𝑢 𝑑𝑙 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑙 𝑑𝑑𝑙𝑙 𝑑𝑢 𝑑𝑙 . lim ∆𝑙→0 ∆𝑢 ∆𝑙 = 𝑑𝑢 𝑑𝑙 .
Формула, которой нужно пользоваться для нахождения производной по направлению, следующая: 𝑑𝑢 𝑑𝑙 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑙 𝑑𝑑𝑙𝑙 𝑑𝑢 𝑑𝑙 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 cos 𝛼 cos cos 𝛼 𝛼𝛼 cos 𝛼 + 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑦 cos 𝛽 cos cos 𝛽 𝛽𝛽 cos 𝛽 + 𝑑𝑢 𝑑𝑧 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑧 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑢 𝑑𝑧 cos 𝛾 cos cos 𝛾 𝛾𝛾 cos 𝛾 , где l − произвольный вектор l с направляющими косинусами cosα, cosβ, cosγ.
Смысл этой формулы: производная по направлению является линейной комбинацией частных производных, причём направляющие косинусы показывают вклад в производную по направлению соответствующей частной производной.

Примеры нахождения производной по направлению.
Пример 1. Найти производную функции 𝑢𝑢=𝑥𝑥 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑧𝑧 𝑧 2 2 𝑧 2 −𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧 в точке 𝑀 0 𝑀𝑀 𝑀 0 0 𝑀 0 1;2;3 1;2;3 1;2;3 по направлению вектора  𝑎 𝑎𝑎 𝑎 = 1;−2;2 1;−2;2 1;−2;2 .
Решение. Найдём частные производные функции в точке  𝑀 0 𝑀𝑀 𝑀 0 0 𝑀 0 :
𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 1;2;3 1;2;3 1;2;3 = 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −𝑦𝑦𝑧𝑧 =-2;
𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑦 1;2;3 1;2;3 1;2;3 = 2𝑥𝑥𝑦𝑦−𝑥𝑥𝑧𝑧 =1;
𝑑𝑢 𝑑𝑧 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑧 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑢 𝑑𝑧 1;2;3 1;2;3 1;2;3 = 2𝑧𝑧−𝑥𝑥𝑦𝑦 =4.
Найдём направляющие косинусы, пользуясь определением скалярного произведения векторов: 𝑎 𝑥 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 𝑥 𝑥𝑥 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 ∙ cos 𝛼; cos cos 𝛼; 𝛼𝛼; cos 𝛼; 𝑎 𝑦 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 𝑦 𝑦𝑦 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 ∙ cos 𝛽; cos cos 𝛽; 𝛽𝛽; cos 𝛽; 𝑎 𝑧 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 𝑧 𝑧𝑧 𝑎 𝑧 = 𝑎 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 ∙ cos 𝛾; cos cos 𝛾; 𝛾𝛾; cos 𝛾;
𝑎 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑧𝑧 𝑧 2 2 𝑧 2 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1+4+4 1+4+4 1+4+4 1+4+4 =3.
Следовательно, cos 𝛼= 𝑎 𝑥 𝑎 cos cos 𝛼= 𝑎 𝑥 𝑎 𝛼𝛼= 𝑎 𝑥 𝑎 𝑎 𝑥 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 𝑥 𝑥𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑥 𝑎 cos 𝛼= 𝑎 𝑥 𝑎 = 1 3 1 1 3 3 1 3 ; cos 𝛽= 𝑎 𝑦 𝑎 cos cos 𝛽= 𝑎 𝑦 𝑎 𝛽𝛽= 𝑎 𝑦 𝑎 𝑎 𝑦 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 𝑦 𝑦𝑦 𝑎 𝑦 𝑎 𝑦 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑦 𝑎 cos 𝛽= 𝑎 𝑦 𝑎 = −2 3 −2 −2 3 3 −2 3 ; cos 𝛾= 𝑎 𝑧 𝑎 cos cos 𝛾= 𝑎 𝑧 𝑎 𝛾𝛾= 𝑎 𝑧 𝑎 𝑎 𝑧 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 𝑧 𝑧𝑧 𝑎 𝑧 𝑎 𝑧 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑧 𝑎 cos 𝛾= 𝑎 𝑧 𝑎 = 2 3 2 2 3 3 2 3 .
Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:
𝑑𝑢 𝑑𝑙 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑙 𝑑𝑑𝑙𝑙 𝑑𝑢 𝑑𝑙 =2∙ 1 3 1 1 3 3 1 3 +1∙ − 2 3 − 2 3 2 2 3 3 2 3 − 2 3 +4∙ 2 3 2 2 3 3 2 3 = 4 3 4 4 3 3 4 3 .
Пример 2. Найти производную функции 𝑧𝑧= 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 𝑥𝑥 в точке 𝑀 0 𝑀𝑀 𝑀 0 0 𝑀 0 1;2 1;2 1;2 по направлению вектора 𝑀 0 𝑀𝑀 𝑀 0 0 𝑀 0 𝑀 1 𝑀𝑀 𝑀 1 1 𝑀 1 , где 𝑀 1 𝑀𝑀 𝑀 1 1 𝑀 1 - точка с координатами (3;0).


Градиент функции
Градиент функции нескольких переменных в точке M0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M0 и величину этого максимального роста.
Как найти градиент?
Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 , 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑦 , 𝑑𝑢 𝑑𝑧 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑧 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑢 𝑑𝑧 этой функции в соответствующей точке:
𝑔𝑔𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 𝑢𝑢= 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑖 𝑖𝑖 𝑖 + 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑗 𝑗𝑗 𝑗 + 𝑑𝑢 𝑑𝑧 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑧 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑢 𝑑𝑧 𝑘𝑘.
То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей, в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная.
Для градиента функции двух переменных формула короче: 𝑔𝑔𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 𝑢𝑢= 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑖 𝑖𝑖 𝑖 + 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑗 𝑗𝑗 𝑗 .
Пример 4. Найти градиент функции 𝑢𝑢= 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑥 2 2 2 𝑥 2 2 + 𝑦 2 3 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 𝑦 2 3 3 𝑦 2 3 в точке 𝑀 0 𝑀𝑀 𝑀 0 0 𝑀 0 2;4 2;4 2;4 .
Решение. Найдём частные производные функции в точке 𝑀 0 𝑀𝑀 𝑀 0 0 𝑀 0 :
𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 (2;4)=2; 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑦 (2;4)= 8 3 8 8 3 3 8 3 .
Следовательно, можем записать искомый градиент данной функции: 𝑔𝑔𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 𝑢𝑢=2 𝑖 𝑖𝑖 𝑖 + 8 3 8 8 3 3 8 3 𝑗 𝑗𝑗 𝑗 .

Двойные интегралы – это обобщение понятия определённого интеграла для функции двух переменных, заданной как z = f(x, y).
Записывается двойной интеграл так: 𝐷 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝐷𝐷 𝐷 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝐷 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝑓𝑓 𝑥;𝑦 𝑥𝑥;𝑦𝑦 𝑥;𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦. 𝐷 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦.
Здесь D – плоская фигура, ограниченная линиями, выражения которых (равенства) даны в задании вычисления двойного интеграла. Слева и справа – равенствами, в которых слева переменная x, а сверху и снизу – равенствами, в которых слева переменная y. 
Вычислить двойной интеграл - значит найти число, равное площади упомянутой фигуры D.
В случае если фигура D представляет собой прямоугольник, все линии, ограничивающие её – это прямые линии. Если фигура D - криволинейна, то слева и справа она ограничена прямыми, а сверху и снизу – кривыми линиями, заданными равенствами, которые даны в задании. Бывают и случаи, когда фигура D – треугольник, но о таких случаях чуть дальше.
Для вычисления двойного интеграла нужно, таким образом, рассортировать линии, огранивающие фигуру D, которая имеет строгое название – область интегрирования. Рассортировать на левые и правые и на верхние и нижние. Это потребуется при сведении двойного интеграла к повторному интегралу – методе вычисления двойного интеграла.

