презентация к уроку вероятноть и статистика в 9 классе "Успех и неудача. Испытание Бернулли"

Успех и неудача. Испытания до первого успеха.

Домашнее задание
П 64. №213, 214, 215а

Решаем устно

Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность, что при первом броске выпало 6 очков, а при втором броске выпало 4 очка.

Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность, что при первом броске выпало 6 очков, а при втором броске выпало больше 2 очков.

Решаем устно

При изготовлении подшипников диаметром 65мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного более чем на 0,01мм, равна 0,03. Найти вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр в пределах от 64, 99мм до 65, 01мм

Испытанием Бернулли называют случайный опыт, который может закончиться одним из двух элементарных событий.

Стрельба по мишени: попадание или промах
Бросок монеты: орёл или решка
Сдача экзамена: сдал или не сдал

Можно ли считать испытанием Бернулли:
Игру в шахматы, прогноз погоды, движение автомобиля после остановки на перекрестке.

Якоб Бернулли

Испытания с двумя исходами названы в честь Якоба Бернулли, швейцарского математика XVII века, который проанализировал их в своей работе «Искусство предположения» 

УСПЕХ И НЕУДАЧА

Одно из двух элементарных событий в таких опытах условно называют успехом, а другой — неудачей.
Успех и неудача – два противоположных события.
Вероятность успеха обычно обозначают буквой р.
Вероятность неудачи обозначают q.
Числа р и q положительные, при этом p + q= 1.

Задание

Таня бросила кубик, загадав, что выпадет больше 4 очков.
Является ли этот эксперимент испытанием Бернулли?
Что является успехом, а что является неудачей в этом эксперименте?
Найдите р и q

Свойства испытания Бернулли

Серия испытаний Бернулли должна обладать следующими свойствами:
Эксперимент состоит из n повторных попыток. Число n может быть любым.
Вероятность успеха одинакова для каждого испытания.
Каждое испытание является независимым.

Успех и неудача

Успех — это событие, которое мы рассматриваем как главное в нашем эксперименте, то, что мы хотим получить в результате.
Неудача — это событие противоположное успеху, которое не соответствует нашим ожиданиям. Т.е. всё, что не является успехом.
Вероятность успеха обозначается как p, а вероятность неудачи — как q . При этом q = 1 - p.

Число успехов

Подбрасывание монеты

Вывод: если n – количество испытаний, то 2n - количество элементарных событий.

Пример 1: Подбрасывание монеты

Например, успешным результатом является выпадение орла, а неудача в таком случае выпадение решки.
Чтобы эксперимент стал настоящей серией испытаний Бернулли, нужно выполнить ряд условий:
Провести n экспериментов, например, 5;
Монета может упасть только на орел или решку, т.е. результатом эксперимента может быть только «успех» или «неудача»;
Так как «успех» это выпадение орла, то вероятность «успеха» одинакова для каждого испытания и составляет ровно 0.5;
Испытания независимы друг от друга, так как результат одного подбрасывания монеты никак не влияет на любые другие результаты подбрасывания монеты.

Испытания до первого успеха

Когда мы говорим о «испытаниях до первого успеха», мы имеем в виду последовательность независимых испытаний, которые продолжаются до тех пор, пока не произойдет первый успех.
Предположим, мы бросаем шестигранный кубик и хотим узнать, сколько бросков нам потребуется, чтобы получить число 6 («успех», обозначим буквой «У»). Вероятность получения 6 при одном броске равна p = ⅙ , а вероятность получения любого другого числа («неудача», обозначим как «Н») равна q = ⅚ .
Если мы бросаем кубик несколько раз, то количество бросков до первого успеха может варьироваться, например, если в первом броске выпало 6, то нам потребовался 1 бросок, а если в первых двух бросках выпали 1 и 2, а в третьем — 6, то нам потребовалось 3 броска. Из которых 2 «неудачных», а один «успешный».
Таким образом, вероятность того, что 3 бросок будет «успешным» вычисляется следующим образом:
P(ННУ) = q∙q∙p=q2∙p = 5 6 5 5 6 6 5 6 ∙ 5 6 5 5 6 6 5 6 ∙ 1 6 1 1 6 6 1 6

Лотерея

Представим, что вы участвуете в лотерее, где вероятность выиграть («успех») составляет p = 0.01 (1%). Вы покупаете билет каждый раз до тех пор, пока не выиграете. Вероятность того, что вам потребуется n билетов для выигрыша, можно рассчитать по формуле:
P(n) = qⁿ⁻¹ ⋅ p
где q = 1 - p .
Например, если вам нужно 3 билета для выигрыша, то:
P(ННУ) = (0.99)² ⋅ (0.01) = 0.9801 ⋅ 0.01 = 0.009801

