Стереометрия задание №8 ЕГЭ-2021 (профильный уровень)
Стереометрия задание №8 ЕГЭ-2021 (профильный уровень)
Потехина Ольга Михайловна
учитель высшей категории
МБОУ «Ивановская СОШ»
Рыльского района
Курской области
2021
За это задание можно получить 1 балл
За это задание можно получить 1 балл.
На решение дается около 5 минут.
Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 66.7%
Ответом к заданию 8 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Типы задач Куб Прямоугольный параллелепипед
Типы задач
Куб
Прямоугольный параллелепипед
Призма
Пирамида
Цилиндр
Конус
Шар
Составные многогранники
Площадь поверхности многогранников
Объём многогранников
Комбинации тел
Повторить Формулы для вычисления объемов и площадей поверхности многогранников (призмы, пирамиды… ) и тел вращения (цилиндра, конуса и шара)
Повторить
Формулы для вычисления объемов и площадей поверхности многогранников (призмы, пирамиды… ) и тел вращения (цилиндра, конуса и шара)
Формулы для вычисления площадей
Формулы для вычисления площадей
Ответ: 27 Решение : Задача №1 Во сколько раз увеличится объём куба, если его ребро увеличить в три раза?
Ответ: 27
Решение :
Задача №1
Во сколько раз увеличится объём куба, если его ребро увеличить в три раза?
Объём куба выражается формулой 𝑽= 𝒂 𝟑
Если ребро куба увеличить в три раза, то 𝑽= (𝟑𝒂) 𝟑
Отсюда получаем, что объём увеличится в 27 раз.
Задача №2 Площадь поверхности куба равна 18
Задача №2
Площадь поверхности куба равна 18.
Найдите его диагональ.
𝒂𝒂 = 𝑆 6 𝑆 6 𝑆 6 𝑆𝑆 𝑆 6 6 𝑆 6 𝑆 6 = 18 6 18 6 18 6 18 18 6 6 18 6 18 6 = 3 3 3 3
Площадь поверхности куба 𝑺=𝟔𝒂 𝟐 Площадь поверхности куба 𝑺𝑺=𝟔𝟔𝒂𝒂 Площадь поверхности куба 𝑺=𝟔𝒂 𝟐 𝟐𝟐 Площадь поверхности куба 𝑺=𝟔𝒂 𝟐
a
a
a
Диагональ куба 𝒅𝒅= 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝒂𝒂
𝒅= 𝟑 ∙ 𝟑 =𝟑
Ответ:𝟑
Задача №3 Объём куба равен 8.
Задача №3
Объём куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.
Решение :
Площадь поверхности куба 𝑺=𝟔 𝒂 𝟐
Объём куба выражается формулой 𝑽= 𝒂 𝟑
Поэтому 𝒂 𝟑 =𝟖,отсюда 𝒂=𝟐, 𝑺=𝟔∙ 𝟐 𝟐 =𝟐𝟒
Ответ: 24
а
а
а
Ответ: 2 Решение : Задача №4 Если ребро куба увеличить на 1, то его объём увеличится на 19
Ответ: 2
Решение :
Задача №4
Если ребро куба увеличить на 1, то его объём увеличится на 19. Найдите ребро куба
Объём куба выражается формулой 𝑽= 𝒂 𝟑
𝑽− 𝑽 𝟎 = 𝒂+𝟏 𝟑 − 𝒂 𝟑 =𝟑 𝒂 𝟐 +𝟑𝒂+𝟏
Поэтому при увеличении ребра куба на 1
объём куба будет 𝑽= (𝒂+𝟏) 𝟑
𝟑 𝒂 𝟐 +𝟑𝒂+𝟏𝟖=𝟎,
𝒂 𝟐 +𝒂+𝟔=𝟎
𝒂 𝟏 =𝟐 и 𝒂 𝟐 =−𝟑
Решим уравнение 𝟑 𝒂 𝟐 +𝟑𝒂+𝟏=𝟏𝟗
Задача №5 Если ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54
Задача №5
Если ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.
