Пирамида
Пирамида
Пирамида Определение пирамиды
Пирамида
Определение
пирамиды
Элементы
пирамиды
Правильная пирамида
и ее свойства
Объем пирамиды
Сегодня на уроке:
Многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два смежные из которых не лежат в одной плоскости
Многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два смежные из которых не лежат в одной плоскости.
Пирамида
Пирамида
Определение. Многогранник, составленный из 𝑛𝑛 -угольника 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 … 𝐴 𝑛…
𝑨 𝟏
𝑨 𝟐
𝑨 𝒏
𝑨 𝟑
𝑃𝑃 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 – 𝒏𝒏-угольная пирамида.
𝑷
Определение. Многогранник, составленный из 𝑛𝑛-угольника 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 и
𝑛𝑛 треугольников, называется пирамидой.
Многоугольник 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 называется основанием пирамиды.
Треугольники 𝑃𝑃 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 , 𝑃𝑃 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝐴 3 𝐴𝐴 𝐴 3 3 𝐴 3 , … , 𝑃𝑃 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 называются боковыми гранями пирамиды.
основание
боковые
грани
Точка 𝑃𝑃 – вершиной пирамиды.
вершина
Отрезки 𝑃𝑃 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 , 𝑃𝑃 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 , … , 𝑃𝑃 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 – ее боковыми ребрами.
боковые
ребра
Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью ее основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды.
высота
Объединение боковых граней называется боковой поверхностью пирамиды
𝑨 𝟏
𝑨 𝟐
𝑨 𝒏
𝑨 𝟑
Объединение боковых граней называется боковой поверхностью пирамиды.
А объединение всех граней называется полной поверхностью пирамиды.
𝑆 бок.пов. 𝑆𝑆 𝑆 бок.пов. бок.пов. 𝑆 бок.пов. = 𝑆 ∆𝑃 𝐴 1 𝐴 2 𝑆𝑆 𝑆 ∆𝑃 𝐴 1 𝐴 2 ∆𝑃𝑃 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝑆 ∆𝑃 𝐴 1 𝐴 2 + 𝑆 ∆𝑃 𝐴 2 𝐴 3 𝑆𝑆 𝑆 ∆𝑃 𝐴 2 𝐴 3 ∆𝑃𝑃 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝐴 3 𝐴𝐴 𝐴 3 3 𝐴 3 𝑆 ∆𝑃 𝐴 2 𝐴 3 +…+ 𝑆 ∆𝑃 𝐴 𝑛 𝐴 1 𝑆𝑆 𝑆 ∆𝑃 𝐴 𝑛 𝐴 1 ∆𝑃𝑃 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝑆 ∆𝑃 𝐴 𝑛 𝐴 1
𝑆 полн.пов. 𝑆𝑆 𝑆 полн.пов. полн.пов. 𝑆 полн.пов. = 𝑆 бок.пов. 𝑆𝑆 𝑆 бок.пов. бок.пов. 𝑆 бок.пов. + 𝑆 осн 𝑆𝑆 𝑆 осн осн 𝑆 осн
𝑷
Пирамида в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, имеет свое название
Пирамида в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, имеет свое название.
Треугольная пирамида
Четырехугольная пирамида
𝒏𝒏-угольная пирамида
Пирамида называется правильной , если ее основание – правильный многоугольник
Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник.
Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Свойства правильной 𝒏-угольной пирамиды:
1. В правильной 𝑛𝑛-угольной пирамиде все боковые ребра равны между собой.
2. Из равенства боковых ребер пирамиды следует и равенство ее боковых граней.
𝑬
𝑃 𝐴 1 =𝑃 𝐴 2 =𝑃 𝐴 3 =…=𝑃 𝐴 𝑛
∆𝑃𝑃 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 =∆𝑃𝑃 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝐴 3 𝐴𝐴 𝐴 3 3 𝐴 3 =…=∆𝑃𝑃 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1
Объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 𝑎𝑎 и высотой ℎ равен одной трети произведения площади основания на высоту
Объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 𝑎𝑎 и высотой ℎ равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Получим 6 равных друг другу правильных пирамид с общей вершиной в точке пересечения диагоналей куба.
𝒂
𝒂
𝒂 𝟐 𝒂𝒂 𝒂 𝟐 𝟐𝟐 𝒂 𝟐
𝑉 пирамиды 𝑉𝑉 𝑉 пирамиды пирамиды 𝑉 пирамиды = 𝑎 3 6 𝑎 3 𝑎𝑎 𝑎 3 3 𝑎 3 𝑎 3 6 6 𝑎 3 6
= 1 3 ∙ 𝑎 2 ∙ 𝑎 2
= 1 3 ∙𝑆∙ℎ
Где 𝑆𝑆= 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 – площадь основания,
ℎ= 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 – высота пирамиды.
𝑽 пирамиды = 𝟏 𝟑 ∙𝑺∙𝒉
Задача. 𝐹𝐹𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷𝐸𝐸 – правильная пирамида
Задача. 𝐹𝐹𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷𝐸𝐸 – правильная пирамида. Найдите площадь боковой поверхности, если 𝐴𝐴𝐹𝐹=13 см, а 𝐶𝐶𝐾𝐾=𝐾𝐾𝐷𝐷=5 см.
Ответ: 𝑆 бок.пов. 𝑆𝑆 𝑆 бок.пов. бок.пов. 𝑆 бок.пов. =300 (см2).
𝑩
𝑪
𝑨
𝑫
𝑭
Решение.