Стрельба по мишени стрелка

Если необходимо определить вероятность успеха хотя бы в одном из n испытаний, то расчёт можно произвести по формуле
P = 1-qⁿ
Так как единственный исход, который нас «не устраивает» - это неуспех во всех n испытаниях. Рассмотрим пример:
Вероятность того, что стрелок попадет в цель при одном выстреле, равна 0.7. Производится пять независимых выстрелов. Какова вероятность того, что в мишени окажется хотя бы одна пробоина?
Вероятность успеха равна p=0.7, а соответственно неудачи q=1-p=0.3. Количество испытаний равно n=5. Тогда P = 1-q5= 1-0.35=0.998

Задача

Стрелок попадает по мишени с вероятностью 0,6. Он делает 3 выстрела. Найдите вероятность события «Стрелок попал с третьего выстрела»

Задача про игральный кубик

Коля бросает игральный кубик, пока не выпадет 6. Найти вероятность того, что это произойдёт на пятом броске.

Может ли череда неудач длиться вечно?

Давайте проверим, можно ли проводя серию испытаний до первого успеха так его и не дождаться? Для этого необходимо сначала сложить вероятности всех возможных событий в бесконечном числе испытаний, которые приводят к успеху (успех наступит в первом испытании или во втором или в третьем или в 1070 и т.д.):
p+q¹⋅p+q2⋅p+…+ q1069⋅p+…+ qk⋅p+…
Можно заметить, что сумма выше – это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с знаменателем q. Сумма такой геометрической прогрессии равна
S=p/(1-q)=p/p=1
Так как сумма всех событий, которые приводят к успеху равна единице, то для абсолютной неудачи просто не остаётся места, её вероятность равна нулю. Следовательно, успех рано или поздно будет достигнут!

Формула Бернулли

Формула Бернулли позволяет рассчитать вероятность наступления успеха некоторое определённое k-ое количество раз, если было проведено n независимых испытаний:


где - число элементарных событий с k успехами,

Пример :Формула Бернулли

Стрелок производит 4 выстрела, вероятность попадания при каждом из них равна p=0,85. Найти вероятность того, что: стрелок попадёт 2 раза.
Решение:
Вероятность успеха составляет p=0,85, а неудачи соответственно q=1-p=0.15. Всего испытаний n=4, а количество необходимых успехов k=2. Тогда, пользуясь формулой Бернулли

Заключение

В этом уроке мы рассмотрели основные понятия, связанные с испытаниями Бернулли, успехом и неудачей. Мы также изучили, как можно применять эти знания в реальных ситуациях, таких как бросок кубика, участие в лотерее или спортивных состязаниях по стрельбе. Понимание этих концепций поможет вам лучше ориентироваться в мире вероятностей и принимать более осознанные решения в повседневной жизни.

Успех и неудача. Испытания до первого успеха

Домашнее задание
П 64. №213, 214, 215а

Яков Бернулли родился 27 декабря 1654г., умер 16 августа 1705г. Отец прочил Якова в священнослужители, и ему пришлось изучать в университете философию, богословие. Бернулли знал много языков: немецкий, французский, английский, итальянский, латинский, греческий. Изучение богословия шло успешно. Яков стал пользоваться известной популярностью как проповедник. Но его влекло к математике. Отец не допускал отступления от намеченного плана, поэтому Яков вынужден был заниматься математикой тайком, без учителя и почти без учебников. Обучение в университете шло своим чередом, и в 1671г. он получил степень магистра философии.
ДОСТИЖЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Наиболее значительные достижения Якова в развитии анализа бесконечно малых, теории рядов, вариационного исчисления и теории вероятностей.
Совместно с братом  Иоганном положил начало вариационному исчислению. Выдвинул и частично решил изопериметрическую задачу и задачу о брахистохроне, или кривой быстрейшего спуска, поставленную братом Иоганном.
В труде "Искусство предложения" Яков в 1713г. решил некоторые задачи комбинаторики; открыл числа, позднее названные числа Бернулли; доказал так называемую теорему Бернулли - частный случай закона больших чисел, имеющего большое значение в теории вероятностей и ее приложениях к статистике; построил математическую модель для описания серии независимых испытаний (схема Бернулли). Благодаря его работам теория вероятностей приобрела важнейшее значение в практической деятельности.