В случае если фигура D представляет собой прямоугольник, все линии, ограничивающие её – это прямые линии. Если фигура D - криволинейна, то слева и справа она ограничена прямыми, а сверху и снизу – кривыми линиями, заданными равенствами, которые даны в задании. Бывают и случаи, когда фигура D – треугольник, но о таких случаях чуть дальше.
Для вычисления двойного интеграла нужно, таким образом, рассортировать линии, огранивающие фигуру D, которая имеет строгое название – область интегрирования. Рассортировать на левые и правые и на верхние и нижние. Это потребуется при сведении двойного интеграла к повторному интегралу – методе вычисления двойного интеграла.
Случай прямоугольной области: Случай криволинейной области:

А это уже решение знакомых нам определённых интегралов, в которых заданы верхний и нижний пределы интегрирования. Выражения, задающие линии, которые ограничивают фигуру D, будут пределами интегрирования для обычных определённых интегралов.
Сведение двойного интеграла к повторному
Случай прямоугольной области
Пусть дана функция двух переменных f(x, y) и ограничения для D: D = {(x; y) | a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d}, означающие, что фигуру D слева и справа ограничивают прямые x = a и x = b, а снизу и сверху - прямые y = c и y = d. Здесь a, b, c, d - числа.
Пусть для такой функции существует двойной интеграл 𝐷 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝐷𝐷 𝐷 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝐷 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝑓𝑓 𝑥;𝑦 𝑥𝑥;𝑦𝑦 𝑥;𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦. 𝐷 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦. Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид 𝑐 𝑑 𝑑𝑦 𝑐𝑐 𝑐 𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑑 𝑐 𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑐 𝑑 𝑑𝑦 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥. 𝑎𝑎 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥. 𝑏𝑏 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥. 𝑓𝑓 𝑥,𝑦 𝑥𝑥,𝑦𝑦 𝑥,𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥. 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥.
Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала - внутренний (правый) интеграл, затем - внешний (левый).

Пример 1. Вычислить двойной интеграл
𝐷 𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦, где 𝐷= 𝑥;𝑦 1≤𝑥≤2;1≤𝑦≤2 𝐷𝐷 𝐷 𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦, где 𝐷= 𝑥;𝑦 1≤𝑥≤2;1≤𝑦≤2 𝐷 𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦, где 𝐷= 𝑥;𝑦 1≤𝑥≤2;1≤𝑦≤2 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦, где 𝐷𝐷= 𝑥;𝑦 1≤𝑥≤2;1≤𝑦≤2 𝑥;𝑦 𝑥𝑥;𝑦𝑦 𝑥;𝑦 1≤𝑥≤2;1≤𝑦≤2 1≤𝑥𝑥≤2;1≤𝑦𝑦≤2 1≤𝑥≤2;1≤𝑦≤2 𝑥;𝑦 1≤𝑥≤2;1≤𝑦≤2 𝐷 𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦, где 𝐷= 𝑥;𝑦 1≤𝑥≤2;1≤𝑦≤2 .
Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу
1 2 𝑑𝑦 1 2 𝑥𝑦𝑑𝑥 1 1 2 𝑑𝑦 1 2 𝑥𝑦𝑑𝑥 2 1 2 𝑑𝑦 1 2 𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 1 2 𝑥𝑦𝑑𝑥 1 1 2 𝑥𝑦𝑑𝑥 2 1 2 𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥 1 2 𝑥𝑦𝑑𝑥 1 2 𝑑𝑦 1 2 𝑥𝑦𝑑𝑥 .
На чертеже строим область интегрирования:



Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая игрек константой. Получаем.
1 2 𝑥𝑦𝑑𝑥=𝑦∙ 𝑥 2 2 2 1 =2𝑦− 𝑦 2 . 1 1 2 𝑥𝑦𝑑𝑥=𝑦∙ 𝑥 2 2 2 1 =2𝑦− 𝑦 2 . 2 1 2 𝑥𝑦𝑑𝑥=𝑦∙ 𝑥 2 2 2 1 =2𝑦− 𝑦 2 . 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥=𝑦𝑦∙ 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑥 2 2 2 𝑥 2 2 2 1 =2𝑦− 𝑦 2 . 2 1 2 2 1 1 2 1 =2𝑦𝑦− 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 . 2 1 =2𝑦− 𝑦 2 . 1 2 𝑥𝑦𝑑𝑥=𝑦∙ 𝑥 2 2 2 1 =2𝑦− 𝑦 2 .
Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого): 1 2 2𝑦− 𝑦 2 𝑑𝑦= 2 𝑦 2 2 − 𝑦 2 4 2 1 = 3 4 𝑦 2 1 1 2 2𝑦− 𝑦 2 𝑑𝑦= 2 𝑦 2 2 − 𝑦 2 4 2 1 = 3 4 𝑦 2 2 1 2 2𝑦− 𝑦 2 𝑑𝑦= 2 𝑦 2 2 − 𝑦 2 4 2 1 = 3 4 𝑦 2 2𝑦− 𝑦 2 2𝑦𝑦− 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 2𝑦− 𝑦 2 𝑑𝑑𝑦𝑦= 2 𝑦 2 2 − 𝑦 2 4 2 𝑦 2 2 2 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 2 𝑦 2 2 2 2 𝑦 2 2 − 𝑦 2 4 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 𝑦 2 4 4 𝑦 2 4 2 𝑦 2 2 − 𝑦 2 4 2 1 = 3 4 𝑦 2 2 1 2 2 1 1 2 1 = 3 4 3 3 4 4 3 4 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 2 1 = 3 4 𝑦 2 1 2 2𝑦− 𝑦 2 𝑑𝑦= 2 𝑦 2 2 − 𝑦 2 4 2 1 = 3 4 𝑦 2 2 1 = 3 4 ∙ 4−1 = 9 4 . 2 1 2 2 1 1 2 1 = 3 4 3 3 4 4 3 4 ∙ 4−1 4−1 4−1 = 9 4 9 9 4 4 9 4 . 2 1 = 3 4 ∙ 4−1 = 9 4 .

Пример 2. Вычислить двойной интеграл
𝐷 1 𝑥−𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦, где 𝐷= 𝑥;𝑦 1≤𝑥≤2;3≤𝑦≤4 𝐷𝐷 𝐷 1 𝑥−𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦, где 𝐷= 𝑥;𝑦 1≤𝑥≤2;3≤𝑦≤4 𝐷 1 𝑥−𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦, где 𝐷= 𝑥;𝑦 1≤𝑥≤2;3≤𝑦≤4 1 𝑥−𝑦 2 1 1 𝑥−𝑦 2 𝑥−𝑦 2 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 𝑥−𝑦 𝑥−𝑦 2 2 𝑥−𝑦 2 1 𝑥−𝑦 2 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦, где 𝐷𝐷= 𝑥;𝑦 1≤𝑥≤2;3≤𝑦≤4 𝑥;𝑦 𝑥𝑥;𝑦𝑦 𝑥;𝑦 1≤𝑥≤2;3≤𝑦≤4 1≤𝑥𝑥≤2;3≤𝑦𝑦≤4 1≤𝑥≤2;3≤𝑦≤4 𝑥;𝑦 1≤𝑥≤2;3≤𝑦≤4 𝐷 1 𝑥−𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦, где 𝐷= 𝑥;𝑦 1≤𝑥≤2;3≤𝑦≤4 .
Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу
1 2 𝑑𝑥 3 4 𝑑𝑦 𝑥−𝑦 2 . 1 1 2 𝑑𝑥 3 4 𝑑𝑦 𝑥−𝑦 2 . 2 1 2 𝑑𝑥 3 4 𝑑𝑦 𝑥−𝑦 2 . 𝑑𝑑𝑥𝑥 3 4 𝑑𝑦 𝑥−𝑦 2 . 3 3 4 𝑑𝑦 𝑥−𝑦 2 . 4 3 4 𝑑𝑦 𝑥−𝑦 2 . 𝑑𝑦 𝑥−𝑦 2 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑦 𝑥−𝑦 2 𝑥−𝑦 2 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 𝑥−𝑦 𝑥−𝑦 2 2 𝑥−𝑦 2 𝑑𝑦 𝑥−𝑦 2 . 3 4 𝑑𝑦 𝑥−𝑦 2 . 1 2 𝑑𝑥 3 4 𝑑𝑦 𝑥−𝑦 2 .