Площадь поверхности куба 𝑺 𝟎 =𝟔 𝒂 𝟐 ,
Поэтому при увеличении ребра на 1
площадь поверхности куба будет 𝑺=𝟔 (𝒂+𝟏) 𝟐
𝑺−𝑺 𝟎 =𝟔 (𝒂+𝟏) 𝟐 −𝟔 𝒂 𝟐 =𝟔 𝒂 𝟐 +𝟏𝟐𝒂+𝟔−𝟔 𝒂 𝟐 =𝟏𝟐𝒂+𝟔
𝟏𝟐𝒂+𝟔=𝟓𝟒, 𝒂=𝟒
Решение :
Ответ: 4
Ответ: 9 Решение : Задача №6 Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза?
Ответ: 9
Решение :
Задача №6
Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза?
Площади подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому при увеличении ребра в три раза, площадь поверхности увеличится в 9 раз.
Ответ: 5 Решение : Задача №7 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4
Ответ: 5
Решение :
Задача №7
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4 . Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.
Площадь поверхности параллелепипеда с ребрами 𝒂 𝟏 , 𝒂 𝟐 , 𝒂 𝟑 равна 𝑺=𝟐( 𝒂 𝟏 𝒂 𝟐 + 𝒂 𝟏 𝒂 𝟑 + 𝒂 𝟐 𝒂 𝟑 )
Подставляя известные величины из условия, получаем 𝟐 𝟑∙𝟒+𝟑 𝒂 𝟑 +𝟒 𝒂 𝟑 =𝟗𝟒,
𝟕 𝒂 𝟑 +𝟏𝟐=𝟒𝟕,
𝒂 𝟑 =𝟓
Ответ: 60 Решение : Задача №8 В кубе 𝑨𝑩𝑪𝑫 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 точка 𝑲– середина ребра𝑨 𝑨 𝟏 , точка…
Ответ: 60
Решение :
Задача №8
В кубе 𝑨𝑩𝑪𝑫 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 точка 𝑲– середина ребра𝑨 𝑨 𝟏 , точка 𝑳– середина ребра 𝑨 𝟏 𝑫 𝟏 , точка 𝑴– середина ребра 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 . Найдите угол 𝑴𝑳𝑲. Ответ дайте в градусах.
Треугольник MLK –сечение куба. Его стороны KL=KM=LM как гипотенузы равных прямоугольных треугольников 𝑨 𝟏 𝑲𝑴, 𝑲𝑳 𝑨 𝟏 и 𝑳 𝑨 𝟏 𝑴, которые равны друг другу по двум катетам. Таким образом, треугольник MLK является равносторонним. Поэтому угол MLK равен 𝟔𝟎 𝟎
Ответ: 24 Решение : Задача №9 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 2
Ответ: 24
Решение :
Задача №9
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 2 . Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.
Пусть третье ребро, исходящее из той же вершины равна x, тогда площадь поверхности параллелепипеда 𝑺=𝟐 𝟏∙𝟐+𝟏∙𝒙+𝟐∙𝒙 =𝟔𝒙+𝟒.
По условию 𝑺=𝟏𝟔, 𝟔𝒙+𝟒=𝟏𝟔, 𝒙=𝟐
Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда равна квадратному корню из суммы квадратов его измерений, поэтому 𝒅= 𝟏 𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 =𝟑
d
Ответ: 48 Решение : Задача №10
Ответ: 48
Решение :
Задача №10
Объём прямоугольного параллелепипеда 𝑽=𝑺𝒉.
Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объём параллелепипеда.
Где 𝑺 – площадь грани, а – высота перпендикулярного к ней ребра.
𝑽=𝑺𝒉=𝟏𝟐∙𝟒=𝟒𝟖.
Задача 1. объём куба равен 12
Задача 1. объём куба равен 12 . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.
