Поделиться
Некоторые свойства прямоугольных треугольников.pptx
Некоторые свойства прямоугольных
треугольников
Гипотенуза
Катет
Катет
Сумма углов треугольника равна 180°.
∠ А + ∠ В + ∠ С = 180°
Свойство 1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Доказательство.
∠ С = 90°.
Так как ∠ А + ∠ В + ∠ С = 180°,
то ∠ А + ∠ В = 180° – ∠ С ,
∠ А + ∠ В = 90°.
Что и требовалось доказать.
Свойство 2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Доказательство.
А
С
В
30°
D
60°
30°
60°
Пусть ∆ АВС – прямоугольный,
∠ С = 90°,
∠ A = 30°,
тогда ∠ В = 60°.
Докажем, что ВС = 1 2 1 1 2 2 1 2 АВ.
∆ АВD – равносторонний,
ВD = AB.
ВС = 1 2 1 1 2 2 1 2 ВD.
Следовательно, ВС = 1 2 1 1 2 2 1 2 АВ.
Что и требовалось доказать.
Свойство 3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Доказательство.
А
С
В
D
Пусть ∆ АВС – прямоугольный,
ВС = 1 2 1 1 2 2 1 2 АВ.
∆ АВD – равносторонний,
∠ ВАD = 60°.
∠ ВАD = 2∠ ВАC.
Следовательно, ∠ ВАC = 30°.
30°
Что и требовалось доказать.
Задача. Сумма гипотенузы и катета, лежащего против угла в 30°, равна 15 см. Найдите длину гипотенузы.
Решение.
∠ A = 30°,
ВС + АВ = 15 см.
АВ = 2ВС.
Получаем 2ВС + ВС = 15 см,
3ВС = 15 см,
ВС = 5 см.
Следовательно, АВ = 10 см.
Ответ: 10 см.
30°
Задача. В прямоугольном треугольнике АВС градусная мера ∠ С равна 90°, а ∠ ВАС равен 60°. Найдите длину катета ВС, если высота СD треугольника АВС равна 5 см.
Решение.
А
С
В
60°
∆ АВС – прямоугольный.
∠ AСВ = 90°,
∠ ВAС = 60°,
∠ AВС = 90° – 60°,
∠ AВС = 30°.
∆ ВСD – прямоугольный (СD – высота).
D
30°
∠ СВD = 30°.
Следовательно, ВС = 2·5 см = 10 см.
Ответ: 10 см.
Задача. Отрезок СD – высота прямоугольного треугольника АВС с прямым ∠ С, ВС равняется 2ВD. Докажите, что сторона АВ равна 4ВD.
Доказательство.
А
С
В
D
∆ ВСD – прямоугольный.
∠ ВCD = 30°,
так как ВС = 2ВD.
∠ АCВ = 90°,
30°
30°
Так как СD – высота,
то ∆ АСD – прямоугольный,
∠ CАD = 30°.
∆ АВС:
∠ ВАС = 30°.
Следовательно, АВ = 2ВС.
Получаем, что АВ = 4BD.
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
