Презентация на тему: "Решение задач по теории вероятности" (по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике)

Справочный материал

Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти во время наблюдения или испытания

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для этого события исходов к общему числу равновозможных исходов:
Р(А) = m/n

противоположным событию А, если состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые не входят в А.

Несовместные события – это события, которые не наступают в одном опыте.

Схема решения задач:
Определить, в чем состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события. Убедиться, что они равновероятны.
Найти общее число элементарных событий ( n)
Определить, какие элементарные события благоприятствуют событию А, и найти их число m
Найти вероятность события А по формуле

Задача 1. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США , остальные из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

n = 20

m = 20 – 8 – 7 = 5

A= {первой будет спортсменка из Китая}

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов − первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение:
В последний день конференции запланировано
(75 – 17 × 3) : 2 = 12 докладов.
Вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 12/75 = 4/25 = 0,16.

Задача 3. В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 19 раз больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.

Пусть количество пакетиков с зеленым чаем равно x, тогда пакетиков с черным чаем 19x, а всего 20x.
Значит, вероятность того, что случайно выбранный пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем равно 

Решение:
Сначала поместим Антона на случайно выбранное место из свободных 33. Теперь помещаем на свободное место Дмитрия. Всего имеется 32 свободных места (одно уже занял Антон), поэтому всего возможны 32 исхода. В одной команде с Антоном остаётся 10 свободных мест, поэтому событию «Антон и Дмитрий в одной команде» благоприятствуют 10 исходов. Вероятность этого события равна
P = 10 : 32 = 0,3125.

Футбольную секцию посещают 33 человека, среди них два брата – Антон и Дмитрий. Посещающих секцию случайным образом делят на три команды по 11 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Антон и Дмитрий окажутся в одной команде.

Размещениями множества из n различных элементов по m (mn) элементов называются комбинации, которые составлены из данных n элементов по m элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов

Задача 5.
Сколько двухзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, при условии, что цифра в числе не может повторяться?

12 21 23 32 13 31

А 3 2 А А 3 2 3 А 3 2 2 А 3 2 = 3! 3−2 ! 3! 3! 3−2 ! 3−2 3−2 3−2 ! 3! 3−2 ! = 6

Задача 6.
Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с 5 языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского на любой другой из этих 5 языков?

Число размещений: А 5 2 А А 5 2 5 А 5 2 2 А 5 2 = 5! 5−2 ! 5! 5! 5−2 ! 5−2 5−2 5−2 ! 5! 5−2 ! = 20

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов. В отличие от размещений в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке расположены элементы. Сочетания считаются различными, если они отличаются хотя бы одним элементом.

Задача 7.
Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека- Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

А Г С Ф - число сочетаний из 4 по 2

АГ
АС
АФ
ГС
ГФ
СФ

𝐶 4 2 𝐶𝐶 𝐶 4 2 4 𝐶 4 2 2 𝐶 4 2 = 4! 2! 4−2 ! 4! 4! 2! 4−2 ! 2! 4−2 4−2 4−2 ! 4! 2! 4−2 ! = 6

Задача 8. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист Н хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что турист Н пойдет в магазин?

1) Задача решается классической формулой вероятностей:
P(A) = 𝐦 𝐧 𝐦𝐦 𝐦 𝐧 𝐧𝐧 𝐦 𝐧  
2) Выбрать двух человек из пяти можно:
𝐂 𝟓 𝟐 𝐂𝐂 𝐂 𝟓 𝟐 𝟓𝟓 𝐂 𝟓 𝟐 𝟐𝟐 𝐂 𝟓 𝟐 способами
𝐂 𝟓 𝟐 𝐂𝐂 𝐂 𝟓 𝟐 𝟓𝟓 𝐂 𝟓 𝟐 𝟐𝟐 𝐂 𝟓 𝟐 = 𝟓! 𝟐! 𝟓−𝟐 ! 𝟓𝟓! 𝟓! 𝟐! 𝟓−𝟐 ! 𝟐𝟐! 𝟓−𝟐 𝟓𝟓−𝟐𝟐 𝟓−𝟐 ! 𝟓! 𝟐! 𝟓−𝟐 ! = 10, т.е. n=10
3) Турист 4 может пойти в магазин с любым из оставшихся четырех туристов, т.е.
С 𝟒 𝟏 С С 𝟒 𝟏 𝟒𝟒 С 𝟒 𝟏 𝟏𝟏 С 𝟒 𝟏 = 𝟒! 𝟏! 𝟒−𝟏 ! 𝟒𝟒! 𝟒! 𝟏! 𝟒−𝟏 ! 𝟏𝟏! 𝟒−𝟏 𝟒𝟒−𝟏𝟏 𝟒−𝟏 ! 𝟒! 𝟏! 𝟒−𝟏 ! = 4, m=4
4) P(A) = 𝟒 𝟏𝟎 𝟒𝟒 𝟒 𝟏𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟒 𝟏𝟎 = 0,4