Задача №11-12
Задача 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Задача №13 Найдите объём многогранника, изображенного на рисунке(все двугранные углы прямые)
Задача №13
Найдите объём многогранника, изображенного на рисунке(все двугранные углы прямые)
Решение :
𝑉= 𝑉 1 + 𝑉 2 + 𝑉 3 =5∙3∙2+2∙3∙2+5∙3∙3=30+12+45=87
Ответ: 87
Задача №14 Решение : Ответ: 9 Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?
Задача №14
Решение :
Ответ: 9
Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?
Октаэдр представляет собой две сложенные вместе четырехугольные пирамиды.
Так как ребро увеличили в 3 раза, то площадь увеличиться в 9 раз.
Задача №15 Решение : Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире
Задача №15
Решение :
Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объему первой.
𝑉 1 =𝜋 𝑅 2 ℎ
𝑉 2 =𝜋 (2𝑅) 2 1 2 ℎ=2𝜋 𝑅 2 ℎ
𝑉 2 𝑉 1 =2
Ответ: 2
Задача №16 В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду
Задача №16
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 12 см. На какой высоте будет находится уровень воды, если её перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? Ответ выразить в сантиметрах.
Другой сосуд тоже имеет форму правильной треугольной призмы, то есть в его основании – правильный треугольник, у которого стороны в два раза больше, чем у первого. Треугольники подобны, а значить площадь второго треугольника будет в 4 раза больше. Объём воды не меняется, значит в 4 раза уменьшится высота.
Ответ: 3
Задача №17 Решение : Ответ: 8 Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру
Задача №17
Решение :
Ответ: 8
Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.
Высота маленькой призмы такая же как и у большой. Основания призм –подобные треугольники, коэффициент подобия 1 2 1 1 2 2 1 2 (вспомнить свойство средней линии треугольника), а значить площадь основания маленькой призмы в 4 раза меньше.
Ответ:71, 110 Решение : Задача №18
Ответ:71, 110
Решение :
Задача №18
Найдите объём и площадь поверхности многогранника.
𝑉 1 =5∙5∙3=75
𝑉 2 𝑉𝑉 𝑉 2 2 𝑉 2 =2∙2∙1=4
𝑉=𝑉 1 𝑉𝑉=𝑉𝑉 𝑉=𝑉 1 1 𝑉=𝑉 1 − 𝑉 2 𝑉𝑉 𝑉 2 2 𝑉 2 =75−4=71
𝑆𝑆=2∙5∙5+4∙5∙3=110
Ответ: 92 Решение : Задача №19
Ответ: 92
Решение :
Задача №19
Найдите площадь поверхности многогранника
𝑆=2∙4∙3+2∙5∙3+2∙5∙4−2∙1=92
Ответ: 96 Решение : Задача №19
Ответ: 96
Решение :
Задача №19
Найдите площадь поверхности многогранника.
𝑆 2 𝑆𝑆 𝑆 2 2 𝑆 2 =2∙5∙7+2∙7∙1+2∙5∙1=70+14+10=94
𝑆 1 =2∙1∙1+2∙1∙2=6
S= 𝑆 2 𝑆𝑆 𝑆 2 2 𝑆 2 + 𝑆 1 𝑆𝑆 𝑆 1 1 𝑆 1 −2∙2∙1=94+6−4=96
Площадь поверхности данного многогранника равна сумме площадей большого и маленького многогранников без площади поверхности передней и задней граней маленького многогранника и «окошечка» на передней и задней грани большого многогранника.
Ответ: 4 Решение : Задача №20 Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1
Ответ: 4
Решение :
Задача №20
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1 . Найдите объем параллелепипеда.
Высота цилиндра равна высоте параллелепипеда. Круг вписан в прямоугольник. Прямоугольник-есть квадрат, а его сторона в два раза больше, чем радиус вписанной в него окружности.
1
𝑉=2∙2∙1=4
Ответ: 100 Решение : Задача №21
Ответ: 100
Решение :
Задача №21
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны 4. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. В ответ запишите объём цилиндра V/𝝅.
