Презентация к разработке урока по алгебре и началам анализа (11 класс) на тему: Общие методы решения тригонометрических уравнений»

Решите уравнения
А) 3 х – 5 = 7
Б) х2 – 8 х + 15 = 0
В) 4 х2 – 4 х + 1= 0
Г) х4 – 5 х2 + 4 = 0
Д) 3 х2 – 12 = 0

Ответы
4
3; 5
0,5
-2; -1; 1; 2
-2; 2

Устная работа

Упростите выражения
А) (sin a – 1) (sin a + 1)
Б) sin2 a – 1 + cos2 a
В) sin2 a + tg a ctg a + cos2 a
Г) √1- 2 tgх + tg2 х

Ответы
- cos2 a
0
2
|1- tg х|

Повторение

1 вариант
sin (-π/3)
cos 2π/3
tg π/6
ctg π/4
cos (-π/6)
sin 3π/4

2 вариант
cos (-π/4 )
sin π/3
ctg π/6
tg π/4
sin (-π/6)
cos 5π/6

Повторение

Ответы 1 вариант
- √3/2
- 1/2
√3/3
1
√3/2
√2/2

Ответы 2 вариант
√2/2
√3/2
√3
1
- 1/2
- √3/2

Повторение

1 вариант
arcsin √2/2
arccos 1
arcsin (- 1/2 )
arccos (- √3/2)
arctg √3

2 вариант
arccos √2/2
arcsin 1
arccos (- 1/2)
arcsin (- √3/2)
arctg √3/3

Повторение

Ответы 1 вариант
π/4
0
- π/6
5π/6
π/3

Ответы 2 вариант
π/4
π/2
2π/3
- π/3
π/6

Формулы решения уравненийsinx =а, cosx = а, tg х=а.

sinx =а

cosx = а

tg х = а

х = (-1)k arcsin а + π k, k Z

х = ± arccos а + 2 π k, k Z

х = arctg а + π k, k Z.

Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам

а)2 cos2х + 5 sin х - 4=0
б)cos 2х + cos х =0
в)√2 sin (x/2) + 1 = cos х
Ответы
а)(-1)k π/6 + πk, k Z
б) π + 2πk, k Z
± π/3 + 2 πn, n Z
в)2 πk, k Z
(-1)k π/2+2πn,n Z

а)3 sin x - 2 cos2x =0
б) cos 2x + sin x =0
в)√2cos(x/2) + 1=cos x
Ответы
а)(-1)k π/6 + πk, k Z
б)π/2 + 2πk, k Z
(-1)k+1 π/6 + πn, n Z
в) π + 2πk, k Z
± π/2 + 4πn, n Z

Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам

На «3»
3 sin x+ 5 cos x = 0
5 sin2 х - 3 sinх cos х - 2 cos2х =0
На «4»
3 cos2х + 2 sin х cos х =0
5 sin2 х + 2 sinх cos х - cos2х =1
На «5»
2 sin x - 5 cos x = 3
1- 4 sin 2x + 6 cos2х = 0

На «3»
cos x+ 3 sin x = 0
6 sin2 х - 5 sinх cos х + cos2х =0
На «4»
2 sin2 x – sin x cosx =0
4 sin2 х - 2sinх cos х – 4 cos2х =1
На «5»
2 sin x - 3 cos x = 4
2 sin2 х - 2sin 2х +1 =0

Основные методы решения тригонометрических уравнений. 1)по известным алгоритмам.

Ответы 1 вариант
- arctg 5/3+ πk, k Z.
π/4 + πk; - arctg 0,4 + πn, k, n Z.
π/2 + πk; - arctg 1,5 + πn, k, n Z.
π/4 + πk; - arctg 0,5 + πn, k, n Z.
arctg ( - 1 ± √5) + πk, k Z.
π/4 + πk; arctg 7 + πn, k, n Z.

Ответы 2 вариант
- arctg 2/3+ πk, k Z.
arctg 1/3+ πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.
πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.
-π/4 + πk; - arctg 5/3 + πn, k, n Z.
arctg ( 2 ± √11) + πk, k Z.
π/4 + πk; arctg 1/3 + πn, k, n Z.

Различные алгоритмы решения уравнений вида A sin x+ B cos x = С

1) переход к половинному аргументу ;
2) использование универсальной подстановки;
3) введение вспомогательного угла

Различные алгоритмы решения уравнений вида A sin x+ B cos x = С

1 вариант 2 вариант
sin x + 3 cos x = 2 2 sin x+ 3 cos x = 1
На «3» Используя один из предложенных способов
На «4» Используя любые два из предложенных способов
На «5» Используя три предложенные способа
Ответы
2 arctg (1 ± √6)/5 + 2πk, 2 arctg ( 1 ± √3)/2 + 2πk,
k Z. k Z.