Презентация к уроку алгебры в 9 классе. Тема "Определение арифметической прогрессии. Формула п-го члена арифметической прогрессии"

Урок алгебры в 9 классе

Актуализация опорных знаний

Что такое числовая последовательность?
Числовая последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел.

2. Что значит задана последовательность?
Последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу n ставится в соответствие элемент 𝒙 𝒏 𝒙𝒙 𝒙 𝒏 𝒏𝒏 𝒙 𝒏 некоторого множества.

3. Какие бывают последовательности?
Последовательность может быть бесконечной и конечной.

4. Какие существуют способы задания числовой последовательности?
Числовую последовательность можно задать аналитическим, рекуррентным, графическим, описательным, табличным способами.

5. Что такое аналитический способ задания последовательности?



6. Что такое рекуррентный способ задания последовательности?
Последовательность задают несколько первых членов и правило, позволяющее вычислять каждый следующий член последовательности через предыдущий.

7. Что такое описательный способ задания последовательности?
Последовательность задается (описывается) словами, без указания формул или когда в последовательности нет закономерности между элементами.

Что такое ПРОГРЕССИЯ?

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression), что означает «движение вперед» и был введен римским автором Боэцием (VI в.).

Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется.

Прогрессии были известны в Древнем Египте и Вавилоне около 2000 лет до н.э.

Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия.

Это частный случай числовой последовательности.

2, 6, 10, 14, 18, ….

11, 8, 5, 2, -1, ….

5, 15, 25, 35, 45, ….

22, 26

-4, -7

55, 65

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называют арифметической прогрессией.

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый последующий член которой равен предшествующему, сложенному с постоянным для данной последовательности числом.

(an) - арифметическая прогрессия, если

где d-некоторое число

Арифметическая прогрессия

Разность
арифметической прогрессии

Решить устно:
Назовите первые пять членов арифметической прогрессии:
а) а₁ = 5,d = 3
Решение

а₁=5,
а₂= 5+3=8,
а₃ = 8+3=11,
а₄=11+3=14,
а₅=14+3=17.
Ответ: а₁=5, а₂= 8, а₃ = 11, а₄=14, а₅=17.

б) а₁ = 5,d = − 3
Решение

а₁=5,
а₂= 5+(−3)=2,
а₃ = 2+(− 3)= − 1,
а₄= − 1+(− 3)= − 4,
а₅= − 4+(− 3)= − 7.
Ответ: а₁=5, а₂= 2, а₃ = − 1 , а₄= − 4, а₅= − 7.

Свойства
арифметической прогрессии

2, 6, 10, 14, 18, ….
Если в арифметической прогрессии разность положительна (d>0), то прогрессия является возрастающей.

11, 8, 5, 2, -1, ….
Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (d<0), то прогрессия является убывающей.

5, 5, 5, 5, 5, ….
В случае , если разность равна нулю (d=0) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной.

d=4, an+1>an

d=-3, an+1

d=0, an+1=an

№ 575. Выпишите первые пять членов арифметической прогрессии ( 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 ), если:б) 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 =30, d=−10; г) 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 =−3,5, d=0,6. 

Решение

Решение

б) 𝑎 1 б) 𝑎𝑎 б) 𝑎 1 1 б) 𝑎 1 =30,

𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 = 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 +d=30+(−10)=

𝑎 3 𝑎𝑎 𝑎 3 3 𝑎 3 = 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 +𝑑𝑑=20+(−10)=

𝑎 5 𝑎𝑎 𝑎 5 5 𝑎 5 = 𝑎 4 𝑎𝑎 𝑎 4 4 𝑎 4 +d=0+(−10)=

𝑎 4 𝑎𝑎 𝑎 4 4 𝑎 4 = 𝑎 3 𝑎𝑎 𝑎 3 3 𝑎 3 +d=10+(−10)=

20,

10,

0,

Ответ:(𝑎 𝑛 Ответ:(𝑎𝑎 Ответ:(𝑎 𝑛 𝑛𝑛 Ответ:(𝑎 𝑛 ):30; 20; 10; 0; −10.

