Презентация к уроку "Понятие предела функции"

П. 2.1. Понятие предела функции

П. 2.1.
Понятие предела функции

План занятия Познакомиться с понятиями: переменная величина; бесконечно малая величина; бесконечно большая величина; предел последовательности

План занятия

Познакомиться с понятиями:
переменная величина;
бесконечно малая величина;
бесконечно большая величина;
предел последовательности.
Применить новые знания при решении задач.

Задание 1 Рассмотрим функцию 𝒚𝒚= 𝟏 𝒙 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 𝟏 𝒙 𝟑

Задание 1 Рассмотрим функцию 𝒚𝒚= 𝟏 𝒙 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 𝟏 𝒙 𝟑 . 𝑫𝑫 𝒚 𝒚𝒚 𝒚 = −∞;𝟎 −∞;𝟎𝟎 −∞;𝟎 ∪ 𝟎;+∞ 𝟎𝟎;+∞ 𝟎;+∞ .

x	1	2	4	8	10	*𝟏𝟎 𝟐*	*𝟏𝟎 𝟓*	*𝟏𝟎 𝟏𝟎*
*𝒚= 𝟏 𝒙 𝟑*	1	1 8 1 1 8 8 1 8	1 64 1 1 64 64 1 64	1 512 1 1 512 512 1 512	1 1000 1 1 1000 1000 1 1000	1 10 6 1 1 10 6 10 6 10 10 6 6 10 6 1 10 6	1 10 15 1 1 10 15 10 15 10 10 15 15 10 15 1 10 15	1 10 30 1 1 10 30 10 30 10 10 30 30 10 30 1 10 30

Заметим: 𝟏 𝒙 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 𝟏 𝒙 𝟑 →𝟎𝟎 при 𝑥𝑥→+∞

Это записывают так: 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝟏 𝒙 𝟑 =𝟎. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒍𝒍𝒊𝒊𝒎𝒎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒙𝒙→+∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝟏 𝒙 𝟑 =𝟎. 𝟏 𝒙 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 𝟏 𝒙 𝟑 =𝟎𝟎. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝟏 𝒙 𝟑 =𝟎.

Говорят: пределом функции 𝒚𝒚= 𝟏 𝒙 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 𝟏 𝒙 𝟑
при x, стремящемся к +∞, является число нуль.

Задание 2 Рассмотрим функцию 𝒚𝒚= 𝟏 𝒙 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 𝟏 𝒙 𝟑

Задание 2 Рассмотрим функцию 𝒚𝒚= 𝟏 𝒙 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 𝟏 𝒙 𝟑 . 𝑫𝑫 𝒚 𝒚𝒚 𝒚 = −∞;𝟎 −∞;𝟎𝟎 −∞;𝟎 ∪ 𝟎;+∞ 𝟎𝟎;+∞ 𝟎;+∞ .

x	- 1	- 2	4	8	10	*𝟏𝟎 𝟐*	*𝟏𝟎 𝟓*	*𝟏𝟎 𝟏𝟎*
*𝒚= 𝟏 𝒙 𝟑*	- 1	- 1 8 1 1 8 8 1 8	- 1 64 1 1 64 64 1 64	- 1 512 1 1 512 512 1 512	- 1 1000 1 1 1000 1000 1 1000	- 1 10 6 1 1 10 6 10 6 10 10 6 6 10 6 1 10 6	- 1 10 15 1 1 10 15 10 15 10 10 15 15 10 15 1 10 15	- 1 10 30 1 1 10 30 10 30 10 10 30 30 10 30 1 10 30

Заметим: 𝟏 𝒙 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 𝟏 𝒙 𝟑 →𝟎𝟎 при 𝑥𝑥→−∞

Это записывают так: 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝟏 𝒙 𝟑 =𝟎. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒍𝒍𝒊𝒊𝒎𝒎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒙𝒙→−∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝟏 𝒙 𝟑 =𝟎. 𝟏 𝒙 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 𝟏 𝒙 𝟑 =𝟎𝟎. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝟏 𝒙 𝟑 =𝟎.

Говорят: пределом функции 𝒚𝒚= 𝟏 𝒙 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 𝟏 𝒙 𝟑
при x, стремящемся к −∞, является число нуль.

