ОБУЧАЮЩАЯ :
обобщить и закрепить идею геометрического смысла производной на основе знакомства с математическими «портретами»;
сформировать начальное представление об истории развития математического анализа;
учить работать с теоретическими вопросами учебника;
«открыть» зависимость между свойствами монотонности функции, экстремумами и значениями производной.
ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ :
способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания,
развитие навыков исследовательской деятельности (планирование, выдвижение гипотез, анализ, обобщение).
РАЗВИВАЮЩАЯ :
развивать у учащихся коммуникативные компетенции,
способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.
ЦЕЛЬ УРОКА
«НАЧИНАТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ МОЖНО ПО-РАЗНОМУ... Все равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. ЕСТЬ ИСТИНЫ, как страны, НАИБОЛЕЕ УДОБНЫЙ ПУТЬ К КОТОРЫМ СТАНОВИТСЯ ИЗВЕСТНЫМ ЛИШЬ ПОСЛЕ ТОГО, КАК МЫ ИСПРОБУЕМ ВСЕ ПУТИ. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь... НА ПУТИ К ИСТИНЕ МЫ ПОЧТИ ВСЕГДА ОБРЕЧЕНЫ СОВЕРШАТЬ ОШИБКИ».
ЭПИГРАФ К УРОКУ
Denis Diderot
1713 - 1784
Екатерина II
Дени Дидро
АКЦЕНТИРУЕМ ТЕОРИЮ ПО ТЕМЕ
ГРАФИК
1. В чем состоит геометрический смысл
производной ?
2. В любой ли точке графика можно провести
касательную? Какая функция называется
дифференцируемой в точке?
3. Касательная наклонена под тупым углом к
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, • • • .
4. Касательная наклонена под острым углом к
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, • • • .
5. Касательная наклонена под прямым углом к
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, • • • .
6. Касательная параллельна оси ОХ, либо с ней совпадает. Следовательно, • • • .
}
значение производной в точке Х₀
}
тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ
угловой коэффициент касательной
f ´(x₀) = tg α = к
ВЫДВИГАЕМАЯ ГИПОТЕЗА
Что выяснили?
существует
связь
Свойства
f(x):
Свойства
f '(x):
возрастания,
убывания,
точки минимума,
точки максимума
существование,
нули,
знакопостоянство
План действий
1. Анализ наблюдений (фактов).
2. Обобщение фактов.
3. Проверка и выдвижение нового
плана действий.
Какая?
ПЕРВИЧНЫЙ АНАЛИЗ НАБЛЮДЕНИЙ
1
Какими из перечисленных свойств обладают заданные на промежутке (a , b ) функции,
графики которых будут представлены ниже.
А. Функция возрастает.
Б. В каждой точке можно
провести касательную.
В. В каждой точке f ´(x) ≥ 0.
Г. В каждой точке касательная
наклонена под острым углом.
Д. Существует конечное число точек, в которых f ´(x) = 0 .
Е. Существует конечное число
точек, в которых f ´(x) не
существует .
ПРОВЕРКА
- |
- |
+ |
ПРОВЕРКА
+ |
+ |
- |
ПРОВЕРКА
+ |
- |
+ |
ПРОВЕРКА
- |
+ |
- |
+ |
- |
ПРОВЕРКА
- |
+ |
- |
2
Какие из заданных на промежутке (a , b ) функций,
графики которых будут представлены ниже, обладают указанными свойствами?
ПРОВЕРКА
ПРОВЕРКА
ПРОВЕРКА
ПРОВЕРКА
ПРОВЕРКА
ПРОВЕРКА
А. Функция
убывает
на (a , b ) .
1
5
Б. В каждой точке
(a , b ) можно
провести
касательную.
1
5
2
В. В каждой точке
(a , b ) f ´(x) ≤ 0.
1
5
Г. В каждой точке
(a , b ) касательная
наклонена под
тупым углом.
5
Д. Существует
конечное число
точек на (a , b ),
в которых
f ´(x) = 0 .