г) 𝑎 1 г) 𝑎𝑎 г) 𝑎 1 1 г) 𝑎 1 =−3,5,

𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 = 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 +d=−3,5+0,6=

−2,9,

𝑎 3 𝑎𝑎 𝑎 3 3 𝑎 3 = 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 +d=−2,9+0,6=

−2,3,

𝑎 4 𝑎𝑎 𝑎 4 4 𝑎 4 = 𝑎 3 𝑎𝑎 𝑎 3 3 𝑎 3 +d=−2,3+0,6=

−1,7,

𝑎 5 𝑎𝑎 𝑎 5 5 𝑎 5 = 𝑎 4 𝑎𝑎 𝑎 4 4 𝑎 4 +d=−1,7+0,6=

−1,1,

Ответ:(𝑎 𝑛 Ответ:(𝑎𝑎 Ответ:(𝑎 𝑛 𝑛𝑛 Ответ:(𝑎 𝑛 ): −3,5; −2,9; -2,3; -1,7; -1,1.

−10.

Задание арифметической прогрессии
формулой n – ого члена

Дано: (аn) – арифметическая прогрессия,
a1- первый член прогрессии, d – разность.
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d =
a4 = a3 + d =

(a1 + d) + d =

a1+2d

(a1+2d) + d=

a1+3d

a5 = a4 + d =

(a1+3d) + d=

a1+4d

a6 = a5 + d =

(a1+4d) + d=

a1+5d

- Формула п-го члена арифметической прогрессии

№ 576. Последовательность ( 𝑏 𝑛 𝑏𝑏 𝑏 𝑛 𝑛𝑛 𝑏 𝑛 ) – арифметическая прогрессия, первый член которой равен 𝑏 1 𝑏𝑏 𝑏 1 1 𝑏 1 , а разность равна d. Выразите через 𝑏 1 𝑏𝑏 𝑏 1 1 𝑏 1 и d:б) 𝑏 26 𝑏𝑏 𝑏 26 26 𝑏 26 , г) 𝑏 𝑘 𝑏𝑏 𝑏 𝑘 𝑘𝑘 𝑏 𝑘 , е) 𝑏 2𝑘 𝑏𝑏 𝑏 2𝑘 2𝑘𝑘 𝑏 2𝑘 .

Решение

б) b26 = b1 + (26-1)d =

a1 + 25d

г) bk = b1 + (k-1)d

е) b2k = b1 + (2k-1)d

№ 577 (б). Последовательность ( с 𝑛 с с 𝑛 𝑛𝑛 с 𝑛 ) – арифметическая прогрессия. Найдите с 21 с с 21 21 с 21 , если с 1 с с 1 1 с 1 =5,8 и d=−1,5.

Решение

c21 = c1 + (21-1)d =

5,8 + 20∙ (−1,5) =

=5,8 + (−30) =

−24,2

№ 578 (а). Последовательность ( 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 ) – арифметическая прогрессия. Найдите: 𝑎 11 𝑎𝑎 𝑎 11 11 𝑎 11 , если 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 =−3 и d=0,7.
Решение

a11 = a1 + (11-1)d =

a1 + 10d =

c1 + 20d =

−3+10∙0,7 =

−3+7 =

4

Ответ: −24,2

Ответ: 4

№ 579 (б). Найдите десятый и п-й члены арифметической прогрессии: 11; 7; ….
Решение

Пусть дана арифметическая прогрессия ( a n a a n n a n ),
в которой a1 = 11, 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 =7.

Найдем разность арифметическая прогрессии
d= 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 − 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 ,
d=7−11=

−4.

Найдем 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 и 𝑎 10 𝑎𝑎 𝑎 10 10 𝑎 10 :

a10 = a1 + 9d =

11+ 9∙(− 4) =

11+(− 36) =

− 25

an = a1 + (n−1)d

Ответ: 𝑎 10 𝑎𝑎 𝑎 10 10 𝑎 10 = − 25, an = 15 − 4n

=11+ (n − 1)∙(− 4) =

11 − 4n+4 =

=15 − 4n

Прочитать п. 25 (стр.148-149) учебника
Изучить конспект урока
Выполнить упражнения №575(а, в), №576(а, в, д), №577 (а), №578(б), №579(а)