На чертеже строим область интегрирования:




Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем
3 4 𝑑𝑦 𝑥−𝑦 2 = 3 4 𝑥−𝑦 −2 𝑑𝑦= 1 𝑥−𝑦 4 3 = 1 𝑥−4 − 3 3 4 𝑑𝑦 𝑥−𝑦 2 = 3 4 𝑥−𝑦 −2 𝑑𝑦= 1 𝑥−𝑦 4 3 = 1 𝑥−4 − 4 3 4 𝑑𝑦 𝑥−𝑦 2 = 3 4 𝑥−𝑦 −2 𝑑𝑦= 1 𝑥−𝑦 4 3 = 1 𝑥−4 − 𝑑𝑦 𝑥−𝑦 2 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑦 𝑥−𝑦 2 𝑥−𝑦 2 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 𝑥−𝑦 𝑥−𝑦 2 2 𝑥−𝑦 2 𝑑𝑦 𝑥−𝑦 2 = 3 4 𝑥−𝑦 −2 𝑑𝑦= 1 𝑥−𝑦 4 3 = 1 𝑥−4 − 3 3 4 𝑥−𝑦 −2 𝑑𝑦= 1 𝑥−𝑦 4 3 = 1 𝑥−4 − 4 3 4 𝑥−𝑦 −2 𝑑𝑦= 1 𝑥−𝑦 4 3 = 1 𝑥−4 − 𝑥−𝑦 −2 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 𝑥−𝑦 𝑥−𝑦 −2 −2 𝑥−𝑦 −2 𝑑𝑑𝑦𝑦= 1 𝑥−𝑦 1 1 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 1 𝑥−𝑦 4 3 = 1 𝑥−4 − 4 3 4 4 3 3 4 3 = 1 𝑥−4 1 1 𝑥−4 𝑥𝑥−4 1 𝑥−4 − 4 3 = 1 𝑥−4 − 3 4 𝑥−𝑦 −2 𝑑𝑦= 1 𝑥−𝑦 4 3 = 1 𝑥−4 − 3 4 𝑑𝑦 𝑥−𝑦 2 = 3 4 𝑥−𝑦 −2 𝑑𝑦= 1 𝑥−𝑦 4 3 = 1 𝑥−4 − 1 𝑥−3 1 1 𝑥−3 𝑥𝑥−3 1 𝑥−3 .
Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):
1 2 1 𝑥−4 − 1 𝑥−3 𝑑𝑥= 1 1 2 1 𝑥−4 − 1 𝑥−3 𝑑𝑥= 2 1 2 1 𝑥−4 − 1 𝑥−3 𝑑𝑥= 1 𝑥−4 − 1 𝑥−3 1 𝑥−4 1 1 𝑥−4 𝑥𝑥−4 1 𝑥−4 − 1 𝑥−3 1 1 𝑥−3 𝑥𝑥−3 1 𝑥−3 1 𝑥−4 − 1 𝑥−3 𝑑𝑑𝑥𝑥= 1 2 1 𝑥−4 − 1 𝑥−3 𝑑𝑥= 1 2 𝑑𝑥 𝑥−4 − 1 1 2 𝑑𝑥 𝑥−4 − 2 1 2 𝑑𝑥 𝑥−4 − 𝑑𝑥 𝑥−4 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑥−4 𝑥𝑥−4 𝑑𝑥 𝑥−4 − 1 2 𝑑𝑥 𝑥−4 − 1 2 𝑑𝑥 𝑥−4 = ln 2 1 / 3 2 = ln 4 3 . 1 1 2 𝑑𝑥 𝑥−4 = ln 2 1 / 3 2 = ln 4 3 . 2 1 2 𝑑𝑥 𝑥−4 = ln 2 1 / 3 2 = ln 4 3 . 𝑑𝑥 𝑥−4 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑥−4 𝑥𝑥−4 𝑑𝑥 𝑥−4 = ln 2 1 / 3 2 = ln 4 3 . ln ln 2 1 / 3 2 = ln 4 3 . 2 1 / 3 2 2 1 2 2 1 1 2 1 / 3 2 3 3 2 2 3 2 2 1 / 3 2 = ln 4 3 . ln ln 4 3 . 4 3 4 4 3 3 4 3 . ln 4 3 . ln 2 1 / 3 2 = ln 4 3 . 1 2 𝑑𝑥 𝑥−4 = ln 2 1 / 3 2 = ln 4 3 .