Решение:
Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (Д – Дания, Ш –Швеция, Н – Норвегия):
Д − Ш − Н
Д − Н − Ш
Ш − Н − Д
Ш − Д − Н
Н − Д − Ш
Н − Ш − Д
Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна
Р = 2/6 = 1/3 ≈ 0,33

На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

Задачи о подбрасывании монеты

Задача 10. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Возможные исходы события:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадет ОРЕЛ, во второй -РЕШКА)

Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Множество элементарных исходов:

A= {орел выпал ровно 2 }

Задача 13. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность того, что орел выпал ровно два раза.

Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и равна р, то вероятность того, что событие А наступит k раз в n независимых испытаниях, равна:

𝑷 𝒏 𝑷𝑷 𝑷 𝒏 𝒏𝒏 𝑷 𝒏 (k) = 𝑪 𝒏 𝒌 𝑪𝑪 𝑪 𝒏 𝒌 𝒏𝒏 𝑪 𝒏 𝒌 𝒌𝒌 𝑪 𝒏 𝒌 𝒑 𝒌 𝒑𝒑 𝒑 𝒌 𝒌𝒌 𝒑 𝒌 𝒒 𝒏−𝒌 𝒒𝒒 𝒒 𝒏−𝒌 𝒏𝒏−𝒌𝒌 𝒒 𝒏−𝒌

Где q = 1-p

Задача 14.
Стрелок производит 4 выстрела, вероятность попадания при каждого из них равна р=0,8. Найдите вероятность того, что стрелок попадет 3 раза.

Решение:
n = 4 – число выстрелов,
р = 0,8 – вероятность попадания при одном выстреле,
q = 1 – р = 0,2 – вероятность промаха

Задача 15. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза.

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Р 𝑛 Р Р 𝑛 𝑛𝑛 Р 𝑛 (k) того, что в серии n однородных независимых испытаний. Событие А наступит ровно k раз равна:
𝑷 𝒏 𝑷𝑷 𝑷 𝒏 𝒏𝒏 𝑷 𝒏 (k) = 𝑪 𝒏 𝒌 𝑪𝑪 𝑪 𝒏 𝒌 𝒏𝒏 𝑪 𝒏 𝒌 𝒌𝒌 𝑪 𝒏 𝒌 𝒑 𝒌 𝒑𝒑 𝒑 𝒌 𝒌𝒌 𝒑 𝒌 𝒒 𝒏−𝒌 𝒒𝒒 𝒒 𝒏−𝒌 𝒏𝒏−𝒌𝒌 𝒒 𝒏−𝒌
Здесь 𝑪 𝒏 𝒌 𝑪𝑪 𝑪 𝒏 𝒌 𝒏𝒏 𝑪 𝒏 𝒌 𝒌𝒌 𝑪 𝒏 𝒌 = 𝒏! 𝒌! 𝒏−𝒌 ! 𝒏𝒏! 𝒏! 𝒌! 𝒏−𝒌 ! 𝒌𝒌! 𝒏−𝒌 𝒏𝒏−𝒌𝒌 𝒏−𝒌 ! 𝒏! 𝒌! 𝒏−𝒌 ! - число сочетаний из n элементов по k в каждом, q - вероятность события, противоположного событию А.

Задачи о бросании кубика

При бросании одного кубика возможны 6 комбинаций:
1 2 3 4 5 6

При бросании двух кубиков возможны

6 * 6=36 комбинаций

Количество комбинаций, выпавших при бросании трех кубиков, определяется по правилу умножения

6*6*6=216

Задача 16. Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4.

Всего граней:

Элементарные события:

Задача 17. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Ответ округлите до сотых

Множество элементарных исходов:

A= {сумма равна 8}

Решение.
При условии, что у Тоши выпало 3 очка, возможны следующие варианты:
3 и 1 3 и 4
3 и 2 3 и 5
3 и 3 3 и 6
Всего 6 вариантов. Подсчитаем количество исходов, в которых Гоша не выиграет, т.е. наберет 1, 2 или 3 очка.
Таких вариантов 3.
Найдем вероятность:   3/6 = 0,5.

Задача 18. Тоша и Гоша играют в кости. Они бросают кубик по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. Первым бросил Тоша, у него выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Гоша не выиграет.

Задача 19. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 13 очков. Результат округлите до сотых.