𝑬
13 см
5 см
𝑲
𝑆 бок.пов. 𝑆𝑆 𝑆 бок.пов. бок.пов. 𝑆 бок.пов. = 𝑆 ∆𝐹𝐴𝐵 𝑆𝑆 𝑆 ∆𝐹𝐴𝐵 ∆𝐹𝐹𝐴𝐴𝐵𝐵 𝑆 ∆𝐹𝐴𝐵 + 𝑆 ∆𝐹𝐵𝐶 𝑆𝑆 𝑆 ∆𝐹𝐵𝐶 ∆𝐹𝐹𝐵𝐵𝐶𝐶 𝑆 ∆𝐹𝐵𝐶 + 𝑆 ∆𝐹𝐶𝐷 𝑆𝑆 𝑆 ∆𝐹𝐶𝐷 ∆𝐹𝐹𝐶𝐶𝐷𝐷 𝑆 ∆𝐹𝐶𝐷 + 𝑆 ∆𝐹𝐷𝐸 𝑆𝑆 𝑆 ∆𝐹𝐷𝐸 ∆𝐹𝐹𝐷𝐷𝐸𝐸 𝑆 ∆𝐹𝐷𝐸 + 𝑆 ∆𝐹𝐸𝐴 𝑆𝑆 𝑆 ∆𝐹𝐸𝐴 ∆𝐹𝐹𝐸𝐸𝐴𝐴 𝑆 ∆𝐹𝐸𝐴
𝐴𝐴𝐹𝐹=𝐵𝐵𝐹𝐹=𝐶𝐶𝐹𝐹=𝐷𝐷𝐹𝐹=𝐸𝐸𝐹𝐹=13 см
13 см
∆𝐹𝐹𝐴𝐴𝐵𝐵=∆𝐹𝐹𝐵𝐵𝐶𝐶=∆𝐹𝐹𝐶𝐶𝐷𝐷=∆𝐹𝐹𝐷𝐷𝐸𝐸=∆𝐹𝐹𝐸𝐸𝐴𝐴
𝐴𝐴𝐹𝐹 – высота, медиана и биссектриса.
⊿𝐾𝐾𝐹𝐹𝐷𝐷 – прямоугольный.
𝐹𝐾 2 𝐹𝐹𝐾𝐾 𝐹𝐾 2 2 𝐹𝐾 2 = 𝐹𝐷 2 𝐹𝐹𝐷𝐷 𝐹𝐷 2 2 𝐹𝐷 2 − 𝐾𝐷 2 𝐾𝐾𝐷𝐷 𝐾𝐷 2 2 𝐾𝐷 2
𝐹𝐾 2 𝐹𝐹𝐾𝐾 𝐹𝐾 2 2 𝐹𝐾 2 = 13 2 13 13 2 2 13 2 − 5 2 5 5 2 2 5 2 =169−25=144
𝐹𝐹𝐾𝐾= 144 144 144 144 =12 (см)
= 5∙𝑆 ∆𝐹𝐶𝐷 5∙𝑆𝑆 5∙𝑆 ∆𝐹𝐶𝐷 ∆𝐹𝐹𝐶𝐶𝐷𝐷 5∙𝑆 ∆𝐹𝐶𝐷
𝑆 ∆𝐹𝐶𝐷 𝑆𝑆 𝑆 ∆𝐹𝐶𝐷 ∆𝐹𝐹𝐶𝐶𝐷𝐷 𝑆 ∆𝐹𝐶𝐷 = 1 2 1 1 2 2 1 2 𝐹𝐹𝐾𝐾∙𝐶𝐶𝐷𝐷
= 1 2 1 1 2 2 1 2 𝐹𝐹𝐾𝐾∙2𝐶𝐶𝐾𝐾= 1 2 1 1 2 2 1 2 ∙12∙10
𝑆 бок.пов. 𝑆𝑆 𝑆 бок.пов. бок.пов. 𝑆 бок.пов. = 5∙𝑆 ∆𝐹𝐶𝐷 5∙𝑆𝑆 5∙𝑆 ∆𝐹𝐶𝐷 ∆𝐹𝐹𝐶𝐶𝐷𝐷 5∙𝑆 ∆𝐹𝐶𝐷 =5∙ 1 2 1 1 2 2 1 2 ∙12∙10=300 (см2)
Пирамиды – величайшие строения мира, которые завораживают и привлекают внимание людей
Пирамиды – величайшие строения мира, которые завораживают и привлекают внимание людей.
Египетская Великая пирамида
Она была построена примерно 𝟒𝟒𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 лет назад для фараона Хуфу.
Для ее строительства потребовалось вытесать и доставить на место примерно 𝟐𝟐 𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 каменных блоков общим весом почти 𝟔𝟔 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 т.
Каждая боковая грань пирамиды имеет форму треугольника, а основанием служит квадрат со стороной 𝟐𝟐𝟑𝟑𝟎𝟎 м.
Высота пирамиды – 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟕𝟕 м, что соответствует современному 50-этажному зданию.
Пирамида Многогранник, составленный из 𝑛𝑛 -угольника 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 … 𝐴 𝑛…
| |
Пирамида
Многогранник, составленный из
𝑛𝑛-угольника 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 и
𝑛𝑛 треугольников, называется пирамидой.
𝑉 пирамиды 𝑉𝑉 𝑉 пирамиды пирамиды 𝑉 пирамиды = 1 3 1 1 3 3 1 3 ∙𝑆𝑆∙ℎ
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