Пример 3. Вычислить двойной интеграл 𝐷 4− 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝐷𝐷 𝐷 4− 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝐷 4− 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦, 4− 𝑥 2 − 𝑦 2 4− 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 4− 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦, 𝐷 4− 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦, если область D ограничена прямыми 𝑥𝑥=0, 𝑥𝑥=1,𝑦𝑦=0, 𝑦𝑦= 3 2 3 3 2 2 3 2 .
Пример 4. Вычислить двойной интеграл 𝐷 𝑒 𝑦 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝐷𝐷 𝐷 𝑒 𝑦 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝐷 𝑒 𝑦 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝑒 𝑦 𝑥 𝑒𝑒 𝑒 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦𝑦 𝑦 𝑥 𝑥𝑥 𝑦 𝑥 𝑒 𝑦 𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦, 𝐷 𝑒 𝑦 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦, если область D ограничена прямыми 𝑥𝑥=1,𝑦𝑦=𝑥𝑥, 𝑦𝑦=0.
Случай криволинейной или треугольной области
Пусть снова дана функция двух переменных f(x, y), а ограничения для D: уже несколько другого вида: D = {(x; y) | a ≤ x ≤ b;  𝑦 1 𝑦𝑦 𝑦 1 1 𝑦 1 (𝑥𝑥) ≤ y ≤   𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 (𝑥𝑥)}.
Эта запись означает, что фигуру D слева и справа ограничивают, как и в случае прямолинейной области - прямые x = a и x = b, но снизу и сверху - кривые, которые заданы уравнениями  𝑦 1 𝑦𝑦 𝑦 1 1 𝑦 1 (𝑥𝑥) и 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 (𝑥𝑥).
Пусть для такой функции также существует двойной интеграл 𝐷 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝐷𝐷 𝐷 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝐷 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝑓𝑓 𝑥;𝑦 𝑥𝑥;𝑦𝑦 𝑥;𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦. 𝐷 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦.
Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид 𝑎 𝑏 𝑑𝑥 𝑦 1 (𝑥) 𝑦 2 (𝑥) 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑦 𝑎𝑎 𝑎 𝑏 𝑑𝑥 𝑦 1 (𝑥) 𝑦 2 (𝑥) 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑦 𝑏𝑏 𝑎 𝑏 𝑑𝑥 𝑦 1 (𝑥) 𝑦 2 (𝑥) 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑦 1 (𝑥) 𝑦 2 (𝑥) 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑦 𝑦 1 𝑦𝑦 𝑦 1 1 𝑦 1 (𝑥𝑥) 𝑦 1 (𝑥) 𝑦 2 (𝑥) 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑦 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 (𝑥𝑥) 𝑦 1 (𝑥) 𝑦 2 (𝑥) 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑦 𝑓𝑓 𝑥;𝑦 𝑥𝑥;𝑦𝑦 𝑥;𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑦 1 (𝑥) 𝑦 2 (𝑥) 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑦 𝑎 𝑏 𝑑𝑥 𝑦 1 (𝑥) 𝑦 2 (𝑥) 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑦 .

Здесь пределы интегрирования a и b - числа, а 𝑦 1 𝑦𝑦 𝑦 1 1 𝑦 1 (𝑥𝑥) и 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 (𝑥𝑥) – функции. В случае треугольной области одна из функций  𝑦 1 𝑦𝑦 𝑦 1 1 𝑦 1 (𝑥𝑥) или 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 (𝑥𝑥) - это уравнение прямой линии.
Как и в случае прямолинейной области, сначала нужно вычислять правый определённый интеграл, затем - левый определённый интеграл.