Высота цилиндра равна боковому ребру призмы, то есть 4. Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Гипотенуза этого треугольника является диаметром окружности. Радиус окружности равен половине диаметра. Гипотенузу находим по теореме Пифагора, она рана 10, тогда радиус основания цилиндра равен 5.
𝑉=𝜋 𝑅 2 ℎ
𝑉
𝑉 𝜋 = 𝑅 2 ℎ=25∙4=100
Ответ: 512 Решение : Задача №22
Ответ: 512
Решение :
Задача №22
В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса 4. Найдите объем параллелепипеда.
Так как шар вписан в прямоугольный параллелепипед, прямоугольный параллелепипед-это куб. Ребро куба в два раза больше, чем радиус шара.
𝑉= 𝑎 3 = 8 3 =512
Задача №23 Решение : Вершина A куба
Задача №23
Решение :
Вершина A куба ABCD 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝟏𝟏 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑩𝑩 𝑩 𝟏 𝟏𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑪𝑪 𝑪 𝟏 𝟏𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 𝑫𝑫 𝑫 𝟏 𝟏𝟏 𝑫 𝟏 c ребром 1,6 является центром сферы, проходящей через точку 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝟏𝟏 𝑨 𝟏 . Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину 𝑺 𝝅 𝑺𝑺 𝑺 𝝅 𝝅𝝅 𝑺 𝝅 .
Так как ребро куба равно радиусу сферы, в кубе содержится 1 8 1 1 8 8 1 8 части сферы, и соответственно, 1 8 1 1 8 8 1 8 её поверхности, равная
1 8 𝑆= 1 8 ∙4𝜋 𝑅 2 = 𝜋 2 ∙ 1,6 2 =1,28𝜋
Ответ: 1,28
Задача №24 Решение : Ответ: 9,5
Задача №24
Решение :
Ответ: 9,5
Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Так как вершина многогранника по условию –середины ребер, то MN, MP, PN- среднии линии. ∆ 𝑀𝑀𝑁𝑁𝑃𝑃~∆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶. Значит коэффициент подобия равен 1 2 1 1 2 2 1 2 .
𝑉 𝑆𝑁𝑀𝑃 𝑉 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 1 2 3 = 1 8
Чтобы получить искомую фигуру, надо от тетраэдра отделить 4 одинаковые пирамиды.
𝑉 октаэдра = 𝑉 𝑆𝐴𝐵𝐶 −4 𝑉 𝑆𝑀𝑁𝑃 = 𝑉 𝑆𝐴𝐵𝐶 −4∙ 1 8 ∙ 𝑉 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 1 2 𝑉 𝑆𝐴𝐵𝐶
S
N
M
P
Задача №23 Решение : Ответ: 937,5
Задача №23
Решение :
Ответ: 937,5
Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. Радиус цилиндра равен 15, высота равна 5. В ответе укажите 𝑽 𝝅
Вырезан кусок с углом 60 0 60 60 0 0 60 0 . Это 1 6 1 1 6 6 1 6 полного круга, значит, от всего объёма осталось 5 6 5 5 6 6 5 6 .
𝑉=𝜋 𝑅 2 ℎ
𝑉𝑉=𝜋𝜋 ∙15 2 ∙15 ∙15 2 2 ∙15 2 ∙5=𝜋𝜋∙1125
𝑉 𝜋 = 5 6 ∙1125=937,5
Задача №24 Решение : Ответ: 1,5
Задача №24
Решение :
Ответ: 1,5
Объем параллелепипеда равен 9. Найдите объём треугольной пирамиды ABDA1.
𝑉 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐷 1 = 𝑆 о ℎ
𝑉 𝐴𝐵𝐷 𝐴 1 = 1 3 𝑆 о ℎ
Если у параллелепипеда и пирамиды основания и высоты одинаковые, то объём цилиндра в 3 раза больше объёма пирамиды. У данной пирамиды площадь основания в два раза меньше, значит её объем в 6 раз меньше объёма параллелепипеда.
Задача №25 Решение : Ответ: 12
Задача №25
Решение :
Ответ: 12
Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объём которого равен сумме их объёмов.