Решение.
Всего вариантов n = = 216.
Благоприятных: (1;6;6)
(2;5;6) (2;6;5)
(3;4;6) (3;5;5) (3;6;4)
(4;3;6) (4;4;5) (4;5;4) (4;6;3)
(5;2;6)(5;3;5) (5;4;4) (5;5;3) (5;6;2)
(6;1;6) (6;2;5) (6;3;4) (6;4;3) (6;5;2) (6;6;1)
Всего благоприятных исходов m =21
P(A) = m/n = 21/216 = 0,097222 ≈ 0,10

Умножение вероятностей независимых событий

Если событие С означает совместное наступление двух независимых событий А и В, то вероятность события С равна произведению вероятностей событий А и В P(A∩B) = P(A) * P(B)(Произошли оба события А и В)

Задача 20. Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Павел Иванович попадёт в точку G.

Задача 21. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение: Пусть событие C = «А. выиграл белыми»,
D = «А. выиграл чёрными».
По условию, P(C)=0,5; P(D)=0,34
Необходимо найти вероятность пересечения событий С и D, т. е. P(C∩D).
События C и D независимы (результат одной партии не зависит от результата другой).
Вероятность наступления P(C∩D) равна произведению P(C) и P(D) , т.е наступят события C и D
P(C∩D)= P(C) ∙ P(D) =0,5 ∙ 0,34=0,17

Задача 22. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.

Вероятность попадания = 0,8

Вероятность промаха = 1 - 0,8 = 0,2

А={попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся}

По формуле умножения вероятностей

Р(А)= 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2

Р(А)= 0,512 ∙ 0,04 = 0,02048 ≈ 0,02

Задача 23. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,14. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:
Г Г
П П
Г П
П Г
Событие А- что хотя бы одна лампа не перегорит.
Событие - обе лампы перегорят.
р( ) = 0,14 ∙ 0,14 = 0,0196.
р(А) = 1 – р( ) = 1 – 0,0196 = 0,9804.

Если событие С означает, что наступает одно из двух независимых событий А или В, то вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В

Р(АU B) = P(A) + P(B)

(Произошло событие А или В)

Задача 24. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

А={вопрос на тему «Вписанная окружность»}
B={вопрос на тему «Параллелограмм»}

Искомая вероятность равна

По условию Р(А) = 0,2, Р(В) = 0,15.

Если события несовместны

Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

Задача 25. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,98. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение:
Событие А = « новый электрический чайник прослужит больше года». Р(А) = 0,98.
Событие В = «новый электрический чайник прослужит больше двух лет». Р(В) = 0,89.
Событие С = « новый электрический чайник прослужит меньше двух лет, но больше года».
А = В + С.
События В и С несовместны, значит,
Р(А) = Р(В) + Р( С),
0,98= 0,89+ Р( С),
Р(С) = 0,98-0,89=0,09

С – произошло хотя бы одно из событий А или В

Р(А U B) = P(A) + P(B)

С – произошли оба события А или В

Р(А∩В) = Р(А) * Р(В)

Задача 26. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 3 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон попадёт в муху.

Задача 27. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стекол, вторая – 40%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая – 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:
1. Вероятность купить стекло на первой фабрике равна 0,6. Вероятность брака в стекле первой фабрики равна 0,04. Вероятность события А «куплено бракованное стекло первой фабрики» находим по формуле для пересечения независимых событий: Р(А) = 0,6 · 0,04 = 0,024.
Вероятность купить стекло второй фабрики равна 0,4. Вероятность брака в стекле второй фабрики равна 0,03. Вероятность события В «куплено бракованное стекло второй фабрики» равна Р(В) = 0,4 · 0,03 = 0,012.
Искомая вероятность равна вероятности объединения несовместных событий А и В.
Р(АUВ) = Р(А) + Р(В) = 0,024 + 0,012 = 0,036.

Решение:
Вероятность наступления хорошей погоды по условию равна 0,8, тогда вероятность наступления отличной погоды равна 1 − 0,8 = 0,2.
Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х – хорошая, О – отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды: P(XXO) = 0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128;
P(XOО) = 0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128;
P(OХO) = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008;
P(OОО) = 0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,128.
Указанные события несовместные, вероятность их сумы равна сумме вероятностей этих событий:
P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) =0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 =0,392.

Задача 28. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:
Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: либо после двух выигрышей (3 + 3), либо после выигрыша и ничьей (3 + 1, 1 + 3).
Так как вероятность выигрыша и проигрыша равны 0,4, то вероятность ничьей равна 1 − 0,4 − 0,4 = 0,2.
Вероятность события А «команда выиграла оба матча» по формуле пересечения независимых событий равна Р(А) = 0,4 ∙ 0,4 = 0,16.
Вероятность события В «команда выиграла первый матч, закончила вничью второй матч» равнаР(В) = 0,4 ∙ 0,2 = 0,08.
Вероятность события С «команда закончила вничью первый матч, выиграла второй матч» равнаР(В) = 0,2 ∙ 0,4 = 0,08.
События А, В, С попарно несовместны, вероятность их объединения равна Р(АUВUС) = Р(А) +Р(В) +Р(С) = 0,16 + 0,08 + 0,08 = 0, 32.