Точно так же можно поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид 𝑐 𝑑 𝑑𝑦 𝑐𝑐 𝑐 𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑑 𝑐 𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑐 𝑑 𝑑𝑦 𝑦 1 (𝑥) 𝑦 2 (𝑥) 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑥 𝑦 1 𝑦𝑦 𝑦 1 1 𝑦 1 (𝑥𝑥) 𝑦 1 (𝑥) 𝑦 2 (𝑥) 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑥 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 (𝑥𝑥) 𝑦 1 (𝑥) 𝑦 2 (𝑥) 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑥 𝑓𝑓 𝑥;𝑦 𝑥𝑥;𝑦𝑦 𝑥;𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑦 1 (𝑥) 𝑦 2 (𝑥) 𝑓 𝑥;𝑦 𝑑𝑥 . Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала - внутренний (правый) интеграл, затем - внешний (левый).
Пример 5. Вычислить двойной интеграл 𝐷 𝑥 2 +𝑥𝑦+2 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝐷𝐷 𝐷 𝑥 2 +𝑥𝑦+2 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝐷 𝑥 2 +𝑥𝑦+2 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝑥 2 +𝑥𝑦+2 𝑦 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +𝑥𝑥𝑦𝑦+2 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 𝑥 2 +𝑥𝑦+2 𝑦 2 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦, 𝐷 𝑥 2 +𝑥𝑦+2 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦, где D = {(x; y) | 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤  x-1}.
Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу
0 1 𝑑𝑥 0 1−𝑥 𝑥 2 +𝑥𝑦+2 𝑦 2 𝑑𝑦 0 0 1 𝑑𝑥 0 1−𝑥 𝑥 2 +𝑥𝑦+2 𝑦 2 𝑑𝑦 1 0 1 𝑑𝑥 0 1−𝑥 𝑥 2 +𝑥𝑦+2 𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 0 1−𝑥 𝑥 2 +𝑥𝑦+2 𝑦 2 𝑑𝑦 0 0 1−𝑥 𝑥 2 +𝑥𝑦+2 𝑦 2 𝑑𝑦 1−𝑥𝑥 0 1−𝑥 𝑥 2 +𝑥𝑦+2 𝑦 2 𝑑𝑦 𝑥 2 +𝑥𝑦+2 𝑦 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +𝑥𝑥𝑦𝑦+2 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 𝑥 2 +𝑥𝑦+2 𝑦 2 𝑑𝑑𝑦𝑦 0 1−𝑥 𝑥 2 +𝑥𝑦+2 𝑦 2 𝑑𝑦 0 1 𝑑𝑥 0 1−𝑥 𝑥 2 +𝑥𝑦+2 𝑦 2 𝑑𝑦 .
На чертеже строим область интегрирования
и видим, что она треугольная:

Пример 5. Вычислить двойной интеграл 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝐷𝐷 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦, 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦, где
D = {(x; y) | 0 ≤ x ≤ 2; -4+ 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2  ≤ y ≤  4- 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 }.
Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу 0 2 𝑑𝑥 −4+ 𝑥 2 4− 𝑥 2 𝑑𝑦. 0 0 2 𝑑𝑥 −4+ 𝑥 2 4− 𝑥 2 𝑑𝑦. 2 0 2 𝑑𝑥 −4+ 𝑥 2 4− 𝑥 2 𝑑𝑦. 𝑑𝑑𝑥𝑥 −4+ 𝑥 2 4− 𝑥 2 𝑑𝑦. −4+ 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4+ 𝑥 2 4− 𝑥 2 𝑑𝑦. 4− 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4+ 𝑥 2 4− 𝑥 2 𝑑𝑦. 𝑑𝑑𝑦𝑦. −4+ 𝑥 2 4− 𝑥 2 𝑑𝑦. 0 2 𝑑𝑥 −4+ 𝑥 2 4− 𝑥 2 𝑑𝑦.