𝑉= 4 3 𝜋 𝑅 3
4 3 𝜋 𝑅 3 = 4 3 𝜋 6 3 + 4 3 𝜋 8 3 + 4 3 𝜋 10 3
𝑅 3 =1728, 𝑅= 2 6 ∙ 3 3 =12
Задача №26 Ответ: 3 Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объём равен 𝟑
Задача №26
Ответ: 3
Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объём равен 𝟑 .
В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник
𝑆 0 𝑆𝑆 𝑆 0 0 𝑆 0 = 1 2 1 1 2 2 1 2 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 sin 60 0 sin sin 60 0 60 0 60 60 0 0 60 0 sin 60 0 = 3 3 3 3
𝑉= 1 3 𝑆 𝑜 ℎ
ℎ= 3𝑉 𝑆 𝑜 = 3 3 3 =3
Решение :
Задача №27 Ответ: 1 Найдите объем конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов
Задача №27
Ответ: 1
Найдите объем конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. В ответе укажите 𝑽 𝝅 𝑽𝑽 𝑽 𝝅 𝝅𝝅 𝑽 𝝅
Решение :
Угол между прямой (образующей) и плоскостью-это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость, обозначим его AOD
A
D
∆𝐴𝐴𝑂𝑂𝐷𝐷 прямоугольный, AD=2, угол ADO= 30 0 30 30 0 0 30 0 , АО=1, OD=R= 3 3 3 3
𝑉= 1 3 𝑆 𝑜 ∙ℎ
𝑉 𝜋 𝑉𝑉 𝑉 𝜋 𝜋𝜋 𝑉 𝜋 = 1 3 𝜋 3 2 ∙1 1 3 1 1 3 3 1 3 𝜋𝜋 3 2 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 2 ∙1 1 3 𝜋 3 2 ∙1 ÷𝜋𝜋=1
Задача №28 Ответ: 18 Решение :
Задача №28
Ответ: 18
Решение :
Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со стороной 2, а боковые ребра равны 𝟐 𝟑 и наклонены к плоскости основания под углом 30 градусов.
Так как в основании лежат правильные шестиугольники, то все сторона у них равны и все углы равны. Чтобы найти площадь основания, разобьём его на 6 одинаковых равносторонних треугольников.
𝑆𝑆∆= 1 2 1 1 2 2 1 2 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 sin 60 0 = 3 sin sin 60 0 = 3 60 0 60 60 0 0 60 0 = 3 3 3 3 sin 60 0 = 3
𝑆 0 =6 3
Найдем высоту CH из ∆𝐴𝐴𝐶𝐶𝐻𝐻, СH= 1 2 1 1 2 2 1 2 𝐴𝐴𝐶𝐶= 3 3 3 3
𝑉𝑉= 𝑆 𝑜 𝑆𝑆 𝑆 𝑜 𝑜𝑜 𝑆 𝑜 ℎ=18
Задача №29 Ответ: 0,5 Решение :
Задача №29
Ответ: 0,5
Решение :
Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 𝟐 и образует углы 30,30 и 45 градусов с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объём параллелепипеда.
Угол между прямой и плоскостью-это угол между прямой и её проекцией на данную плоскость.
Проекция диагонали B 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 на нижнее основание –BD. Пусть угол DB 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 = 45 0 45 45 0 0 45 0
∆𝐷𝐷𝐵𝐵 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 : 𝐷𝐷 1 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷 1 1 𝐷𝐷 1 =𝐵𝐵 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 ∙ sin 45 0 = 2 ∙ 2 2 sin sin 45 0 = 2 ∙ 2 2 45 0 45 45 0 0 45 0 = 2 2 2 2 ∙ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 45 0 = 2 ∙ 2 2 =1
Проекция диагонали B 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 на переднюю грань – А 1 А А 1 1 А 1 B. Пусть угол А 1 А А 1 1 А 1 B 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 = 30 0 30 30 0 0 30 0 .
