Презентация на тему "Некоторые свойства прямоугольных треугольников"

Сумма углов треугольника равна 180°.

∠ А + ∠ В + ∠ С = 180°

Свойство 1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

∠ С = 90°.

Так как ∠ А + ∠ В + ∠ С = 180°,

то ∠ А + ∠ В = 180° – ∠ С ,

∠ А + ∠ В = 90°.

Что и требовалось доказать.

Свойство 2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

30°

60°

30°

60°

Пусть ∆ АВС – прямоугольный,

∠ С = 90°,

∠ A = 30°,

тогда ∠ В = 60°.

Докажем, что ВС = 1 2 1 1 2 2 1 2 АВ.

∆ АВD – равносторонний,

ВD = AB.

ВС = 1 2 1 1 2 2 1 2 ВD.

Следовательно, ВС = 1 2 1 1 2 2 1 2 АВ.

Что и требовалось доказать.

Свойство 3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Пусть ∆ АВС – прямоугольный,

ВС = 1 2 1 1 2 2 1 2 АВ.

∆ АВD – равносторонний,

∠ ВАD = 60°.

∠ ВАD = 2∠ ВАC.

Следовательно, ∠ ВАC = 30°.

30°

Что и требовалось доказать.

Задача. Сумма гипотенузы и катета, лежащего против угла в 30°, равна 15 см. Найдите длину гипотенузы.

∠ A = 30°,

ВС + АВ = 15 см.

АВ = 2ВС.

Получаем 2ВС + ВС = 15 см,

3ВС = 15 см,

ВС = 5 см.

Следовательно, АВ = 10 см.

Ответ: 10 см.

30°

Задача. В прямоугольном треугольнике АВС градусная мера ∠ С равна 90°, а ∠ ВАС равен 60°. Найдите длину катета ВС, если высота СD треугольника АВС равна 5 см.

60°

∆ АВС – прямоугольный.

∠ AСВ = 90°,

∠ ВAС = 60°,

∠ AВС = 90° – 60°,

∠ AВС = 30°.

∆ ВСD – прямоугольный (СD – высота).

30°

∠ СВD = 30°.

Следовательно, ВС = 2·5 см = 10 см.

Ответ: 10 см.

Задача. Отрезок СD – высота прямоугольного треугольника АВС с прямым ∠ С, ВС равняется 2ВD. Докажите, что сторона АВ равна 4ВD.

∆ ВСD – прямоугольный.

∠ ВCD = 30°,

так как ВС = 2ВD.

∠ АCВ = 90°,

30°

30°

Так как СD – высота,

то ∆ АСD – прямоугольный,

∠ CАD = 30°.

∆ АВС:

∠ ВАС = 30°.

Следовательно, АВ = 2ВС.

Получаем, что АВ = 4BD.