Задача 29. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение:
Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий:
A = «батарейка действительно неисправна и забракована» или
В = «батарейка исправна, но по ошибке забракована».
Т. к. события «батарейка неисправна» и « батарейка забракована» независимы, значит, вероятность наступления события А равна: Р(А) = 0,02 ∙ 0,99 = 0,0198.Исправную батарейку линия производит с вероятностью 1 − 0,02 = 0,98.Для отбраковки исправной батарейки должны произойти два независимых события: «линия произвела исправную батарейку» и «исправная батарейка забракована». Значит, вероятность события В равна Р(В) = 0,98 ∙ 0,01 = 0,0098.
События А и В несовместны. Искомая вероятность равнаР(АUВ) = Р(А) +Р(В) = 0,0198 + 0, 0098 = 0,0296.

Задача 30. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Задача 31. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты окажутся в разных карманах.Решение:

Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать 3 способами: 5,10,10; 10,5,10; 10,10,5.
Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
2/6 * 4/5 * 3/4 + 4/6 * 2/5 * 3/4 + 4/6 * 3/5 * 2/4 = 3/5 = 0,6

Несовместны

Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

События совместны

Р(А+В) = Р(А) +Р(В) – Р(А*В)

А={кофе закончится в первом автомате}
B={кофе закончится во втором автомате}

Р(А)=Р(В)=0,4,

По формуле сложения вероятностей:

Решение. Обозначим:

Задача 32. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Противоположным событием будет

«кофе останется в обоих автоматах»

Его вероятность равна

А∩В={кофе закончится в обоих автоматах}

Задача 33. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку – 0,8, по иностранному языку – 0,7 и по обществознанию – 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Вероятность успешно сдать экзамены на
лингвистику равна
P1=0,6 ∙ 0,8 ∙ 0,7=0,336. 
Вероятность успешно сдать экзамены на
коммерцию равна  P2=0,6 ∙ 0,8 ∙ 0,5=0,24.
Вероятность успешно сдать экзамены на
обе специальности равна
P3=0,6 ∙ 0,7 ∙ 0,8 ∙ 0,5=0,168.
Вероятность успешной сдачи хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей равна 
P=P1 + P2 − P3=0,408.

Задача 34.Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Решение.Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B — событие, состоящее в том, что первый раз стрелок промахнулся, а со второго выстрела поразил мишень. Вероятность события A равна P(A) = 0,7. Событие B является произведением двух независимых событий, поэтому его вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21. События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91. Приведём другое решение.Пусть событие А состоит в том, что цель поражена с первого выстрела, В — со второго. Вероятность того, что мишень будет поражена первым или вторым выстрелом равна вероятности суммы событий A и B. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,7 + 0,7 − 0,49 = 0,91. Ответ: 0,91.

Решение:
Пусть х – искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Пусть всего закуплено n яиц. Тогда в первом хозяйстве закуплено x ∙ n яиц, из них 0,6 ∙ n высшей категории. Во втором хозяйстве закуплено (1 - x) ∙ n яиц, из них 0,4 ∙ (1 – x)∙ n высшей категории. Всего высшую категорию имеют 0,48 n яиц.
Отсюда: 0,6x ∙ n + 0,4 ∙ (1 – x) ∙ n = 0,48 n,
0,6x + 0,4 ∙ (1 – x) = 0,48 ,
0,6x + 0,4 – 0,4x = 0,48 ,
0,2x = 0,008,
x = 0,4.

Задача 35. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 48% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение:
Пусть завод произвел x тарелок. Качественных тарелок 0,8x (80% от общего числа), они поступят в продажу. Дефектных тарелок 0,2x, из них в продажу поступает 30%, то есть 0,3 ∙ 0,2x = 0,06x.
Всего в продажу поступило
0,8x + 0,06x = 0,86x тарелок. Вероятность купить
качественную тарелку равна:

Задача 36. На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Решение:
Анализ пациента может быть положительным по двум причинам:
а) пациент болеет гепатитом, его анализ верен;
б) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен.
Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем:
P(A) = 0,9 · 0,05 = 0,045,
P(B) = 0,01 · 0,95 = 0,0095,
P(A U B) = P(A) + P(B) = 0,045 + 0,0095 = 0,0545.

Задача 37. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Задача 28. В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2440 девочек. Найдите частоту рождения мальчиков в этом городе. Результат округлите до тысячных.

Решение:
В городе родилось 5000 – 2400 = 2560 мальчиков
Частота рождения мальчиков равна 2560 5000 2560 2560 5000 5000 2560 5000 ≈0,512


Ответ: 0,512