∆ А 1 А А 1 1 А 1 𝐵𝐵 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 : А 1 𝐷 1 А 1 А А 1 1 А 1 𝐷𝐷 А 1 𝐷 1 1 А 1 𝐷 1 =𝐵𝐵 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 ∙ sin 30 0 = 2 ∙ 1 2 sin sin 30 0 = 2 ∙ 1 2 30 0 30 30 0 0 30 0 = 2 2 2 2 ∙ 1 2 1 1 2 2 1 2 sin 30 0 = 2 ∙ 1 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
∆ С 1 С С 1 1 С 1 𝐵𝐵 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 : С 1 𝐷 1 С 1 С С 1 1 С 1 𝐷𝐷 С 1 𝐷 1 1 С 1 𝐷 1 =𝐵𝐵 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 ∙ sin 30 0 = 2 ∙ 1 2 sin sin 30 0 = 2 ∙ 1 2 30 0 30 30 0 0 30 0 = 2 2 2 2 ∙ 1 2 1 1 2 2 1 2 sin 30 0 = 2 ∙ 1 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
𝑉=𝑎𝑏𝑐= 1 2 =0,5
Задача №30 Ответ: 4,5 Решение :
Задача №30
Ответ: 4,5
Решение :
Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объём пирамиды.
Удобнее считать основание ∆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐷𝐷 (прямоугольный треугольник).
𝑆 𝑜 =𝑆 𝐴𝐵𝐷 𝑆 𝑜 𝑆𝑆 𝑆 𝑜 𝑜𝑜 𝑆 𝑜 =𝑆𝑆 𝑆 𝑜 =𝑆 𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐷𝐷 𝑆 𝑜 =𝑆 𝐴𝐵𝐷 = 1 2 1 1 2 2 1 2 𝐴𝐴𝐷𝐷∙𝐷𝐷𝐵𝐵= 9 2 9 9 2 2 9 2 =4,5
CD- высота пирамиды, 𝑉𝑉= 1 3 1 1 3 3 1 3 𝑆 𝑜 𝑆𝑆 𝑆 𝑜 𝑜𝑜 𝑆 𝑜 ℎ
𝑉=4,5
Задача №31 Ответ: 6 Решение : Объём треугольной пирамиды
Задача №31
Ответ: 6
Решение :
Объём треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SADCDEF, равен 1. Найдите объём шестиугольной пирамиды.
У треугольной и шестиугольной пирамид одинаковые высоты, поэтому объёмы относятся как площади их оснований. Площадь оснований треугольной пирамиды будет в 6 раз меньше, чем у шестиугольной.
Задача №32 Решение : Ответ: 2 Куб вписан в шар радиуса 𝟑
Задача №32
Решение :
Ответ: 2
Куб вписан в шар радиуса 𝟑 . Найдите объем шара
Диаметр шара, описанного около куба, совпадает с его диагональю и вдвое больше радиуса. Поэтому диагональ куба равна 2 3 3 3 3 . Если ребро куба равно а, то диагональ куба а 3 3 3 3 . Значит, ребро куба равно 2, а его V=8
Задача №33 Решение : Ответ: 6 Около конуса описана сфера( сфера содержит основания конуса и его вершину)
Задача №33
Решение :
Ответ: 6
Около конуса описана сфера( сфера содержит основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 𝟕 𝟐 . Найдите радиус сферы
А
В
О
Задача №34 Решение : Ответ: 36
Задача №34
Решение :
Ответ: 36
Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, раиус основания равен 𝟐 𝟑 , а высота равна 2.
Высота призмы такая же как и у цилиндра. В основании правильной призмы лежит правильный треугольник. Сторону треугольника выразим через радиус описанной окружности
𝑎𝑎= 3 3 3 3 𝑟𝑟=2 3 3 3 3 3 3 3 3 =6
𝑆 бок. п. =𝑃ℎ
𝑆 б.п. =3∙6∙2=36
Спасибо за внимание
Спасибо за внимание
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