1
Е. Существует
конечное число
точек на (a , b ),
в которых
f ´(x) не
существует.
3
4
| ||
ПЕРВИЧНОЕ ОБОБЩЕНИЕ НАБЛЮДЕНИЙ
Е с л и
свойства
f(x):
,то
.
3
4
5
6
7
1
функция возрастает на
промежутке и имеет на нем производную
проходя через точку
х₀, f ´(x) меняет
знак с « - » на « + »
1
функция убывает на
промежутке и имеет
на нем производную
2
проходя через точку
х₀, f ´(x) меняет
знак с « +» на « - »
функция возрастает
на промежутке
функция убывает
на промежутке
неверно, что f ´(x) ˃ 0
неверно, что f ´(x) ˂ 0
f ´(x) ≥ 0
в точке Х₀ функция имеет экстремум
Х₀ - точка минимума функции
f ´(x) ≤ 0
Х₀ - точка
максимума функции
f ´(x₀) = 0 или f ´(x₀) не существует
2
3
4
5
6
7
П
О
М
О
Щ
Ь
свойства
f '(x):
ВТОРИЧНОЕ ОБОБЩЕНИЕ НАБЛЮДЕНИЙ
I.
Е с л и
свойства
f(x):
,то
свойства
f '(x):
.
II.
Е с л и
,то
свойства
f(x):
свойства
f '(x):
.
1
функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную
f ´(x) ≥ 0
f ´(x) ≥ 0
функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную
Утверждение верно ???
Почему ???
РАБОТА С УЧЕБНИКОМ
I ряд | II ряд | III ряд |
§44, п.1, | §44, п.2, | §44, п.2, |
Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – 4-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2007.
Среди выделенных утверждений укажите те, которые удовлетворяют одной из предложенных схем. Дайте объяснения по принятому решению.
I.
II.
III.
Е с л и
свойства
f(x):
,то
свойства
f '(x):
.
Е с л и
свойства
f '(x):
,то
свойства
f(x):
.
свойства
f(x):
тогда и только тогда,
Е с л и
когда
свойства
f '(x):
.
интегральное
исчисление
Архимед
из Сиракуз
(287г.до н.э.
-212 г. до н.э.
древнегреческий ученый
Ферма Пьер
(1601-1665)
французский математик
Исаак Ньютон
(1643-1727)
английский учёный
Жозеф Луи
Лагранж
(1736-1813)
французский математик и механик
"САМАЯ ТОНКАЯ ОБЛАСТЬ МАТЕМАТИКИ"
дифференциальное
исчисление
Готфрид
Лейбниц
(1646-1716), немецкий философ и математик.
"Без настоящих единиц не может быть и множества."
математический анализ
Штрихи к портрету
«Новый метод максимумов и минимумов»
Эпоха Просвещения Петр I Россия
Ньютон рококо
арифмометр кратер на Луне подводная лодка
«Философский век»
Петр Первый
Образец архитектуры Рококо в Германии. Дворец в Брюле.
Арифмометр Лейбница в работе.
ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ
Что выяснили?
Что сделали?
Необходимое условие
Достаточное условие
Необходимое и достаточное условие
1. Существует связь между свойствами функции (монотонность, экстремумы) и значениями производной (существование, знакопостоянство, нули).
2. Провели анализ фактов по существующей связи.
3. Провели обобщение наблюдений.
4. Познакомились с математическими «портретами».
5. Познакомились с историзмом проблемы.
6. Наибольшее практическое применение имеет обратная связь.
План
1. Изучить обратную связь.
2. Научиться её применять к решению задач.
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
1. Сделать опорный конспект (§44, п.1-2, стр. 352 – 362).
2. Ответить на вопросы:
– Почему признак возрастания (убывания) называется достаточным?
– Почему условие существования экстремума в точке называется необходимым?
3*. Объяснить «Штрихи к портрету» Лейбница: Эпоха Просвещения, Петр I, Россия, Ньютон, рококо, арифмометр, кратер на Луне, подводная лодка, «Философский век».
Дальнейших
успехов !!!
СПАСИБО!
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.