Задание 3 Рассмотрим функцию 𝒚𝒚= 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑

Задание 3 Рассмотрим функцию 𝒚𝒚= 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 . 𝑫𝑫 𝒚 𝒚𝒚 𝒚 = −∞;+∞ −∞;+∞ −∞;+∞ .

x	1	2	4	8	10	*𝟏𝟎 𝟐*	*𝟏𝟎 𝟓*	*𝟏𝟎 𝟏𝟎*
*𝒚= 𝒙 𝟑*	1	8	64	512	1000	10 6 10 10 6 6 10 6	10 15 10 10 15 15 10 15	10 30 10 10 30 30 10 30

Заметим: 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 →+∞ при 𝑥𝑥→+∞

Это записывают так: 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒙 𝟑 =+∞. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒍𝒍𝒊𝒊𝒎𝒎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒙𝒙→+∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒙 𝟑 =+∞. 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 =+∞. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒙 𝟑 =+∞.

Говорят: пределом функции 𝒚𝒚= 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑
при x, стремящемся к +∞, является +∞.

Задание 4 Рассмотрим функцию 𝒚𝒚= 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑

Задание 4 Рассмотрим функцию 𝒚𝒚= 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 . 𝑫𝑫 𝒚 𝒚𝒚 𝒚 = −∞;+∞ −∞;+∞ −∞;+∞ .

x	- 1	- 2	- 4	- 8	- 10	- 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎 𝟐 𝟐𝟐 𝟏𝟎 𝟐	- 𝟏𝟎 𝟓 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎 𝟓 𝟓𝟓 𝟏𝟎 𝟓	- 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎
*𝒚= 𝒙 𝟑*	- 1	- 8	- 64	− 512	- 1000	- 10 6 10 10 6 6 10 6	- 10 15 10 10 15 15 10 15	- 10 30 10 10 30 30 10 30

Заметим: 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 →−∞ при 𝑥𝑥→−∞

Это записывают так: 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒙 𝟑 =−∞. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒍𝒍𝒊𝒊𝒎𝒎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒙𝒙→−∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒙 𝟑 =−∞. 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 =−∞. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒙 𝟑 =−∞.

Говорят: пределом функции 𝒚𝒚= 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑
при x, стремящемся к −∞, является −∞.

Предел функции Рассмотрим функцию 𝒚𝒚=𝒇𝒇(𝒙𝒙) , определённую при 𝒙𝒙>𝑴𝑴 , где

Предел функцииРассмотрим функцию 𝒚𝒚=𝒇𝒇(𝒙𝒙), определённую при 𝒙𝒙>𝑴𝑴, где М – некоторое неотрицательное число.Пределом функции 𝒚𝒚=𝒇𝒇(𝒙𝒙) при 𝑥𝑥→+∞является А, если из того, что x неограниченно возрастает, следует, что соответствующие значения функции 𝒇𝒇(𝒙𝒙) стремятся к А, т.е. если 𝒇𝒇(𝒙𝒙)→А при 𝒙𝒙→+∞.Записывают так: 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒇(𝒙)=А. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒍𝒍𝒊𝒊𝒎𝒎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒙𝒙→+∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒇(𝒙)=А. 𝒇𝒇(𝒙𝒙)=А. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒇(𝒙)=А.

Предел функции Рассмотрим функцию 𝒚𝒚=𝒇𝒇(𝒙𝒙) , определённую при 𝒙𝒙<𝑴𝑴 , где

Предел функцииРассмотрим функцию 𝒚𝒚=𝒇𝒇(𝒙𝒙), определённую при 𝒙𝒙<𝑴𝑴, где М – некоторое неположительное число.Пределом функции 𝒚𝒚=𝒇𝒇(𝒙𝒙) при 𝑥𝑥→−∞является А, если из того, что x неограниченно убывает, следует, что соответствующие значения функции 𝒇𝒇(𝒙𝒙) стремятся к А, т.е. если 𝒇𝒇(𝒙𝒙)→А при 𝒙𝒙→−∞.Записывают так: 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒇(𝒙)=А. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒍𝒍𝒊𝒊𝒎𝒎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒙𝒙→−∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒇(𝒙)=А. 𝒇𝒇(𝒙𝒙)=А. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒇(𝒙)=А. В этих определениях А может быть или любым числом, или +∞, или −∞.

Пример 1 Рассмотрим функцию 𝒚𝒚= 𝟏 𝒙 𝟏𝟏 𝟏 𝒙 𝒙𝒙 𝟏 𝒙

Пример 1Рассмотрим функцию 𝒚𝒚= 𝟏 𝒙 𝟏𝟏 𝟏 𝒙 𝒙𝒙 𝟏 𝒙 . 𝑫𝑫 𝒚 𝒚𝒚 𝒚 = −∞;𝟎 −∞;𝟎𝟎 −∞;𝟎 ∪ 𝟎;+∞ 𝟎𝟎;+∞ 𝟎;+∞ .Пример 2 Рассмотрим функцию 𝒚𝒚= 𝟏 𝒙−𝟏 𝟏𝟏 𝟏 𝒙−𝟏 𝒙𝒙−𝟏𝟏 𝟏 𝒙−𝟏 +𝟐𝟐. 𝑫𝑫 𝒚 𝒚𝒚 𝒚 = −∞;𝟏 −∞;𝟏𝟏 −∞;𝟏 ∪ 𝟏;+∞ 𝟏𝟏;+∞ 𝟏;+∞ .

𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝟏 𝒙 =+∞, 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒍𝒍𝒊𝒊𝒎𝒎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒙𝒙→+∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝟏 𝒙 =+∞, 𝟏 𝒙 𝟏𝟏 𝟏 𝒙 𝒙𝒙 𝟏 𝒙 =+∞, 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝟏 𝒙 =+∞, 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝟏 𝒙 =−∞. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒍𝒍𝒊𝒊𝒎𝒎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒙𝒙→−∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝟏 𝒙 =−∞. 𝟏 𝒙 𝟏𝟏 𝟏 𝒙 𝒙𝒙 𝟏 𝒙 =−∞. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝟏 𝒙 =−∞.
𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝟏 𝒙−𝟏 +𝟐=𝟐, 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒍𝒍𝒊𝒊𝒎𝒎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒙𝒙→+∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝟏 𝒙−𝟏 +𝟐=𝟐, 𝟏 𝒙−𝟏 𝟏𝟏 𝟏 𝒙−𝟏 𝒙𝒙−𝟏𝟏 𝟏 𝒙−𝟏 +𝟐𝟐=𝟐𝟐, 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝟏 𝒙−𝟏 +𝟐=𝟐, 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝟏 𝒙−𝟏 +𝟐=𝟐. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒍𝒍𝒊𝒊𝒎𝒎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒙𝒙→−∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝟏 𝒙−𝟏 +𝟐=𝟐. 𝟏 𝒙−𝟏 𝟏𝟏 𝟏 𝒙−𝟏 𝒙𝒙−𝟏𝟏 𝟏 𝒙−𝟏 +𝟐𝟐=𝟐𝟐. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝟏 𝒙−𝟏 +𝟐=𝟐.

Пример 3 Рассмотрим функцию 𝒚𝒚= 𝒙 𝟓 𝒙𝒙 𝒙 𝟓 𝟓𝟓 𝒙 𝟓

Пример 3Рассмотрим функцию 𝒚𝒚= 𝒙 𝟓 𝒙𝒙 𝒙 𝟓 𝟓𝟓 𝒙 𝟓 . 𝑫𝑫 𝒚 𝒚𝒚 𝒚 = −∞;+∞ −∞;+∞ −∞;+∞ .

𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒙 𝟓 =+∞, 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒍𝒍𝒊𝒊𝒎𝒎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒙𝒙→+∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒙 𝟓 =+∞, 𝒙 𝟓 𝒙𝒙 𝒙 𝟓 𝟓𝟓 𝒙 𝟓 =+∞, 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒙 𝟓 =+∞, 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒙 𝟓 =−∞. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒍𝒍𝒊𝒊𝒎𝒎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒙𝒙→−∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒙 𝟓 =−∞. 𝒙 𝟓 𝒙𝒙 𝒙 𝟓 𝟓𝟓 𝒙 𝟓 =−∞. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒙 𝟓 =−∞.

Задание 5 Рассмотрим функцию 𝒚𝒚=𝒇𝒇(𝒙𝒙)

Задание 5 Рассмотрим функцию 𝒚𝒚=𝒇𝒇(𝒙𝒙). Пусть она определена в некоторой окрестности точки 𝒙𝒙=𝒂𝒂, за исключением, быть может, самой точки 𝒂𝒂, т.е. она определена для каждого 𝒙𝒙, удовлетворяющего неравенствам 𝒂𝒂−𝜹𝜹<𝒙𝒙<𝒂𝒂+𝜹𝜹 при некотором 𝜹𝜹>𝟎𝟎 , за исключением, быть может, самой точки 𝒂𝒂.Пределом функции 𝒚𝒚=𝒇𝒇(𝒙𝒙) в точке 𝒂𝒂 является А, если из того, что 𝒙𝒙→𝒂𝒂, оставаясь в окрестности точки, следует, что соответствующие значения функции 𝒇𝒇(𝒙𝒙) стремятся к А, т.е. если 𝒇𝒇(𝒙𝒙)→𝒂𝒂 при 𝒙𝒙→𝒂𝒂.Записывают так: 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙)=А. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂 𝒍𝒍𝒊𝒊𝒎𝒎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂 𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙)=А. 𝒇𝒇(𝒙𝒙)=А. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙)=А. В этом определении А может быть или любым числом, или +∞, или −∞.

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

21.09.2020