На чертеже строим область интегрирования:




Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем:
−4+ 𝑥 2 4− 𝑥 2 𝑑𝑦=4− 𝑥 2 +4− 𝑥 2 =8−2 𝑥 2 −4+ 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4+ 𝑥 2 4− 𝑥 2 𝑑𝑦=4− 𝑥 2 +4− 𝑥 2 =8−2 𝑥 2 4− 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4+ 𝑥 2 4− 𝑥 2 𝑑𝑦=4− 𝑥 2 +4− 𝑥 2 =8−2 𝑥 2 𝑑𝑑𝑦𝑦=4− 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +4− 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =8−2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4+ 𝑥 2 4− 𝑥 2 𝑑𝑦=4− 𝑥 2 +4− 𝑥 2 =8−2 𝑥 2 .
Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого): 0 2 8−2 𝑥 2 𝑑𝑥=8𝑥− 2 3 𝑥 3 2 0 =16− 16 3 = 32 3 . 0 0 2 8−2 𝑥 2 𝑑𝑥=8𝑥− 2 3 𝑥 3 2 0 =16− 16 3 = 32 3 . 2 0 2 8−2 𝑥 2 𝑑𝑥=8𝑥− 2 3 𝑥 3 2 0 =16− 16 3 = 32 3 . 8−2 𝑥 2 8−2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 8−2 𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥=8𝑥𝑥− 2 3 2 2 3 3 2 3 𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 2 0 =16− 16 3 = 32 3 . 2 0 2 2 0 0 2 0 =16− 16 3 16 16 3 3 16 3 = 32 3 32 32 3 3 32 3 . 2 0 =16− 16 3 = 32 3 . 0 2 8−2 𝑥 2 𝑑𝑥=8𝑥− 2 3 𝑥 3 2 0 =16− 16 3 = 32 3 .

Смена порядка интегрирования
Как уже отмечалось выше, после приведения двойного интеграла к повторному интегралу, можно поменять переменные x и y ролями, или, говоря иначе, поменять порядок интегрирования.
Тогда, если левый интеграл у нас по переменной x, а правый - по y, то после смены порядка интегрирования всё будет наоборот. Тогда пределы интегрирования для "нового" игрека нужно "позаимствовать" у "старого" икса, а пределы интегрирования для "нового" икса получить в виде обратной функции, разрешив относительно икса уравнение, задававшее предел для игрека.
Пример 8. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла 0 1 𝑑𝑥 𝑥 3 𝑥 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦. 0 0 1 𝑑𝑥 𝑥 3 𝑥 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦. 1 0 1 𝑑𝑥 𝑥 3 𝑥 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦. 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥 3 𝑥 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦. 𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦. 𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑥 3 𝑥 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦. 𝑓𝑓 𝑥,𝑦 𝑥𝑥,𝑦𝑦 𝑥,𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦. 𝑥 3 𝑥 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦. 0 1 𝑑𝑥 𝑥 3 𝑥 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦.
Решение. После смены порядка интегрирования интеграл по игреку станет левым, а интеграл по иксу - правым. Пределы интегрирования для "нового" игрека позаимствуем у "старого" икса, то есть нижний предел равен нулю, а верхний - единице. Пределы интегрирования для "старого" игрека заданы уравнениями 𝑦𝑦= 𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 и 𝑦𝑦= 𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 . Разрешив эти уравнения относительно икса, получим новые пределы интегрирования для икса:
𝑥𝑥= 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 нижний нижний нижний и 𝑥𝑥= 3 𝑦 3 3 𝑦 𝑦𝑦 3 𝑦 верхний верхний верхний .
Таким образом, после смены порядка интегрирования повторный интеграл запишется так:
0 1 𝑑𝑦 𝑦 2 3 𝑦 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥. 0 0 1 𝑑𝑦 𝑦 2 3 𝑦 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥. 1 0 1 𝑑𝑦 𝑦 2 3 𝑦 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥. 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑦 2 3 𝑦 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥. 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 𝑦 2 3 𝑦 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥. 3 𝑦 3 3 𝑦 𝑦𝑦 3 𝑦 𝑦 2 3 𝑦 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥. 𝑓𝑓 𝑥,𝑦 𝑥𝑥,𝑦𝑦 𝑥,𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥. 𝑦 2 3 𝑦 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥. 0 1 𝑑𝑦 𝑦 2 3 𝑦 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥.