Презентация на тему: "Случайные события и их вероятность"

МБОУ СОШ №95, 8«В»
Гончарова А

Вероятность:

В толковом словаре русского языка С.И. Ожегова и Н.Ю. Шведовой читаем : «Вероятность _ возможное исполнение чего – нибудь.»
Мы часто употребляем в повседневной жизни «вероятно»,«вероятнее», «невероятно», совсем не имея в виду конкретные количественные оценки этой возможности исполнения.

Основатель современной теории вероятности А.Н. Колмогоров.
Он писал о вероятности так: « Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях».

Нужно сказать, что теория вероятности, как никакая другая область математики, полная противоречий и парадоксов. Объяснение этому очень простое – она слишком тесно связана с реальной, окружающей нас действительностью. Долгое время ее вместе с математической статистикой даже не хотели причислять к математическим дисциплинам, считали их сугубо прикладными науками. И только в первой половине прошлого века, в основном благодаря трудам нашего великого соотечественника А.Н Колмогорова, были построены математические основания теории вероятностей, которые позволили отделить собственно науку от ее приложений.

Подход, предложенный Колмогоровым, теперь принято называть аксиоматическим, поскольку вероятность в нем ( а точнее, вероятное пространство) отделяется как некая математическая структура, удовлетворяющая определенной системе аксиом.

*В дальнейшем мы будем называть случайным любое событие, связанное со случайным экспериментом.
*Пример невозможного события: « на игральном кубике выпадает 7 очков», а «на игральном кубике выпадает меньше 7 очков» - достоверное. Разумеется если речь идет о кубике на гранях которого написаны числа от 1 до 6.

*Событие называется случайным, если при одних и тех же условиях оно может как произойти так, и не произойти.

невозможные, которые никогда не могут произойти;
достоверные, которые происходят при каждом таком эксперименте.

Примеры случайных экспериментов:

Опыт 1. Подбрасывание монеты. Этот эксперимент в некотором смысле можно считать простейшим случайным опытом. В результате такого эксперимента монета может упасть на одну из двух своих сторон – «орел», или «решка». Напомним, что «решкой» называется лицевая сторона монеты(аверс), на которой изображен номинал – например, 1 рубль.

«Орлом» называется обратная сторона монеты (реверс). На российских монетах на этой стороне изображен герб РФ – двуглавый орел. Считается, что при подбрасывании монеты она с равными шансами может выпасть на «орла» или «решку». Для реальных монет это не совсем так – ведь стороны монеты не совсем одинаковы. Кроме того, монета может упасть на ребро или вообще закатиться в щель под пол…
Однако в теории вероятности, говоря об эксперименте с монетой, имеют в виду некую идеальную монету, для которой шансы «орла» и «решки» равны.

Пример 2:

Если кубик симметричен, то при его подбрасывании он может с равными шансами выпасть на любую из 6 граней. Именно с такими идеальными кубиками мы и будем иметь дело. В реальных кубиках шансы могут сильно отличаться. Иногда этого добиваются специально, запаивая внутрь кубика дробинку, смещенную к одной из его граней. Если, например, сместить такую дробинку к грани 1, то на кубике будет чаще выпадать 6.

Подбрасывание кубика. Это следующий по популярности после монеты случайный эксперимент. Речь в нем идет об игральном кубике (или игральной кости), на гранях которого выбиты точки от 1 до 6.

Пример 3:

В коробке лежат 3 пары одинаковых перчаток. Из нее, не глядя, вытаскиваем 2 перчатки. Говоря «не глядя», мы лишний раз подчеркиваем непредсказуемость данного эксперимента. Более точно: мы считаем, что все шесть перчаток имеют одинаковые шансы быть вынутыми из коробки.

Выбор перчаток.

Кроме случайного события, с опытом связано еще одно важное понятие – элементарного исхода. Исходом ( или элементарным исходом, элементарным событием) называется один из взаимоисключающих друг друга вариантов, которым может завершиться случайный эксперимент.

В результате эксперимента всегда происходит один и только один из его исходов.
Попробуем определить число возможных исходов в каждом из рассмотренных выше опытов:
В опыте 1: 2 исхода « орел» или «решка»;
В опыте 2: 6 исходов: 1,2,3,4,5,6;
В опыте 3: 2 исхода « перчатки на одну руку», или «перчатки на разные руки».

В опыте 3 можно предложить более детальное описание исходов:
«обе перчатки на левую руку»;
«обе перчатки на правую руку»;
«перчатки на разные руки».

Если все исходы эксперимента имеют равные шансы , то называются равновозможными. Чаще всего равновозможность исходов следует из условий проведения опыта и симметрии тех объектов, которые в нем участвуют. Для опытов с конечным числом равновозможных исходов можно сформулировать простое правило подсчета вероятности любого случайного события, получившее название формула классической вероятности или формула Лапласа.

Формула Лапласа:

Рассмотрим случайный эксперимент, который может завершиться одним из n равновозможных исходов. Пусть ровно m из них благоприятствуют (т.е приводят к наступлению) случайного события А. Тогда вероятность этого события может быть вычислена по формуле:

Классическое определение вероятности:

Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех равновозможных между собой исходов этого испытания.
Пример: найдите вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет: а) 4; б) 5; в) четное число очков; г) число очков, больше 4; д) число очков, не кратное 3.

Решение:

Всего имеется N, равное 6 возможных исходов: выпадение грани кубика с числом очков 1,2,3,4,5,6. Мы считаем, что ни один из них не имеет ни каких преимуществ перед другими, т.е принимаем предположение о равновероятности этих исходов.
А) Ровно в одном из исходов произойдет интересующее нас событие А – выпадение числа 4. значит, N(А) = 1 и Р(А) = N(A) /N = 1/6.

Б) Решение и ответ такие же как и в предыдущем пункте.

В) Интересующее нас событье В произойдет ровно в 3 случаях, когда выпадет число очков 2, 4 или 6. Значит, Р(А) = 3 и Р(В) =N(B)/N = 3/6=1/2.

Г) Интересующее нас событие С произойдет ровно в двух случаях, когда выпадет число очков 5 или 6. Значит, N(C)= 2 и P(C) = N(C)/N = 2/6 = 1/3.

Из 6 возможных выпавших чисел четыре(1, 2, 4, 5) не кратны трем, а остальные два ( 3 и 6) делятся на три. Значит, интересующее нас событие наступает ровно в четырех из шести возможных и равновероятных между собой исходах опыта. Поэтому в ответе получается 4/6 = 2/3.

Ответы: а) 1/6; б)1/6; в) 1/2; г) 1/3 д) 2/3